2.6 直线系方程与圆系方程-(选择性必修第一册) (教师版).docx

直线系方程与圆系方程1 直线系方程(1) 过点(x0 , y0)的直线系方程为Axx0+Byy0=0(其中A , B不全为零)(2) 平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(CC0)；3 垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程BxAy+C0=0；(4) 过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0(R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)2 圆系方程(1) 以(a , b)为圆心的同心圆圆系方程：xa2+yb2=(>0)；(2) 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+=0；(3) 过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R)；4 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当=1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 , y0)作圆M:xa2+yb2=r2的切线l方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2证明 向量法 向量PM=(ax0 , by0)，设切线上任意一点B(x , y)，lPM，PMPB，即PMPB=0，ax0 , by0xx0 , yy0=0(ax0)(xx0)+(by0)(yy0)=0即切线l方程为(ax0)(xx0)+(by0)(yy0)=0.ax0xx0+by0yy0=0ax0xa+ax0+by0yb+by0=0ax0xa+ax02+by0yy0+by02=0ax0xa+by0yy0+r2=0(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2切线l方程也可以写成(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.4 切点弦方程过圆M:xa2+yb2=r2外一点P(x0 , y0)引圆的两条切线，切点分别是A、B，则直线AB的方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.证明 方法1 设切点Ax1,y1，则过点A的切线方程为xax1a+yby1b=r2，由于点P(x0 , y0)在切线PA上，所以有x0ax1a+y0by1b=r2 ，设切点Bx2,y2，同理得x0ax2a+y0by2b=r2 ，由得点A与点B在直线x0axa+y0byb=r2上，则直线AB的方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.方法2 以MP为直径的圆方程为xaxx0+ybyy0=0，记为圆C，因为PAM=PBM=2，所以点A、B在圆C上，则A、B是圆C与圆M的两个交点，由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线AB方程(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2(这跟圆上点的切线方程形式一致) 【题型一】直线系方程【典题1】求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程(1)过点(2 , 1)； (2)和直线3x4y+5=0垂直【解析】由x2y+4=0x+y2=0 解得x=0y=2，P(0 , 2)(1)方法一 由两点的坐标求得斜率为kl=2102=12，由点斜式求得直线方程为y2=12(x0)，化简得x+2y4=0方法二 设过点P的直线方程为x2y+4+x+y2=0，过点(2 , 1)，22+4+=0=4，故所求直线方程为x2y+44x+y2=0x+2y4=0.(2)方法一 依题意得所求直线的斜率为k2=43，由点斜式求得直线方程为y2=43(x0)，即4x+3y6=0方法二 设所求直线为4x+3y+=0过点P(0 , 2)，0+6+=0=6，故所求直线方程为4x+3y6=0. 【点拨】此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【典题2】求过点P(1 , 4)，圆x22+y32=1的切线l的方程 【解析】方法一 当直线l斜率不存在时，方程为x=1，显然不是切线，故可设切线方程为y=kx+1+4，直线l与圆相切，圆心(2 , 3)到直线l的距离等于半径1，故|3k+1|1+k2=1，解得k=0或34，故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0方法二 如方法二，设切线方程为y=kx+1+4，由y=kx+1+4x22+y32=1得1+k2x2+2k2+2k4x+k2+2k4=0其判别式=2k2+2k4241+k2k2+2k4=0 , 解得k=0或34 , 故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0方法三 设所求直线的方程为Ax+1+By4=0(其中A , B不全为零)，  直线l与圆相切，圆心(2 , 3)到直线l的距离等于半径1，故|3AB|A2+B2=1整理，得A(4A3B)=0，即A=0(这时B0)或A=34B0   故所求直线l的方程为y=4或3x+4y13=0【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 , y0)的直线系方程为Axx0+Byy0=0(其中A , B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【题型二】圆系方程【典题1】经过直线2xy+3=0与圆x2+y2+2x4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是 【解析】方法一 (面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)圆x2+y2+2x4y+1=0的方程可化为x+12+y22=4圆心坐标为(1 , 2)，半径为r=2；圆心到直线2xy+3=0的距离为d=15设直线2xy+3=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点为A , B则|AB|=2r2d2=2415=2195过点A , B的最小圆半径为195联立2xy+3=0x2+y2+2x4y+1=0得5x2+6x2=0，故x1+x2=65，则圆心的横坐标为：12(x1+x2)=35，纵坐标为2×(35)+3=95，最小圆的圆心为(35 , 95)，最小圆的方程为x+352+y952=195 方法二 依题意，可设过点A、B两点圆的方程为x2+y2+2x4y+1+(2xy+3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆)整理得x+12+y4+22=542+4若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即542+4取到最小值，而542+4=54+252+195195，当=25时取到最小值，此时圆的方程为x+352+y952=195.【点拨】本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y14=0(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y6=0上的圆的方程【解析】(1)证明：(圆心距C1C2(Rr , R+r)两圆相交)圆C2：x2+y2+2x+2y14=0化为标准方程为x+12+y+12=16C2(1 , 1)，r=4圆C1：x2+y2=10的圆心坐标为(0 , 0)，半径为R=10|C1C2|=2 , 410<2<4+10，两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x+2y4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由x2+y2+2x+2y14=0x2+y2=10解得x=3y=1或x=1y=3，(这里还是有些计算量的)则交点为A3 , 1 , B(1 , 3)，圆心在直线x+y6=0上，设圆心为P(6n , n)，则AP=BP，解得n=3，故圆心P(3 , 3)，半径r=AP=4，所求圆的方程为(x3)2+(y3)2=16方法二 设所求圆的方程为x2+y2+2x+2y14+(x2+y210)=0(1)即1+x2+1+y2+2x+2y1410=0圆心坐标为(11+ , 11+)代入直线x+y6=0可得：11+11+6=0，=43所求圆的方程为x2+y26x6y+2=0【点拨】此题是过圆与圆交点的圆系问题. 两圆之间的位置关系看圆心距O1O2与两圆半径R与r之间的关系； 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0(1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当=1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等. 【典题3】 过点(3 , 1)作圆x12+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为 .【解析】方法一 由图易得一切点为(1 , 1)，连接点(3 , 1)与圆心(1 , 0)直线的斜率k=1031=12，由切线性质可知kABk=1kAB=2，又直线AB过点(1 , 1)直线AB方程为y1=2x12x+y3=0.(结合图形的特殊性，利用平几的知识求解，不具有一般性)方法二 圆x12+y2=1的圆心为C(1 , 0)，半径为1，以(3 , 1)、C(1 , 0)为直径的圆的方程为x22+y122=54，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y3=0，(这里把直线AB看成是两个圆公共弦所在的直线)方法三 过圆M:xa2+yb2=r2外一点P(x0 , y0)引圆的两条切线，切点分别是A、B , 则直线AB的方程为xx0ax0+yy0by0=r2.所以有(3+1)(x1)+1y=1，化简得2x+y3=0(使用结论直接快捷)【点拨】本题是圆的切点弦问题. 方法三直接快捷，但若是只会直接套用，达不到锻炼数学思维的能力 , 应多比较多种方法的优略性，掌握解题方法的本质. 【典题4】 已知直线l：y=kx2，M(2 , 0) , N(1 , 0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM|QN|=2，动点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A , B，当AOB=2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点【解析】(1)设点Q(x , y)，依题意知|QM|QN|=(x+2)2+y2(x+1)2+y2=2 ，整理得x2+y2=2，曲线C的方程为x2+y2=2 (2)点O为圆心，AOB=2，点O到l的距离d=22r ，2k2+1=222k=±3 ；(3)由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，(对角互补的四边形的四顶点共圆) 设P(t , 12t2)，则圆心(t2 , t41)，半径t24+(t41)2 得(xt2)2+(yt4+1)2=t24+(t41)2即x2tx+y2(12t2)y=0又C、D在圆O：x2+y2=2上lCD：tx+(12t2)y2=0即 x+y2t2y2=0(直线CD是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程)由x+y2=02y+2=0得 x=12y=1，直线CD过定点12 , 1. 巩固练习1 () 求过两条直线y=2x+3与3xy+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为12；(2)过点P(2 , 3)；(3)平行于直线3x+y=1【答案】 (1) x+2y11=0 (2) 2x+y7=0 (3) 3x+y8=0【解析】直线y=2x+3与3xy+2=0的交点为(1,5)，(1)当斜率为12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y5=12(x1)直线方程为x+2y11=0(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y5=3521(x1)即为y=2x+7直线方程为2x+y7=0(3)平行于直线3x+y=1时，得直线斜率为k=3，直线方程为y5=3(x1)，直线方程为3x+y8=0方法二 由直线系方程可设所求直线为2x+3y+(3xy+2)=0(1) 2x+3y+3xy+2=02+3x+1y+2+3=0直线的斜率为12时，2+3+1=12，解得=57，故所求直线方程为x+2y11=0(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5=0 =45，故所求直线方程为2x+y7=0(3) 平行于直线3x+y=1时，2+3+1=3，解得=56,故所求直线方程为3x+y8=02 () 求过直线2x+y+4=0和圆x+12+y22=4的交点，并且面积最小的圆的方程【答案】 x2+y2+265x125y+375=0【解析】设所求的圆的方程为x+12+y22 4+(2x+y+4)=0，即 x2+y2+(2+2)x+(4)y+4+1=0，该圆的半径的平方为142+22+4216=14(5216+16)，故当=85时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小，此时，圆的方程为 x2+y2+265x125y+375=03() 求经过圆x2+y2+8x6y+21=0与直线xy+5=0的交点且在y轴上的弦长为233的圆的方程【答案】 x2+y22x+4y29=0或x2+y2+26x24y+111=0【解析】设所求的圆的方程为(x2+y2+8x6y+21)+k(xy+5)=0，且与y轴的交点坐标为y1、y2，令x=0得(y26y+21)+k(y+5)=0，化简得y2(k+6)y+21+5k=0y1+y2=k+6,y1y2=5k+21，由|y1y2|=233两边平方得y1+y224y1y2=132k+624(5k+21)=132，化简得k28k180=0解得k=10或k=18所求圆的方程为(x2+y2+8x6y+21)10(xy+5)=0，或(x2+y2+8x6y+21)+18(xy+5)=0所求圆的方程为x2+y22x+4y29=0或x2+y2+26x24y+111=04 () 求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x2+y22x+10y24=0与x2+y2+2x+2y8=0的交点的圆的方程【答案】 x+32+y32=10【解析】方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)将两圆的方程联立得方程组x2+y22x+10y24=0x2+y2+2x+2y8=0，解方程组求得两圆的交点坐标A(4,0),B(0,2)(这里还是有些计算量的)弦AB的中垂线为2x+y+3=0，它与直线x+y=0交点M(3,3)就是圆心，又半径r=AM=10，故所求圆的方程为x+32+y32=10方法二 过两圆x2+y22x+10y24=0与x2+y2+2x+2y8=0的交点的圆的方程可设为x2+y22x+10y24+x2+y2+2x+2y8=0，整理得1+x2+1+y2+22x+2+10y824=0其圆心为(221+,2+101+)，又由圆心在直线x+y=0上，则有221+2+101+=0，解得=2,所以所求圆的方程为x+32+y32=10.5 () 过圆x2+y2=4内一点A(1 , 1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.【答案】 x+y=4【解析】设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；x0+y0=4；点P的轨迹方程为x+y=4故答案为：x+y=46 () 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x3y3=0截得的弦长为23(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P , C三点的圆必过定点，并求所有定点坐标【答案】 (1) x22+y2=4 (2) (1 , 3)和(2 , 0) 【解析】 (1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a3|5由题意可得，d2+(3)2=r2，即(4a3)225+3=4，解得a=2或a=12(舍)圆C的方程为x22+y2=4；(2)证明：P是直线x+y+4=0上的点，P(m,m4)PA为圆的切线，PAAC,即过A,B,C三点的圆是以PC为直径的圆设圆上任意一点Q(x,y)，则PQCQ=0PQ=(xm,y+m+4)，CQ=(x2,y)，PQCQ=(xm)(x2)+y(y+m+4)=0，即x2+y22x+4y+m(x+y+2)=0故x2+y22x+4y=0x+y+2=0，解得x=1y=3或x=2y=0因此经过A,P,C三点的圆必过定点(1,3)和(2,0)7 () 如图，已知圆M：x2+y42=4，直线l的方程为x2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B(1)当P的横坐标为165时，求APB的大小；(2)求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标【答案】 (1) 60° (2) (0 , 4) , (85 , 45)【解析】(1)由题可知，圆M的半径r=2，P(165,85)，因为PA是圆M的一条切线，所以MAP=90°又因MP=(0165)2+(485)2=4=2r，又MPA=30°，APB=60°； (2)设P(2b,b)，因为MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：(xb)2+(yb+42)2=4b2+(b4)24，即(2x+y4)b(x2+y24y)=0由2x+y4=0x2+y24y=0，解得x=0y=4或x=85y=45，所以圆过定点(0,4),(85,45) 8 () 已知圆C经过坐标原点O和点G(2 , 2)，且圆心C在直线x+y2=0上(1)求圆C的方程；(2)设PA、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点若点P在直线xy2=0上运动，求证：直线AB经过定点；若点P在曲线y=14x2(其中x>4)上运动，记直线PA、PB与x轴的交点分别为M、N，求PMN面积的最小值【答案】 (1)x2+y22=4；2 直线AB恒过定点(1 , 1)；PMN的面积取得最小值32【解析】(1)由题意设圆C的圆心坐标(m,2m)，由题意OC2=CG2，即m2+2m2=m+22+2m22，解得m=0，即C(0,2)，所以可得半径r=|OC|=2，所以圆的方程为x2+y22=4；(2)由点P在直线xy2=0上运动，可设P(t,t2)，由PA和PB为圆C的两条切线，可得ACPA，BCPB，则P,A,C,B四点共圆，且圆心为PC的中点(t2,t2)，半径为12|PC|=12t2+(t4)2，则以PC为直径的圆的方程为xt22+yt22=14t2+t42，又圆C的方程为x2+y22=4，上面两圆的方程相减可得直线AB的方程tx+t4y+42t=0，由t(x+y2)+(44y)=0，可得x+y2=044y=0，解得x=y=1，则直线AB恒过定点(1,1)；若点P在曲线y=14x2(其中x>4)上运动，可设P(u,14u2)，u>4，显然切线PA,PB的斜率存在，设为k，可得切线方程设为y14u2=k(xu)，即kxy+14u2ku=0，由直线和圆相切的条件可得|2+14u2ku|1+k2=2，化为k2(u24)+2ku(2u24)+u416u2=0，=4u22u2424(u24)(u416u2)>0在u>4恒成立，k1+k2=u324uu24，k1k2=u416u2u24，|k1k2|=(k1+k2)24k1k2=(u324uu24)24u416u2u24=u2u24，而M(uu24k1,0),N(uu24k2,0)，|MN|=u24|k1k2k1k2|=u24u2u416u2=u2u244，所以PMN面积S=12u24u2u244=12u4u216，可设s=u216，s>0，则S=12(16+s)2s=12(s+256s+32)12(2s256s+32)=32，当且仅当s=16，即u=42时，PMN的面积取得最小值32