北师大版（2019）数学必修第一册：2.3《函数的单调性和最值》学案.docx
函数的单调性和最值【第一课时】【学习目标】（1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；（2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；（3）熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【学习重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【学习过程】一、知识引入初中学习了一次函数y=kx+b的图象和性质.当k>0时，直线是向右上，即函数值y随x的增大而_，当k<0时，直线向右下，即函数值y随x的增大而_。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？（2）如图，是函数fx（x6,9）的图象，说出在各个区间函数值fx随x的值的变化情况.二、新知识一般地，在函数y=fx定义域内的一个区间A上.如果对于任意的x1,x2A，当x1<x2时，都有_，那么就称函数y=fx在区间A上是增函数或递增的；如果对于任意的x1,x2A，当x1<x2时，都有_，那么就称函数y=fx在区间A上是减函数或递减的。注意：函数y=fx在区间A上是增函数（减函数），那么就称函数在区间A上是单调函数，或称在区间A上具有单调性，区间A称为函数y=fx的单调区间。如：一元二次函数fx=x2在区间0,+）上是_（单调递增），区间0,+）是函数fx=x2的_区间；增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；“函数在区间A上单增”与“函数的单增区间是A”两种叙述含义是不同的.如：函数fx=x22ax1的单调递增区间为2,+），则对称轴a_；函数fx=x22ax1在区间2,+）上单调递增，则对称轴a_.函数y=1x的定义域为,0（0,+），由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是,0（0,+）”，而只能说“函数在区间,0和区间（0,+）上都是递减的”.例1.设fx=1x（x<0），画出函数fx+3（x<3）的图象，并通过图象直观判断它的单调性.例2.根据函数图象直观判断y=|x1|的单调性.例3.判断函数fx=3x+2的单调性，并给出证明.思考讨论（综合练习）（1）二次函数fx=x2+2ax+2在区间1,2上单调，则实数a的取值范围；（2）设函数fx=x2+1ax，证明：当a1时，函数fx在区间0,+）上是减函数；（3）已知a>0，函数fx=x3ax是区间1,+）上的单调函数，求实数a的取值范围；（4）设实数tR,函数fx=x22x1在区间t,t+1上的最小值是g（t），求g（t）并画出y=g（t）的图象.【第二课时】【学习目标】（1）利用函数的单调性定义证明函数的单调性；（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；（3）熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。【学习重难点】（1）利用定义证明函数的单调性；（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；（3）利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。【学习过程】思考讨论：（1）增函数和减函数的定义是什么？（2）如果有两个函数y=fx和y=gx，在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么函数y=fx+gx的具有怎样的单调性？能不能判断函数y=fxgx的单调性呢？例4.判断函数fx=x的单调性，并给出证明.例5.试用定义证明：函数fx=x+1x在区间（0,1上是减函数，在区间1,+）上是增函数.注意：函数y=x+1x在区间（0,1上是减函数，在区间1,+）上是增函数.x（0,+）时，由函数的单调性或由均值不等式x+1x2，可得当x=1时，函数y=x+1x取得最小值2，同理也可以得到x（,0）时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.形如fx=ax+bx（a>0,b>0）的函数，在区间（0,+）上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当x=_时，函数取得最小值_，函数在区间（0,ba上是_，在区间ba,+）上是_；设y是u的函数y=fu，u是x的函数u=g（x），其中函数u=g（x）的值域是函数y=fu的定义域或子集，则函数y=fg（x）称为函数y=fu与函数u=g（x）的复合函数。复合函数单调性常采用分层分析的方法：如：函数y=x2+1，令u=x2+1，则y=u当x（,0）时，x,u=x2+1,y=u，所以函数y=x2+1在x（,0）时单减，当x（0,+）时，x,u=x2+1,y=u，所以函数y=x2+1在x（,0）时单增，其中“”代表增大，“”代表减小.有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.如：求函数fx=12xx1在区间2,3上的最值.fx=_，当x2,3时，随着x，1x1，所以函数fx，即函数单增.所以fxmin=_，fxmax=_。思考讨论（综合练习）（1）如果函数fx=x2+bx+c，对任意实数x都有f2+x=f（2x），试比较f3、f2、f3的大小；（2）函数在R上单调递增，求实数a的取值范围（3）求函数y=32xx2的单调区间；（4）已知定义在区间（0,+）上的函数fx，满足：i）对任意x,y（0,+），都有fxy=fx+f（y）；ii）当0<x<1时，fx>0.判断并证明fx在区间（0,+）上的单调性；解关于a的不等式f12af4a2>0.
