1.1.2 空间向量数量积的运算-(选择性必修第一册) (教师版).docx

空间向量数量积的运算1空间向量的夹角及其表示已知两非零向量 a , b，在空间任取一点 O，作 OA=a , OB=b ，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a , b> ；且规定0<a , b> ；若 <a , b>=2，则称a与b互相垂直，记作:ab .2向量的模设 OA=a，则有向线段 OA 的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|.3 向量的数量积已知向量a , b ，则|a| b|cos<a , b> 叫做a , b的数量积，记作ab，即ab= |a| b|cos<a , b>.4 空间向量数量积的性质 a bab=0. a2=a2. 5 空间向量数量积运算律 a b=(a b)=a(b) a b=ba (交换律) ab+c=ab+a c (分配律)不满足乘法结合律:a bca(bc) 【题型一】数量积的运算【典题1】如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分别是AD、BC的中点，则ANCM=【解析】在三棱锥ABCD中，连结ND，取ND的中点为E，连结ME，则ME/AN，异面直线AN,CM所成的角就是EMCAB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M,N分别是AD、BC的中点，AN=22,ME=EN=2,MC=22，又ENNC,EC=NC2+NE2=3cosEMC=MC2+ME2EC22MCME=2+832×2×22=78由图可知，AN与CM所成角为钝角，则cosAN,CM=78ANCM=|AN|CM|cos<AN,CM>=22×22×78=7故答案为：7【典题2】已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,CD的中点，则AFCE=( )A1B2C1D2【解析】四面体ABCD，所有棱长均为2，四面体ABCD为正四面体，E,F分别为棱AB,CD的中点，AFCE=12(AC+AD)(AEAC)=12ACAE12AC2+12ADAE12ADAC =12×2×1×1212×4+12×2×1×1212×2×2×12=2故选：D【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义ab= |a| b|cos<a , b>；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把AFCE转化为12(AC+AD)(AEAC)，因为AC，AD，AE，AC四个向量之间数量积易求. 巩固练习1() 平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB+DC+2AD)(ABAC)=0，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D无法确定【答案】 C 【解析】 (DB+DC+2AD)(ABAC)=0，(AB+AC)(ABAC)=0，可得AB2=AC2可得AB=AC则ABC的形状是等腰三角形故选：C2() 在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，ABCD+ACDB+ADBC=( )A1B0C1D不确定【答案】 B 【解析】 根据题意，ABCD+ACDB+ADBC=AB(ADAC)+AC(ABAD)+AD(ACAB)=ABADABAC+ACABACAD+ADACADAB=0，故选：B3() 如图，在三棱锥PABC中，AP,AB,AC两两垂直，AP=2，AB=AC=1，M为PC的中点，则ACBM的值为 .【答案】 12 【解析】由题意得BM=BA+AM=BA+12(AP+AC)=BA+12AP+12AC，故ACBM=ACBA+12AP+12AC=ACBA+AC12AP+AC12AC=12|AC|2=124() 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC+(1xy)AD，点N满足DN=DA(1)DB，当AM、DN最短时，AMMN= .【答案】 13 【解析】 AM=xAB+yAC+(1xy)AD，DN=DA(1)DB，M平面BCD，N直线AB，当AM,DN最短时，AM平面BCD，DNAB，M为BCD的中心，N为线段AB的中点，如图：又正四面体的棱长为1，AM=63，AM平面BCD，AMAB=|AM|AB|63=AM2，AMMN=AMANAM=AM12ABAM =12AMABAM2=12|AM|2=12×69=135() 已知三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥PABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知AO=AB+AC+11+3HP，且+=1，则球O的表面积为 【答案】 150 【解析】由于三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，O为球心，OA=OB=OC=OP=R，即有PHAB,PHAC，HPAB=HPAC=0，由AO=AB+AC+11+3HP，则有AOAB=ABAB+ACAB+11+3HPAB，即有32=64+ACAB，同理对两边取点乘AC，可得18=36+ABAC，又+=1由解得，=12,=12,ABAC=0，即有AO=12AB+12AC+11+3HP即有AOAH=12ABAH+12ACAH+11+3HPAH，即为AH2=12×32+12×18=25，又AO2=12AB+12AC+11+3HP2，即R2=14×64+14×36+11+32HP2+2×14×ABAC=25+11+32HP2，又在直角三角形AOH中，R2=(HPR)2+AH2，即有(HPR)2=R225由解得R2=752，则有球O的表面积S=4R2=150 【题型二】数量积的应用【典题1】 如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB=2，AC=3，BD=4，求CD的长【解析】方法一 如图过点A作AE/BD，过D作DE/AB，则易得CAE=60°，AE=4，ED=2，在CAE中，CE2=AC2+AE22ACAEcosCAE=9+1612=13在RtCED中，CD2=CE2+ED2=13+4=17CD=17.方法二 如图，CD=CA+AB+BD，CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+ABBD+BDCA=CA2+AB2+BD2+2BDCA=9+4+16+2×4×3×cos120°=17CD的长为17【点拨】 a bab=0； 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！【典题2】已知：正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，求EF，GH的夹角【解析】 (1)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a,AC=b,AD=c，BE=12BC=12(ACAB)=12(ba)，AF=12AD=12C；EF=EB+BA+AF=12(ba)a+12c=12(cab)，同理可得GH=12(b+ca)；EFGH=14(ca)2b2=14c2+a22cab2 =121+12×1×1cos601=0，EF与GH的夹角为90°巩固练习1() 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，BAD=BAA1=DAA1=60°，求AC1的长度. 【答案】 6【解析】 AC1=AB+AD+AA1，则AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=1+1+1+3×2×1×1×cos60°=6|AC1|=62() 如图，三棱锥OABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=OC，记OA=a，OB=b，OC=c求DE的最小值 【答案】 22 【解析】根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=OC，记OA=a，OB=b，OC=cDE=OEOD=OC12(OA+OB)=c12a12b，根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|=32，且cosDOE=33，|DE|2=|OEOD|2=OE22OEOD+OD2 =(c)22××1×32×cosDOE+34=2+34=122+12，则当=12时，|DE|2取得最小值12，则|DE|的最小值为223() 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角 【答案】 60°【解析】不妨设正方体的棱长为1，设AB=a,AD=b,AA1=c，则|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ca=0，A1B=ac,AC=a+b,A1BAC=(ac)(a+b)=|a|2+abacbc=1，而A1B=|AC|=2，cos<A1B,AC>=12×2=12，<A1B,AC>=60所以异面直线A1B与AC所成的角为60°.4() 如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离【答案】 2或2 【解析】由题可知BD=BA+AC+CD，ACD=90，ACCD=0，同理ACBA=0，AB与CD成60角，BA,CD>=60或120，又BD=BA+AC+CD，BD2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BAAC+2BACD+2ACCD =3+2×1×1×cos<BA,CD>=&4&&<BA,CD>=60&2&&<BA,CD>=120 |BD|=2或2.即B、D之间的距离为2或2.5() 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF夹角余弦值【答案】 23【解析】设OA=a,OB=b,OC=c，且各长度均为1，则ab=bc=ac=1×1×cos60=12，因为OE=12(a+b)，BF=12cb，且|OE|=32，|BF|=32，所以OEBF=12(a+b)12cb=14ac+14bc12ab12b2=12，所以cos<OE,BF>=OEBF|OE|BF|=23.OE 与 BF 所成角的余弦值为23.6() 在三棱锥OABC中，已知侧棱OA，OB，OC两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形ABC是锐角三角形【证明】OA,OB,OC两两互相垂直ABAC=(OBOA)(OCOA)=OA2=|OA|2>0，<AB,AC>为锐角，即BAC为锐角，同理ABC，BCA均为锐角，ABC为锐角三角形7() 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，BAA1=DAA1=3，AC1=26(1)求侧棱AA1的长；(2)M,N分别为D1C1,C1B1的中点，求AC1MN及两异面直线AC1和MN的夹角【答案】 (1)4；(2)0,90【解析】(1)设侧棱AA1=x，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且A1AD=A1AB=60，AB2=AD2=1，AA12=x2，ABAD=0，ABAA1=x2,ADAA1=x2，又AC1=AB+AD+AA1，AC12=AB+AD+AA12 =AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=26，x2+2x24=0，x>0,x=4，即侧棱AA1=4(2)AC1=AB+AD+AA1,MN=12DB=12(ABAD)，AC1MN=12ABADAB+AD+AA1 =12AB2AD2+ABAA1ADAA1=12(11+22)=0，两异面直线AC1和MN的夹角为90【题型三】数量积的最值 【典题1】已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为()A0，4B0，2C1，4D1，2【解析】设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1，所以PMPN=(PS+SM)(PS+SN)=(PS+SM)(PSSM)=PS210,2所以PMPN的取值范围是0，2故选：B 巩固练习1() 已知球O内切于正四面体ABCD，且正四面体的棱长为26，线段MN是球O的一条动直径(M，N是直径的两端点)，点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则PMPN的最大值是 【答案】 8 【解析】由正四面体棱长为26，的其内切圆的半径为1，由题意，M,N是直径的两端点，可得OM+ON=0，OMON=1，则PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2+PO(0M+ON)+OMON=PO2+01=PO21，当点P在正四面体顶点时，PO2最大，且最大值为9，则PO21的最大值为8.2() 已知球O是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则PMPN的取值范围是 【答案】 13，43【解析】设球O的半径为R，则12×2×1=12×3×R，解得R=63|OP|1,2PMPN=(OMOP)(ONOP)=OP2R2=OP22313,43故答案为：13，433() 如图，在三棱锥DABC中，已知AB=2，ACBD=3，设AD=a，BC=b，CD=c，则c2ab+1的最小值为 【答案】 2【解析】 在三棱锥DABC中，AB=2，ACBD=3，设AD=a,BC=b,CD=c，AC=ac,BD=b+c，ACBD=(ac)(b+c)=ab+acbcc2=3，c2=ab+acbc+3，又AB=aBD=abc，|(ab)c|=2，c2ab+1=ab+(ab)c+3ab+1，将两边平方得(ab)2+c22(ab)c=4，(ab)2+c24=2(ab)c，(ab)22+c222=(ab)c，代入中，得c2ab+1=ab+(ab)22+c22+1ab+1，12c2=ab+1+(ab)22=ab+1+12a2+b22ab=1+12a2+b2，c2=2+a2+b2，又c2=c2,a2=a2,b2=b2，c2ab+1=2+a2+b2ab+12+2abab+1=2c2ab+1的最小值为2故答案为：2