第一章 2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用.docx
第一章预备知识§2常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.设集合A=1,a2,-2,B=2,4,则“a=2”是“AB=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当“a=2”时,显然“AB=4”;但当“AB=4”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.答案A2.已知p:x-a>0,q:x>1,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围为()A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)D.1,+)解析已知p:x-a>0,x>a,q:x>1,若p是q的充分条件,则(a,+)(1,+),所以a1.答案D3.已知集合A=x|a-2<x<a+2,B=x|x-2,或x4,则AB=的充要条件是()A.0a2B.-2<a<2C.0<a2D.0<a<2解析由AB=,得a-2-2,a+24,故0a2.答案A4.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是. 解析由题意,命题p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,因为q是p的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+).答案(2,+)5.在ABC中,判断B=C是否是AC=AB的充要条件.解因为“在三角形中,等角对等边”,所以B=CAC=AB;又因为“在三角形中,等边对等角”,所以AC=ABB=C.从而B=CAC=AB,因此ABC中,B=C是AC=AB的充要条件.6.求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明(充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=ca<0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.(必要性)一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=ca<0,即ac<0.综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7.设p:x>a,q:x>3.(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.解设A=x|x>a,B=x|x>3.(1)若p是q的必要不充分条件,则有BA,所以a的取值范围为a|a<3.(2)若p是q的充分不必要条件,则有AB,所以a的取值范围为a|a>3.(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.能力提升练1.已知p:|x|<a(a>0),q:-1<x+1<4,若p是q的充分条件,则a的取值范围是,若p是q的必要条件,则a的取值范围是. 解析p:-a<x<a,q:-2<x<3,若p是q的充分条件,则(-a,a)(-2,3),所以-a-2,a3,故a2.若p是q的必要条件,则(-2,3)(-a,a),所以-a-2,a3,则a3.答案(-,23,+)2.设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|ax=1,若“xB”是“xA”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a组成的集合.解A=x|x2-3x+2=0=1,2,由于“xB”是“xA”的充分不必要条件,BA.当B=时,得a=0;当B时,由题意得B=1或B=2.当B=1时,得a=1;当B=2时,得a=12.综上所述,实数a组成的集合是0,1,12.3.已知m,nR,证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.证明(必要性)m2-n2=1,m2=n2+1,m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1,m4-n4=2n2+1成立;(充分性)m4-n4=2n2+1,m4=n4+2n2+1=(n2+1)2,m2=n2+1,即m2-n2=1,m2-n2=1成立.综上,m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.4.已知p:0<x+m<3m(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.解由p解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有-m0,2m4,m>0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-m0,2m4,m>0,解得m2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).素养培优练证明:如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.证明(1)(必要性)在等腰梯形ABCD中,AB=DC,ABC=DCB.又BC=CB,BACCDB(SAS),AC=BD.(2)(充分性)如图,过点D作DEAC,交BC的延长线于点E.ADBE,DEAC,四边形ACED是平行四边形,DE=AC.AC=BD,BD=DE.E=1.又ACDE,2=E,1=2,在ABC和DCB中,AC=DB,2=1,BC=CB,ABCDCB,AB=DC.梯形ABCD为等腰梯形.综上可得,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.
