3升4思维拓展：复杂搭配问题-2023年数学四年级上册人教版含答案.pdf

2 0 2 3 年 3 升 4 思维拓展：复杂搭配问题 2 0 2 3 年 3 升 4 思维拓展：复杂搭配问题 一、选择题 一、选择题 1A、B、C、D、E 五名同学进行象棋比赛，每两个都要比赛 1 场，到现在为止，A 已赛了 2 场，B 已赛了 4场，C 已赛了 3 场，D 已赛 1 场，那么 E 赛了（）场。A2 B3 C4 D5 2用 1 元 2 元 5 元的人民币各一张，选其中一张或几张，不能得到的面值是（）。A4 元 B5 元 C6 元 D7 元 3学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班 40 位同学，最快（）分钟才能通知到全班同学。A4 B5 C6 D7 4参观比赛的两队选手，在比赛结束后互相握手，所有的人握了 10 次手，有（）人互相握手。A4 B10 C5 D9 5将 7 个点连成线段，任意三点不在同一条直线上，最多可以连成（）。A7 条 B12 条 C21 条 D28 条 6按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是 055 号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过 5，那么，可供每支球队选择的号码共（）个。A34 B35 C40 D56 二、填空题二、填空题 72022 年卡塔尔世界杯，一共 32 支球队参加比赛，分成 8 个小组，每小组 4 支球队进行第一轮的单循环赛，请问每个小组要比赛()场。8玲玲、丽丽、明明、陈红和嘉豪 5 名同学互相握手，每两人握一次，一共握手()次。9开学时 4 位好朋友每 2 人拥抱一次，共要拥抱()次；他们还要站成一排合影，小明站在最左边，其他人的位置可自由安排，共有()种站法。10A、B、C、D、E 五人进行乒乓球比赛，每两个人都要赛一场。现在 A、D 赛了 4 场，B、C 各自赛了 3场，E 至少赛()场。11李老师要把语文、数学、英语、科学 4 本书（各 1 本）分给丽丽、阳阳、聪聪三个同学，每个同学至 少分其中的一本，一共有()种不同的分法。12有 2 名男生和 2 名女生如图站成一排拍照，那么他们一共有()种不同的站法。13 5 名象棋爱好者进行比赛，规定每两人比赛一局，经过一段时间后统计，甲已赛了 4 局，乙已赛了 3 局，丙已赛了 2 局，丁已赛了 1 局，则此时戊已赛了()局。14一种巧克力有 4 块装和 6 块装两种包装方式，要购买这种巧克力 26 块，有()种不同的买法，在解决这一问题时用()的思想方法可以不重复不遗漏的找到所有买法。三、解答题三、解答题 15有 A、B、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶 A 上，每次它都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了 3 次之后，不在荷叶 A 上，那么它一共有多少种不同的跳法？16小、莫、萱三人玩传球游戏，每次持球的人都可以把球传给另外两个人中的任何一个，先由小拿球，经过 4 次传球之后，球又回到了小的手里，那么一共有多少种不同的传球过程？17如下图，如果小高站在 1 号地毯上，他想要走到 5 号地毯上，每次只能走到相邻的编号（两个六边形如果有公共边就成为相邻），而且只能向右边走（例如 1235 就是一种可能的走法），那么小高一共有多少种不同的走法？18王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 5 大的数字，那么王老师最多试几次就肯定能打开这个公文包？1917 支排球队分成三组，其中两组各 6 支队，第三组 5 支队，第一阶段各组进行单循环比赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若 17 支球队不分组，直接利用单循环赛制，共要赛多少场？20某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法？参考答案：参考答案：1A【分析】分析题意，B 赛了 4 场，则 B 是和 A、C、D、E 每人赛了 1 场，而 D 只赛了 1 场，则一定是和 B 赛的，C 赛了 3 场，是和 A、B、E 赛的，而 A 赛了 2 场，是和 B、C 赛的，那么 E 一定和 B、C 赛了。【详解】由分析可知：E 赛了 2 场。故答案为：A【点睛】本题考查的是学生的逻辑推理能力，根据每个人最多只能比赛 4 场作为突破口，对 A、B、C、D 逐个进行推理，即可找出 E 进行比赛的场次。2A【分析】根据题意，分三种情况：（1）选出其中的一张；（2）选出其中的两张；（3）选出其中的三张；分别求出每种情况下可以组成多少种不同面值的人民币，分别是哪些面值的，进而判断选择即可。【详解】根据分析可得：（1）选出其中的一张时，可以组成 1 元、2 元和 5 元面值的人民币；（2）选出其中的两张时，123（元）156（元）257（元），可以组成 3 元、6 元和 7 元面值的人民币；（3）选出其中的三张时，1258（元）可以组成 8 元面值的人民币。所以，组成 1 元、2 元、5 元、3 元、6 元、7 元和 8 元面值的人民币；但不能组成面值 4 元的人民币。故答案为：A【点睛】此题主要考查了搭配问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数。3C【分析】老师先用一分钟通知 1 个学生，第二分钟由老师和学生分别通知一个学生，现在通知的是 123221，第三分钟通知的是 342221。据此类推解答。【详解】第一分钟通知到 1 个学生；第二分钟最多可通知到 2213 个学生；第三分钟最多可通知到 22217 个学生；第四分钟最多可通知到 2222115 个学生；第五分钟最多可通知到 22222131 个学生；第六分钟可通知到 63 个学生；最少要用 6 分钟可以通知 40 人；故答案为：C。【点睛】此题考查的是应用规律解决实际问题的能力。4C【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但是两个人之间只握手一次，所有的人握了 10 次手2人数人数1，把选项的人数一一代入等量关系，判断答案。【详解】根据分析可得，总握手次数人数人数1，10 次是去掉重复后的次数，总握手次数10220（次）A4（41）43 12（次）B10（101）109 90（次）C5（51）54 20（次）D9（91）98 72（次）故答案选：C。【点睛】本题考查搭配问题，找出等量关系是解题的关键。5C【分析】每一条线段有两个端点，从 7 个点中选一个点作为端点有 7 种方法，而选第二个点有 6 种方法，共有 76 种方法。但是因一条线段重复一次，故实际上是 762 条线段。【详解】7（71）2 73 21（条）所以 7 个点最多可以连成 21 条线段。故选：C。【点睛】本题考查了排列组合知识的灵活应用，解答此题的关键是理解两点只能连一条线段，所以要排除重合的情况。6C【分析】根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，一位数总共有 10 个，两位数要求每位数字均不能超过 5，那么可以选择 0、1、2、3、4、5，考虑到首位不为 0，那么十位数字 5 种选法，个位数字 6 种选法。【详解】其中一位数可以为 09，有 10 种选择；两位数的十位可以为 15，个位可以为 05，根据乘法原理，两位数号码有 5630 种选择；所以可供选择的号码共有 103040 种。故答案选：C。【点睛】应用加乘原理求解计数问题时，应该遵循加法分类、乘法分步的原则。76【分析】每小组 4 支球队，每 2 个球队踢一场，求一共要踢多少场，就是求一共有几种不同的组合方法。如下图，把 4 个球队一字排开，先把每个球队与其他球队分别连上线，再数一数一共连了几条线，连了几条线，就要踢几场。【详解】如上图：3216（场）所以每个小组要比赛 6 场。【点睛】稍复杂的组合问题可以用图示连线的方法来解决，组合过程中不考虑事物的先后顺序，只需注意不同组合中的元素。810【分析】由于每个人都要和另外的 4 人握手，一共要握 5420（次）；又因为两个人只握一次，去掉重复计算的情况，实际只握 20210（次）据此解答。【详解】（51）52 452 10（次）每两人握一次，一共握手 10 次。【点睛】本题考查了两两搭配问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：握手次数人数（人数1）2 解答。9 6 6【分析】4 位好朋友每 2 人拥抱一次，也就是每个人都要和另外 3 人拥抱一次，一共要拥抱 3412（次）；又因为两个人只拥抱一次，去掉重复计算的情况，实际只拥抱 1226（次）；小明的位置是确定的，把小明除外，3 个人站在最右边的可能是 3 人中的任意一人，有 3 种不同的方法；第二位上还剩 2 人选择，有 2 种不同的站法；第三位还有 1 人，有 1 种方法，它们的积就是全部的站法。【详解】拥抱次数：（41）42 342 6（次）站法：3216（种）【点睛】本题考查了搭配问题的实际应用，两两搭配时要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：实际次数人数（人数1）2；简单的排列问题可以采用依次列举或连线的方法找出所有不同的排列方法，可以先确定第一个位置，再确定第二、第三个位置。102【分析】五人进行乒乓球比赛，每两个人都要赛一场，即每人都要和另外四个人赛一场，共赛 4 场。现在 A、D 都赛了 4 场，即 A 和 D 和除了自己以外的其它四人都赛了一场，B、C 都赛了 3 场，则 B 这三场可和 A、C、D 各赛一场，C 可和 A、B、D 各赛一场，所以 E 至少赛了 2 场，即和 A、D 各赛一场。【详解】根据分析得，E 至少赛 2 场。【点睛】根据每人需要比赛的总场数及 A、B、C、D 已赛的场数进行推理分析，从而得出结论是完成本题的关键。1136【分析】把语文、数学、英语、科学 4 本书分给丽丽、阳阳、聪聪三个同学，这里既要考虑书的不同，也要考虑人的区别，而每个同学至少分其中的一本，那么只能是把 4 本书按照 1、1、2 进行分配，然后考虑人数的不同进行枚举。【详解】先考虑把 4 本书按照 1、1、2 进行分配，有 6 种情况；语文和数学、英语、科学；语文和英语、数学、科学；语文和科学、数学、英语；数学和英语、语文、科学；数学和科学、语文、英语；英语和科学、语文、数学；比如第一种情况，按照语文和数学、英语、科学分组，然后考虑人数的不同，又有 6 种不同的情况；（从左往右依次是丽丽、阳阳、聪聪得到的书）语文和数学，英语，科学；语文和数学，科学，英语；英语，语文和数学，科学；英语，科学，语文和数学；科学，语文和数学，英语；科学，英语，语文和数学；其余每种情况都是类似的，6 636=，总共有 36 种不同的分法。【点睛】本题考查的是计数问题，枚举法是求解此类问题最基础的方法，这里需要考虑顺序的影响。1224【分析】4 人排成一排，第 1 个位置可以由 4 种选择，第 2 个位置有 3 种选择，第 3 个位置有 2 种选择，最后 1 个位置只有 1 种选择，相乘即可。【详解】432 122 24（种）【点睛】分步计数原理用乘法计算。132【分析】5 个人两两之间比赛，那么每个人要和另外 4 人比赛，每人赛 4 场，再根据 ABCD 四人赛的场次进行推算。【详解】每人最多赛 4 场；甲已经赛了 4 局，说明它和另外的四人都赛了一局，包括丙和戊；丁赛了 1 局，说明他只和 A 进行了比赛，没有和其它选手比赛；乙赛了 3 局，他没有和丁比赛，是和另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；丙赛了 2 局，是和 A、B 进行的比赛，没有和戊比赛 所以戊只和 A、B 进行了比赛，一共是 2 局；【点睛】本题根据每个人最多只能比赛 4 场作为突破口，进行逐个推理，找出戊进行比赛的场次。14 两 列举【分析】根据购买巧克力总块数，分情况讨论购买 1 包、2 包、3 包4 块装的巧克力时，6 块装需要的数量是否为整数，两种包装购买的数量均为整数时符合条件。【详解】购买 2 包 4 块装的巧克力和 3 包 6 块装的巧克力：243626（块）；购买 5 包 4 块装的巧克力和 1 包 6 块装的巧克力：541626（块）；所以要购买这种巧克力 26 块，有（两 ）种不同的买法，在解决这一问题时用列举的思想方法可以不重复不遗漏的找到所有买法。【点睛】用列举法逐一筛选可以不重复不遗漏的找到所有买法。156 种【分析】根据题意，第一次跳之后可能在 B 荷叶或者 C 荷叶上，最后跳了 3 次之后，排除掉在 A 荷叶上的，即可得解。【详解】第一次可跳在 B、C 荷叶上，据此画出树形图如下：由图可知，共 6 种。答：它一共有 6 种不同的跳法。【点睛】树形图是枚举法的一种，可以使我们的枚举过程更加直观，有条理又不易重复或遗漏。166 种【分析】先考虑第 1 次有多少种传法？然后用树形图画出每次传球后给谁。要注意只有第 4 次传球后回到小手上的才是符合题意的传法。【详解】由题意可知，小先拿球，则第 1 次可以给莫也可以给萱。由题意画树形图如下：由图可知，共有 6 种情况符合要求。答：一共有 6 种不同的传球过程。【点睛】根据题意分析出第 1 次只能给莫或萱，据此正确画出树形图是解题关键。175 种【分析】根据题意，小高第一步可以走到 2 号地毯或 3 号地毯，据此注意分析即可，注意题目中的限定条件：相邻编号地毯和只能向右走，另外只有结束在 5 号地毯的才符合题意。【详解】根据题意，画图如下：数一数可知，一共 5 种可能。答：小高一共有 5 种不同的走法。【点睛】解答此类问题，按照树形图的画法逐一画出所有的分叉即可。注意不重复不遗漏。1810 次【分析】由“这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大”可知，百位数字最小，先考虑百位数字最小有几种情况。分别把这些情况作为“树根”，画出树形图解答即可。【详解】由题意可知，百位数字最小，分别用 1、2、3 三个数作为树根，可以画出三幅树形图，如下：即：百位是 1 时有 6 种情况，百位是 2 时有 3 种情况，百位是 3 时有 1 种情况。答：王老师最多试 10 次就肯定能打开这个公文包。【点睛】画树状图的关键一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。一般先从“树根”开始，然后长枝、分叉，最终只需要数一下结果数目即可得解。1955 场；52 场；136 场【分析】单循环赛制的场数队伍数（队伍数1）2，根据这个公式分别计算；注意第二种情况下，三组各有两队不需要再比赛，因此要减少 3 场比赛。【详解】6（61）225（51）2 6522542 3010 40（场）406（61）2 40652 4015 55（场）55352（场）17（171）2 17162 136（场）答：第一种情况共需要 55 场；第二种情况共需要 52 场；第三种情况共需要 136 场。【点睛】本题考查排列组合的知识，关键是掌握循环赛问题的求解方法。204860 种【分析】如图，为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图，然后按照 A、B、C、D、E、F、G 的染色顺序进行染色。【详解】如图所示：第 1 步：先染区域A，有 5 种颜色可供选择；第 2 步：再染区域B，由于B不能与A同色，所以区域B的染色方式有 4 种；第 3 步：染区域C，由于C不能与B、A同色，所以区域C的染色方式有 3 种；第 4 步：染区域D，由于D不能与C、A同色，所以区域D的染色方式有 3 种；第 5 步：染区域E，由于E不能与D、A同色，所以区域E的染色方式有 3 种；第 6 步：染区域F，由于F不能与E、A同色，所以区域F的染色方式有 3 种；第 7 步：染区域G，由于G不能与C、D同色，所以区域G的染色方式有 3 种。根据分步计数的乘法原理，共有543 3 3 3 34860 =种不同的染色方法。答：共有 4860 种不同的染色方法。【点睛】本题考查的是计数中的染色问题，染色的时候一般从接触面最多的一块开始。