北师大版（2019）数学必修第一册：1.3.2《基本不等式》教案.docx

基本不等式【教学分析】本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之-，为后续的学习奠定基础。要进-步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。【教学目标】1通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2借助基本不等式解决简单的最值问题【核心素养】1数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”2逻辑推理：本节内容进-步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3数学运算：利用基本不等式求最值4直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进-步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；5数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的-个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积-定，周长最小；周长-定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。【教学难点】1基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。【教学重点】应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。【课前准备】PPT【教学过程】1知识引入对于任意实数和，总是成立的，即，所以，当且仅当时，等号成立若，取，则：，当且仅当时，等号成立；这个不等式称为基本不等式，其中称为，的算术平均数，称为，的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值2基本不等式的几何解释如图1-14，是半圆的直径，点在上，且，过点作的垂线交于点。连接，显然；利用三角形相似，可证得相似于，从而，从图中可以看出，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半弦”利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出-些其他的简单不等式例4：已知，求证:证明因为，所以由基本不等式得，；三式相加，得即：把-段长为的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大表1-3方案长/宽/面积/方案1方案2方案3设矩形的长为，宽为，则此时，由基本不等式 得，即又因为当时，（即不等式中的等号成立），由此可知，边长为的正方形的面积最大思考交流：类比上面的方法，说明：面积为的所有不同形状的矩形中，边长为的正方形的周长最小重点结论：当，均为正数时，下面的命题均成立：（1）若（为定值）则当且仅当时，取得最大值（2）若(为定值）则当且仅当时，取得最小值例5：已知x，y均为整数，试证明：若(为定值），则当且仅当，时，取得最大值证明：由基本不等式和，得，所以，又因为当时，不等式中的等号成立，所以此时取得最大值例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，-面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（接头处不计）（1）现有可围长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？（2）若使每间禽舍面积为则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？解：（1）设每间禽舍的长为，宽为，则设，应用基本不等式，有，即：当且仅当时，不等式中等号成立，此时，；因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为和时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为重点题型（1）利用基本不等式求求最值1下列函数中，最小值是2的是（）ABCD答案：C2下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则答案：D（2）和定积最大，和定积最小的考查1若，其中，则的最小值等于（）AB2CD答案：C2已知，且，则（）A有最大值为1B有最小值为1C有最大值为D有最小值为答案：C（3）“1”的代换运用1若对任意的正数，满足，则的最小值为（）A6B8C12D24答案：C2若，则的最小值是【教学反思】一个不等式：若，则有，当且仅当时，两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小）值是注意：“一正二定三相等”