【必修】第8章立体几何初步.docx

第8章立体几何初步【章头语】立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支,在解决实际问题中有着广泛的应用.在小学和初中,我们已经认识了一些从现实物体中抽象出来的立体图形,你能在下图中找到它们吗?立体图形各式各样、千姿百态,如何认识和把握它们呢?本章我们将从对空间几何体的整体观察入手,研究它们的结构特征,学习它们的表示方法,了解它们的表面积和体积的计算方法;借助长方体,从构成立体图形的基本元素一点、直线、平面入手,研究它们的性质以及相互之间的位置关系,特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究,从而进一步认识空间几何体的性质.立体图形是由现实物体抽象而成的.直观感知、操作确认、推理论证、度量计算,是认识立体图形的基本方法.由整体到局部,由局部再到整体,是认识立体图形的有效途径.学习本章内容要注意观察,并善于想象.8.1基本立体图形【节引言】在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体(spacegeometry).本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度,认识几种最基本的空间几何体.【观察】如图8.1-1,这些图片中的物体具有怎样的形状?在日常生活中,我们把这些物体的形状叫做什么?如何描述它们的形状?纸杯纸箱腰鼓金字塔茶叶盒水晶萤石奶粉罐篮球和足球储物箱铅锤图8.1-1观察一个物体,将它抽象成空间几何体,并描述它的结构特征,应先从整体入手,想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系,并注意利用平面图形的知识.在图8.1-1中,可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点:围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形;纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点:围成它们的面不全是平面图形,有些面是曲面.一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(polyhedron)(图8.1-2).围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如面ABE,面BAF;两个面的公共边叫做多面体的棱,如棱AE,棱EC;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如顶点E,顶点C.图8.1-1中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状.【贴示】在空间几何体中说某个面是多边形,一般也包括这个多边形内部的平面部分.图8.1-2图8.1-3一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体(rotatingsolid).这条定直线叫做旋转体的轴.图8.1-3中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的.图8.1-1中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.下面,我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手,进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.1.棱柱【观察】观察图8.1-4中的长方体,它的每个面是什么样的多边形?不同的面之间有什么位置关系?图8.1-4可以发现,长方体的每个面都是平行四边形(矩形),并且相对的两个面,如面ABCD和面A'B'C'D',给我们以平行的形象,如同教室的地面和天花板一样.如图8.1-5,一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).图8.1-1中的茶叶盒所表示的多面体就是棱柱.在棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,它们是全等的多边形;其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.图8.1-5棱柱用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-5中的棱柱记作棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形,我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱在图8.1-4中的长方体中,侧棱和底面给我们以垂直的形象,如同教室里相邻墙面的交线和地面的关系一样.一般地,我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(图8.1-6(1)(3),侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(图8.1-6(2)(4).底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(图8.1-6(3).底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(图8.1-6(4).(1) (2)(3)(4)图8.1-62.棱锥像图8.1-1中金字塔这样的多面体,均由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点.如图8.1-7,一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.图8.1-7棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,如图8.1-7中的棱锥记作棱锥SABCD.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形,我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥,其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.3.棱台如图8.1-8,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台(frustumofapyramid).图8.1-1中的储物箱就给我们以棱台的形象.在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.类似于棱柱、棱锥,棱台也有侧面、侧棱、顶点.【思考】请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在图8.1-8中标出它们.图8.1-8棱台用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-8中的棱台记作棱台ABCDA'B'C'D'.由三棱锥、四棱锥、五棱锥.截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来:多面体,长方体,棱柱,棱锥,棱台,直棱柱,四面体,平行六面体.解:如图8.1-9所示.图8.1-9【练习】1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征.(1) (2)(3)(4)(第1题)2.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“×”.(1)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.()(2)四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体.()3.填空题(1)一个几何体由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他各面都是全等的矩形,则这个几何体是_.(2)一个多面体最少有_个面,此时这个多面体是_.4.设计一个平面图形,使它能折成一个直三棱柱.4.圆柱如图8.1-10,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(circularcylinder).旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.图8.1-10在生活中,许多物体和容器都是圆柱形的,如图8.1-1中的奶粉罐.圆柱用表示它的轴的字母表示,如图8.1-10中的圆柱记作圆柱O'O.5.圆锥与圆柱一样,圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的.如图8.1-11,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circularcone).图8.1-1中的铅锤就是圆锥形物体.圆锥也有轴、底面、侧面和母线.图8.1-11圆锥也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-11中的圆锥记作圆锥SO.【边空思考】请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义,给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义,并在图8.1-11中标出它们.6.圆台如图8.1-12,与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(frustumofacone).图8.1-1中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体.图8.1-12与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线(请你在图8.1-12中标出它们).圆台也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-12中的圆台记作圆台O'O.【探究】圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到.圆台是否也可以由平面图形旋转得到?如果可以,由什么平面图形旋转得到?如何旋转?7.球如图8.1-13,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体(solidsphere),简称球.半圆的圆心叫做球的球心;连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球常用表示球心的字母来表示,如图8.1-13中的球记作球O.图8.1-13棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体.其中棱柱与圆柱统称为柱体,棱锥与圆锥统称为锥体,棱台与圆台统称为台体.【探究】棱柱、棱锥与棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?当底面发生变化时,它们能否互相转化?圆柱、圆锥与圆台呢?8.简单组合体现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体.(1) (2)(3)(4)图8.1-14简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成,如图8.1-14(1)(2)中物体表示的几何体;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图8.1-14(3)(4)中的几何体.现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.【边空思考】请你说一说图8.1-14中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的.例2如图8.1-15(1),以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.解:几何体如图8.1-15(2)所示,其中DEAB,垂足为E.(1) (2)图8.1-15这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的.其中圆柱BE的底面分别是B和E,侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的;圆锥AE的底面是E,侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.【练习】1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征.(1) (2)(3)(4)(第1题)2.说出图中物体的主要结构特征.(1) (2)(第2题)(第3题)3.如图,以三角形ABC的一边AB所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.4.观察我们周围的物体,说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征.习题8.1【复习巩固】1. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,指出经过顶点D的棱和面.(第1题)2.如图,下列几何体中为棱柱的是(填写序号).(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(第2题)3.如图,汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个图形是().(A) (B)(C)(D)(第3题)4.如图,判断下列几何体是不是台体,并说明为什么.(1) (2)(3)(第4题)5.如图,说出图中两个几何体的结构特征.(1) (2)(第5题)【综合运用】6.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“×”.(1)一个棱柱至少有5个面.(2)平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.(3)有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.(4)正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.7.如图,右边长方体中由左边的平面图形围成的是().(C)(B)(第7题)8.如图,长方体ABCDA'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH/B'C'/FG.请说出这两个几何体的名称.(第8题)(第9题)9.如图,以ABCD的一边AB所在直线为轴,其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.画出这个几何体的图形,并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.【拓展探索】10.下列命题是否正确?若正确,请说明理由;若错误,请举出反例.(1)有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱;(2)有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台.8.2立体图形的直观图【节引言】前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征.为了将这些空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识.直观图是观察者站在某一点观察一个空问几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面图形.【观察】如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状?图8.2-1在初中,我们已经学习过投影.一个物体的投影,不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关.如果一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面,则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2).图8.2-2利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使x'O'y'=45(或135),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图.如图8.2-3,A'B'C'D'就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图.其中横向线段A'B'=AB,C'D'=CD;纵向线段A'D'=12AD,B'C'=12BC;D'A'B'=45.这与我们的直观观察是一致的.图8.2-3例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.画法:(1)如图8.2-4(1),在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,AD的垂直平分线MN为y轴,两轴相交于点O.在图8.2-4(2)中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使x'O'y'=45.(1) (2)(3)图8.2-4(2)在图8.2-4(2)中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=12MN.以点N'为中点,画B'C'平行于x'轴,并且等于BC;再以M'为中点,画F'E'平行于x'轴,并且等于FE.(3)连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'(图8.2-4(3).【边空思考】在利用斜二测画法画直观图的过程中,x轴和y轴起到了什么作用?画直观图时,除多边形外,还经常会遇到画圆的直观图的问题.生活的经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板.图8.2-5【贴示】在立体几何中,常用正等测画法画水平放置的圆.【练习】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“”,错误的画“×".(1)相等的线段在直观图中仍然相等.()(2)平行的线段在直观图中仍然平行.()(3)一个角的直观图仍是一个角.()(4)相等的角在直观图中仍然相等.()2.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定).(1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形.画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图.分析:画棱柱的直观图,通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面,再画出侧棱,就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱,为画图简便,可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.画法:(1)画轴.如图8.2-6,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O(A),使xOy=45,xOz=90.(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB,使AB=3cm;在y轴正半轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.图8.2-6(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA',使AA'=1.5cm,过B,C,D各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图了.【贴示】画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸可以适当选取.用斜二测画法画图的角度也可以自定,但要求图形具有一定的立体感.例3已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长3cm,画出它的直观图.解:(1)画轴.如图8.2-7,画x轴、z轴,使xOz=90.图8.2-7(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取点O',使OO'=3cm,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA',BB',整理得到圆柱的直观图.对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后画出两侧的两条母线(图8.2-8).图8.2-8图8.2-9画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性(图8.2-9).例4某简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.分析:画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后再画直观图.本题中没有尺寸要求,画图时只需选择合适的大小,表达出该几何体的结构特征就可以了.画法:如图8.2-10,先画出圆柱的上下底面,再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点,最后画出圆柱和圆锥的母线,并标注相关字母,就得到组合体的直观图.图8.2-10【练习】1.用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.2.用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.3.一个简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个半球,并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心.画出这个组合体的直观图.习题8.2【复习巩固】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“”,错误的画“×"".(1)三角形的直观图是三角形.()(2)平行四边形的直观图是平行四边形.()(3)正方形的直观图是正方形.()(4)菱形的直观图是菱形.()2.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图:(1)直角边横向;(2)斜边横向.3.用斜二测画法画出底面边长为2cm,侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.4.画底面半径为1cm,母线长为3cm的圆柱的直观图.【综合运用】5.一个菱形的边长为4cm,一内角为60,将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向,试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.6.已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成,画出这个圆锥的直观图.7.一个几何体的三视图如图所示,画出这个几何体的直观图.正视图侧视图俯视图【拓广探究】8.画出你所在学校的一些建筑物的直观图(尺寸自定).(第7题)【阅读与思考】画法几何与蒙日画法几何就是在平面上绘制空间图形,并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科.它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用.画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术.意大利艺术家莱奥纳多·达·芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论,主要是中心投影.法国数学家德萨格(GérardDesargues,1593-1662)在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法,以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法,主要是运用正投影.后来法国数学家蒙日经讨深入研究,在1799年出版了画法几何学一书.在该书中,蒙日第一次详细阐述了怎样把空间(三维)物体投影到两个互相垂直的平面上,并根据投影原理(这种原理后来发展成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质.蒙日的画法几何学不论是在概念上,还是在方法上都有深远的影响.这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值,从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科.蒙日成为画法几何的创始人.蒙日生长在法国大革命时代,他出生于法国东部博衲的一个小商人家庭.16岁时,因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图,他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员.1768年,蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学,那时他只有22岁.1780年,他被选为巴黎科学院通讯院士.1783年,他迁居巴黎后,积极投身巴黎的公共事务,曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长,并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院.为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置,蒙日用几何方法避开了麻烦的计算.他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法,在实际中有着广泛的应用,并导致画法几何的产生.法国大革命前后,由于军事建筑上的迫切需要,蒙日的画法几何方法被列为军事秘密,所以很久末能公之于世.直到当时的军事约束解除后,蒙日才公布了他的研究成果,这已是他建立画法几何之后30年的事了.8.3简单几何体的表面积与体积【节引言】前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示,本节进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.例1如图8.3-1,四面体PABC的各棱长均为a,求它的表面积.分析:因为四面体PABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.解:因为PBC是正三角形,其边长为a,所以SPBC=34a2.图8.3-1因此,四面体PABC的表面积SPABC=4×34a2=3a2.2.棱柱、棱锥、棱台的体积我们以前已经学习了特殊的棱柱一一正方体、长方体的体积公式,它们分别是V正方体=a3(a是正方体的棱长),V长方体=abc(a,b,c分别是长方体的长、宽、高).一般地,如果棱柱的底面积是S,高是,那么这个棱柱的体积V棱柱=S.【贴示】棱柱的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此,一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为,那么该棱锥的体积V棱锥=13S.【贴示】棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离.由于棱台是由棱锥截成的,因此可以利用两个棱锥的体积差,得到棱台的体积公式V棱台=13S'+S'S+S，其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高.【贴示】棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离.【思考】观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V椶柱=S,V棱锥=13S,V棱台=13S'+S'S+S,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?例2如图8.3-2,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)图8.3-2分析：漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和.解：由题意知V长方体ABCDA'B'C'D'=1×1×0.5=0.5m3,V棱锥PABCD=13×1×1×0.5=16m3.所以这个漏斗的容积V=12+16=230.67m3.【练习】1.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积.2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体,将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.(1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体?(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(5)六个面均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?它们占有多少立方厘米的空间?(第2题)(第3题)3.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少?4.求证:直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、圆锥、圆台的展开图(图8.3-3),可以得到它们的表面积公式:S圆柱=2r(r+l)(r是底面半径,l是母线长),S圆锥=r(r+l)(r是底面半径,l是母线长),S圆台=r'2+r2+r'l+rlr',r分别是上、下底面半径,l是母线长.图8.3-3【思考】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式,即V圆柱=r2(r是底面半径,是高),V圆锥=13r2(r是底面半径,是高).由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式V圓台=13r'2+r'r+r2r',r分别是上、下底面半径,是高).【思考】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?【归纳】V柱体=S(S为底面积,为柱体高);V锥体=13S(S为底面积,为锥体高)；V台体=13S'+S'S+S(S',S分别为上、下底面面积,为台体高).当S'=S时,台体变为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S'=0时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式.2.球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是S球=4R2.例3如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(取3.14)解:一个浮标的表面积为2×0.15×0.6+4×0.152=0.8478m2,所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).图8.3-4【思考】在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法,你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图8.3-5,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体".图8.3-5当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径R.设OABCD是其中一个“小锥体”,它的体积是VOABCD13SABCDR.由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,球的体积V球=13S球R=13×4R2R=43R3.由此,我们得到球的体积公式V球=43R3.例4如图8.3-6,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.解：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.V球=43R3,V圆柱=R22R=2R3,V球:V圆柱=43R3:2R3=23.图8.3-6【节小结】本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体,往往形状比较复杂,但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的,它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.【练习】1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.2.当一个球的半径满足什么条件时,其体积和表面积的数值相等?3.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的体积.4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm的水槽中装有200000cm3的水,现放入一个直径为50cm的木球.如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中溢出?习题8.3【复习巩固】1.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形,那么这个八面体的表面积是多少?(第1题)(第2题)2.如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.3.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.那么当底面ABC水平放置时,水面高为多少?(第3题)(第4题)4.如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积.5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,求球的体积.【综合运用】6.如图是一个烟筒的直观图(图中数据的单位为厘米),它的下部是一个正四棱台形物体,上部是一个正四棱柱形物体(底面与四棱台形物体的上底面重合).为防止雨水的侵蚀,同时使烟筒更美观,现要在烟筒外部粘贴瓷砖,请你计算需要多少平方厘米的瓷砖?(结果精确到1cm2,可用计算工具)(第6题)(第7题)7.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.9×103kg/m3)六角螺母共重5.8kg.如图,每一个螺母的底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,这堆螺母大约有多少个?(可用计算工具,取3.14)8.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积之间有什么关系?【拓广探索】9.如下页图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积.(可用计算工具,尺寸如图,单位:cm,取3.14,结果取整数.)(第9题)【探究与发现】祖暅原理与柱体、锥体的体积一、祖暅原理祖暅(gèng)(5世纪一6世纪)，字景烁,祖冲之之子，范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,南北朝时期的伟大科学家.祖暅在数学上做出了突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同,则积不容异”.这就是“祖暅原理”.“势”即是高,“幂”是面积,祖暅原理用现代语言可以描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1,夹在平行平面间的两个几何体(它们的形状可以不同),被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.图1图2这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体(图2),使它倾斜一个角度,这时几何体的形状发生了改变,得到了另一个几何体,但两个几何体的高度没有改变,每页纸的面积也没有改变,因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式,我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积.祖暅给出上面的原理,要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪,意大利数学家卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)才给出上述结论.二、柱体、锥体的体积下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式.设有底面积都等于S,高都等于的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体,使它们的下底面在同一平面内(图3).根据祖暅原理,可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘高,于是我们得到柱体的体积公式V柱体=S.其中S是柱体的底面积,是柱体的高.图3设有底面积都等于S,高都等于的两个锥体(例如一个棱锥和一个圆锥),使它们的底面在同一平面内(图4).根据祖暅原理,可推导出它们的体积相等.这就是说,等底面积等高的两个锥体的体积相等.图4图5如图5,设三棱柱ABCA'B'C'的底面积(即ABC的面积)为S,高(即点A'到平面ABC的距离)为,则它的体积为S.沿平面A'BC和平面A'B'C,将这个三棱柱分割为3个三棱锥.其中三棱锥1,2的底面积相等(SA'AB=SA'B'B),高也相等(点C到平面ABB'A'的距离),三棱锥2,3也有相等的底面积SB'BC=SB'C'C和相等的高(点A'到平面BCC'B'的距离).因此,这3个三棱锥的体积相等,每个三棱锥的体积是13S.如果三棱锥A'ABC(即三棱锥1)以ABC为底,那么它的底面积是S,高是,而它的体积是13S.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘高的积的三分之一.事实上,对于一个任意的锥体,设它的底面积为S,高为,那么它的体积应等于一个底面积为S,高为的三棱锥的体