0603高一数学（人教A版）平面-1教案.docx

教 案教学基本信息课题平 面学科数学学段：高中年级高一年级教材书名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课主要内容是基于日常生活经验采取类比直线的手段引入平面的概念及其表示法，并用三个基本事实来刻画平面的“平”“无限延展”等基本特性，同时掌握确定平面的基本要素；按照“三维对象（几何模型）-图形-文字-符号”的程序展开，让学生经历从实际背景中抽象空间图形的过程，加强由实际模型到图形，再由图形到实际模型的基本训练，逐步培养学生的空间想象能力，发展直观想象素养.教学重点：平面基本性质（三个基本事实）及其推论；教学难点：对三个基本事实刻画平面基本性质的理解，三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）及其相互转化.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入前面我们从现实生活的物体中抽象出简单几何体，并初步认识了它们的基本组成元素，了解了它们的结构特征，掌握了一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；为了更深入的认识和把握这些简单几何体，从本节课开始我们将从构成它们的基本元素：点、直线、平面入手，从局部到整体进一步研究简单几何体及其性质.回顾前面的知识，明确研究简单几何体的方法，并引出本节课内容新课一、平面的基本特征及其表示法（一）平面的基本特征通过初中的学习我们知道了点和直线是由现实事物抽象而来的，同时也明确了直线的两个本质特征：“直”和向两端“无限延伸”.同样我们也可以从现实事物中抽象出几何里的“平面”，例如课桌面、黑板面、平静的水面等，类比直线我们可以概括出平面的本质特征：“平”和向四周“无限延展”.（二）平面的表示法接下来我们来学习平面的图形表示和符号表示：1、图形表示：问题1：同学们下面请你回想一下，我们是如何表示直线的？类比用直线的局部（即线段）表示直线，我们选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图（即平行四边形）来表示平面.如图，把平行四边形的一边画成横向来表示水平放置的平面，把平行四边的一边画成竖向来表示竖直放置的平面. 水平放置 竖直放置 2、符号表示：我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将他们写在代表平面的平行四边形的一个角内，如下图所示。我们也可以用平行四边形的四个顶点或相对顶点的大写字母表示平面，如平面、平面或者平面. 二、点、直线、平面位置关系的符号表示我们知道直线上有无数个点，平面上有无数条直线，直线与平面都可以看做点的集合，接下来我们将借助集合符号来表示点、直线、平面的位置关系.1、用符号“”和“”来表示点与直线，点与平面的位置关系；2、用符号“”和“”来表示直线与平面的位置关系； 3、用符号“”来表示直线与直线、直线与平面、平面与平面相交这种位置关系 这里需要注意的是P既可以理解为一个点，也可以理解为只含一个元素（点P）的集合.练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：(1)点A在平面内，点B在平面外；(2)直线经过平面外一点M；三、平面的基本性质问题2：要研究平面，首先要确定平面.我们知道两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？在我们的日常生活中常常可以看到这样的现象：（1）自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；（2）三角架的三角着地就可以支撑照相机；问题3：上述两个生活现象的共同特征是什么？可以反映出平面的什么性质？可以发现它们的共同点是：不共线的三个支点同时落在了地面上，如果将三个支点抽象成点，地面抽象成平面，可以得到如下结论：基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.问题4：结论中的“有且只有”对于我们理解基本事实1起到至关重要的作用，那么“有且只有”的含义是什么呢？“有”指过不在一条直线上的三个点存在一个平面体现了平面存在性；“只有一个”是指过不在一条直线上的三个点存在唯一一个平面体现了平面唯一性.问题5：经过空间中的一个点或者两个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？问题6：经过在一条直线上的三个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？ 问题7：空间中不在一条直线上的4个点一定会在一个平面内吗？图形语言如下：如图不共线的三点所确定的平面也可以表示为平面.基本事实1的作用：基本事实1给出了确定一个平面的依据，它也可以简单的表述为“不共线的三点确定一个平面”.基本事实1小结：基本事实1反映了点与平面的关系，从点与平面的角度刻画了平面的基本特征.问题8：（1）如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？（2）是如果直线与平面有两个公共点，直线是否在平面内？对于问题（1）结合我们已有的生活经验很容易得到直线并不一定在平面内如图所示，对于问题2我们可以考虑这样的生活经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在桌面上，我们将直尺抽象成直线，桌面抽象成平面，我们可以得到如下结论：基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内.图形语言如下：符号语言为：，且，.基本事实2告诉我们如果一条直线上的两个点在平面内，那么整条直线都在平面内，更进一步说直线上的所有点都在平面内.基本事实2 的作用：利用基本事实2可以判定直线是否在平面内.基本事实2小结：基本事实2反映出用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”，那么为什么能用直线的直和无限延伸来刻画平面的平和无限延展呢，我们作如下解释：如图由基本事实1,给定不共线的三点，它们可以确定一个平面；连接,由基本事实2知，这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得的直线也都在平面内，以此类推，所有这些直线可以编织成一个直线网可以铺满平面.组成这个直线网的直线的直和向各个方向无限延伸，说明了平面的平和无限延展了。问题9：（1）把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只有一个公共点？（2）如果有其他公共点，他们和这个公共点有什么样的关系呢？我们可以想象三角板所在的平面向四周无限延展，这样它必然会穿透课桌面，所以两个平面不止有一个公共点，而是相交于一条直线.所以我们可以得到如下结论：基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.图形语言如下： （1） （2）注：在两个平面相交时，如果一个平面的一部分被另外一个平面挡住，在画图时被挡住的部分画成虚线如图（1）或不画如图（2）符号语言：,且，且基本事实3的作用：（1）利用基本事实3可以判定两个平面相交，即如果两个平面有公共点，那么这两个平面一定相交于一条直线. （2）利用基本事实3可以判定点在直线上，即若点是两个平面的交点，直线是两个平面的交线，那么这点一定在该交线上.基本事实3小结：基本事实3反映了平面与平面之间的关系，从平面与平面角度刻画了平面的基本特征，由于平面是“平”的，这样两个平面的交线才是直线，否则就不可能是直线如下图，平面与曲面的交线不是直线 三个基本事实从不同角度刻画了平面的平和无限延展的本质特征；三个基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础.练习 如图，在正方体中，判断下列命题是否正确.(1)直线在平面内；(2)设正方形和的中心分别为则平面与平面的交线为； (3)由点B，O，D可以确定一个平面问题10：基本事实1给出了确定平面的一种方法，还有其它确定平面的方法吗？探究推论1：由基本事实1知不共线的三点A，B，C确定一个平面,如图，把AB连成直线，则由基本事实2可得直线AB在平面内，所以，平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面.故我们可以得到如下推论：推论1：经过直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.探究推论2：由推论1知平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面，如图，再将AC连成直线，此时直线AB与AC相交于点A，再由基本事实2知直线AC在平面内.所以平面是唯一一个经过两条相交直线AB, AC的平面，故我们可以得到如下推论:推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.探究推论3：由推论1知平面是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面，如图,过点C作CD平行于AB，因为，直线AB,CD在同一平面内. 所以，平面是唯一一个经过两条平行直线AB,CD的平面. 故我们可以得到如下推论:推论3：经过两条平行直线，有且只有一个一个平面.推论3可以证明平行四边形，梯形都是平面图形.上面的3个推论和基本事实1为我们提供了确定一个平面的几种方法，这些都是我们后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时常用结论.明确抽象对象，引导学生感受平面的特点，并类比直线的“直”和向两端“无限延伸”，得到平面的两个本质特征.类比直线的表示法给出平面的表示法，让学生感悟类比是数学中研究问题的一个重要手段.通过平面的图形表示实际也是其直观图的表示进一步发展学生的直观想象素养.给出点和直线、平面之间位置关系的集合符号表示，让学生体会文字语言、图形语言和符号语言间的转化.基本事实1的给出与 “两点确定一条直线”相类比，结合生活现象抽象出结论,明确本节课乃至全章的研究方法.通过三个问题帮助学生加深对基本事实1的理解，三个问题从反面说明了基本事实1中不共线三点这个条件的重要性.基本事实1实际是点和平面的位置关系，也是确定平面的问题，从不同角度让学生体会“过不在一条直线上的三个点”这一条的重要性.基本事实2反映了直线和平面的关系，从基本事实1开始已经明确了研究的思路和方法.从集合的角度来阐述基本事实2,让学生体会基本事实2的两层意思：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内.结合基本事实1和基本事实2，用直线的“直”和“无限延伸”的本质特征说明平面的“平”和“无限延展”的本质特征，利用ppt展示直线“密铺”整个平面的过程，让学生加深对于平面的理解. 提出思考问题，结合生活经验，归纳得出基本事实3.基本事实3反映了两个平面的位置关系，只要两个不重合的平面有公共点，它们就必然相交，引导学生进行直观想象，发展学生的直观想象素养.基本事实3描述了两个平面相交的特征，为学生日后研究两平面相交提供的方法，基本事实3从另外一个角度反映了平面的本质特征，进一步加深了学生对平面的理解.在教学中引导学生通过基本事实1和基本事实2相结合逐步得到三个推论，在这一过程中，进一步体会三个基本事实在得到确定平面的三个推论中的重要作用.由于推论的证明涉及到存在性和唯一性两个方面，学生初次接触较为困难，故在教学中采取叙述说理的方式让学生体会三个推论的正确性，并未证明,同时也突出了本节课的重点内容.例题例题 证明两两相交且不过同一点的3条直线必在同一平面内.例题 如图，正方体，是棱上的一点，试说明三点所确定的平面与平面相交，并画出两个平面的交线.本例题的题干是文字语言，学生在理解题意时，教师引导学生要将文字语言转化为图形和符号语言，进而加深对题干的理解.本例题是以正方体为载体考查了学生对三个基本事实的理解和综合应用能力，同时也在强化本章内容学习的重要载体,为学生后续学习开拓思路.总结同学们，请思考下面三个问题并老师一起来回顾本节课的内容 （1）三个基本事实分别是什么？ （2）我们是如何得到这个三个基本事实的？ （3）确定一个平面的方式有几种？ 本节课与我们现实世界联系密切，是整个立体几何推理的基础，在本节课中，我们先从现实事物中抽象出平面，类比直线归纳总结出平面的基本特征为：平和向四周无限延展，之后从生活经验中总结归纳出平面的基本性质即三个基本事实，这三个基本事实从不同的角度刻画了平面的平和向四周无限延展，之后利用基本事实1和2得到了三个常用的推论，这三个推论与基本事实1一样给出了确定一个平面的依据. 通过教师的提问，引导学生梳理本节课所学知识，体会立体几何的研究内容、思路和方法.作业1判断下列命题是否正确(1)书桌面是平面(2)平面与平面相交，它们只有有限个公共点(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 2下列命题正确的是（ ） (A)三个点确定一个平面 (B)一条直线和一个点确定一个平面 (C)圆心和圆上两点可确定一个平面 (D)梯形可确定一个平面 3不共面的四点可以确定几个平面？请你画出图形说明你的结论 巩固本节课所学内容