2.2 直线的位置关系-(选择性必修第一册) (教师版).docx

直线的位置关系 1两直线的位置关系直线方程位置关系 l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0重合k1=k2且b1=b2A1A2=B1B2=C1C2(A2B2C20)相交k1k2A1A2B1B2(A2B20)平行k1=k2且b1b2A1A2=B1B2C1C2(A2B2C20)垂直k1k2=1A1A2+B1B2=0PS 对于两条不重合的直线l1 , l2，其斜率存在时分别为k1 , k2，则有l1 / l2 k1=k2或l1 , l2的斜率都不存在.有l1 l2k1 k2=1或k1=0且l2的斜率不存在或k2=0且l1的斜率不存在.2 线段的中点坐标公式若点P1 , P2的坐标分别是(x1 , y1) , (x2 , y2) , 则线段P1P2中点坐标为M(x1+x22 ,y1+y22).3 常见的直线系方程平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(CC0)；垂直于于直线Ax+By+C=0的直线系方程BxAy+C0=0；过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0； (R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)4 对称性问题(1)点关于点的对称点P(x0 , y0)关于A(a , b)的对称点为P'(2ax0 , 2by0)；(2)点关于直线的对称设点P(x0 , y0)关于直线l：y=kx+b的对称点为P'(x' , y')，则有y'y0x'x0k=1y'+y02=kx'+x02+b可求出x' , y'，从而得到点P'.(直线l是线段PP'的垂直平分线，则kPP'k=1，PP'的中点(x'+x02 , y'+y02)在直线l上)(3)直线关于直线的对称(i) 若已知直线l1与对称轴l相交于点P，则与l1对称的直线l2过点P，再求出直线l1上一点P1关于对称轴l的对称点P2，则由点P与P2可求出直线l2的方程；(ii) 若已知直线l1与对称轴l平行，求与已知直线l1关于对称轴l对称的直线l2，利用直线l1、l2到直线l的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题) 【题型一】 直线的位置关系的判断【典题1】 已知l1：x+my+6=0，l2：(m2)x+3y+2m=0，分别求m的值，使得l1和l2：(1)垂直；(2)平行；(3)重合；(4)相交【解析】(1)若l1和l2垂直，方法1 把直线化为斜截式，由斜率k1k2=1求解当m=0时，l1:x=6，l2:2x+3y=0，显然不满足题意；(注意斜率不存在的情况)当m0时，k1=1m，k2=m23，则1mm23=1，解得m=12；方法2 从一般式来看，可得1(m2)+3m=0，m=12；(2)若l1和l2平行，则m21=3m2m6， (也可如(1)化为斜截式求解)m22m3=0m±3 解得m=1，(3)若l1和l2重合，则m21=3m=2m6，m=3，(4)若l1和l2相交，则由(2)(3)可知m3且m1.【点拨】判定直线的位置，有斜截式和一般式两种角度；由斜截式判定时，要注意直线斜率是否存在；由一般式判定时，切记不要死记结论.【典题2】 顺次连接A(4 , 3)、B(2 , 5)、C(6 , 3)、D(3 , 0)，所组成的图形是()A平行四边形 B直角梯形 C等腰梯形 D以上都不对【解析】(要判断四边形形状，需要判断各边的位置关系，可从直线斜率入手)AB的斜率为532+4=13，CD的斜率为306 +3=13 ，则kAB=kCD，故 AB|CD；由AD的斜率为304+3=3得kADkAB=1，则ABAD；由BC的斜率为5326=12得kADkBC，则AD与BC不平行，故四边形为直角梯形，故选B【典题3】 已知m<1，直线l1：y=mx+1，l2：x=my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B(1)证明：l1l2；(2)用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值.【解析】(1)当m=0时，直线l1：y=1，l2：x=1，显然有l1l2；(确定l2是否一定存在斜率)当m0时，l1与l2的斜率分别为m，1m，斜率之积m1m=1，故l1l2综上，l1l2.(2)由题意知，A(0 , 1)，B(1 , 0)，由l1与l2相的方程联立方程组y=mx+1x=my+1，解得点P(1m1+m2 , 1+m1+m2)，因m<1，故点P在第一象限，(注意这点，否则图不准确，导致四边形OAPB判断出错)则|PA|=1m1+m22+1+m1+m212=1m1+m2，|PB|=1m1+m212+1+m1+m22=1+m1+m2，由(1)可知PAPB，SAPB=12|PA|PB|=1m22(1+m2)，S四边形OAPB=SOAB+SAPB=12+1m22(1+m2)=11+m2，故m=0时，S有最大值为1 【点拨】谨记l1 / l2 k1=k2，l1 l2k1 k2=1成立的前提是直线斜率k1 , k2存在，若不确定要分类讨论.巩固练习1() 若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1 , a2，斜率分别为k1 , k2，则下列命题(1)若l1l2，则斜率k1=k2； (2)若斜率k1=k2，则l1l2；(3)若l1l2，则倾斜角a1=a2；(4)若倾斜角a1=a2，则l1l2；其中正确命题的个数是 . 【答案】 4 【解析】(1)由于斜率都存在，若l1l2，则k1=k2，此命题正确；(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2，得到倾斜角的正切值相等即tana1=tana2，即可得到a1=a2，所以l1l2，此命题正确；(3)因为l1l2，根据两直线平行，得到a1=a2，此命题正确；(4)因为两直线的倾斜角a1=a2，根据同位角相等，得到l1l2，此命题正确；所以正确的命题个数是42() 已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：2a1xay1=0平行，则a的值是 . 【答案】 0或14 【解析】当a=0时，两直线的斜率都不存在，(注意a是否为0，直线的斜率不一定存在的.)它们的方程分别是x=1，x=1，显然两直线是平行的当a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由2a1a=a2a11，解得：a=14综上，a=0或14.3() 三条直线l1：xy=0 , l2：x+y2=0 , l3：5xky15=0构成一个三角形，则k的取值范围是 . 【答案】 kR且k±5 , k10 【解析】由l1l3得k=5，由l2l3得k=5，由&xy=0&x+y2=0得&x=1&y=1，若(1，1)在l3上，则k=10故若l1,l2,l3能构成一个三角形，则k±5且k104() 已知直线l1：mx+4y2=0与l2：2x5y+n=0互相垂直，其垂足为(1 , p)，则m+np的值为 . 【答案】 0 【解析】直线mx+4y2=0与2x5y+n=0互相垂直，m4×25=1，m=10，直线mx+4y2=0 即 5x+2y1=0，垂足(1,p)代入得，5+2p1=0，p=2把P(1,2)代入2x5y+n=0，可得 n=12，m+np=1012+2=0.5() 直线l过点A(3 , 4)且与点B(3 , 2)的距离最远，那么l的方程为 . 【答案】 3x+y13=0 【解析】直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，直线l的斜率为：1kAB=1423+3=3，直线l的方程为y4=3(x3)，即 3x+y13=0.6() 多选题 已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3 , 3)，点A的坐标为(0 , 4)，则点B的坐标为()A(2 , 0)B(6 , 4)C(4 , 6)D(0 , 2) 【答案】 AC 【解析】设B(x,y)，等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，点A的坐标为(0,4)，y3x3×4303=1(x3)2+(y3)2=(03)2+(43)2，解得x=2y=0或x=4y=6，点B的坐标为(2,0)或(4,6)故选：AC7() 在ABC中，已知M(1 , 6)是BC边上一点，边AB , AC所在直线的方程分别为2xy+7=0 , xy+6=0(1)若AMBC，求直线BC的方程；(2)若|BM|=|CM|，求直线BC在x轴上的截距【答案】(1) 2x+y8=0 (2) 195【解析】(1)联立方程2xy+7=0xy+6=0，解得x=1,y=5，故点A(1,5)，又M(1,6)，所以kAM=651(1)=12，因为AMBC，所以kBC=2，又M为BC边上的一点，所以直线BC的方程为y6=2(x1)，即2x+y8=0；(2)因为|BM|=|CM|，所以点M为BC的中点，设点B(m,n),C(a,b)，则有m+a=2，n+b=12，点B在直线AB上，点C在直线AC上，且A(1,5)，所以有n5m+1=2,b5a+1=1，解得m=3,n=1,a=5,b=11，故点B(3,1),C(5,11)，所以直线BC的方程为y1111=x+35+3，即5x4y+19=0，令y=0，解得x=195，故直线BC在x轴上的截距为195【题型二】对称问题【典题1】 已知直线y=2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是(4 , 2)，(3 , 1)，则点C的坐标为 .【解析】(直线y=2x是角平分线，意味直线AC与BC关于y=2x对称)设A(4 , 2)关于直线y=2x的对称点为A'(x , y)，则y2x+4×2=1y+22=2×4+x2 ()，解得x=4y=2，即A'(4 , 2)(这是点关于直线对称的问题，理解到直线y=2x是AA'的垂直平分线易得()式)直线BA'方程为y1=2143x3=3(x3)，化为3x+y10=0(点A'在直线BC上)联立3x+y10=0y=2x，解得x=2y=4，可得C(2 , 4)(对称轴y=2x与直线BC的交点就是点C)【点拨】建议通过画图去理解它们之间的关系，在图中你能更容易发现一些隐含信息.【典题2】 如图已知A(4 , 0)、B(0 , 4)、O(0 , 0)，若光线L从点P(2 , 0)射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为 . 【解析】由题意知直线AB的方程为y=x+4，设光线分别射在AB、OB上的M、N处，(本题就是求直线PM方程，只要求出点M便可)由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则PMA=BMN，PNO=BNM(反射问题，当然想到入射角相等，数学上是对称问题)作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则P2MA=PMA=BMN，P1NO=PNO=BNM，P1 , N , M , P2共线，(通过平几知识得到四点共线)易得点P关于y轴的对称点P1(2 , 0)，OA=OB=4 , P2AB=PAB=45°，P2AOA，P2的横坐标为4，由对称性可知P2A=PA=2，可得P2的纵坐标为2，P2(4 , 2)，(求P2的坐标常规方法是点关于直线对称的套路，但有时通过细致的观察，不走寻常路更容易得到你想要的，要善于思考、观察)直线PP2方程yx+2=24+2，即x3y+2=0，联立x3y+2=0x+y4=0，得x=52，y=32，则M(52 , 32)，直线PM：yx2=32522，即光线L所在的直线方程为y=3x6【点拨】反射问题的本质还是对称问题，平时处理一类问题中在掌握通法的同时也要注意“巧法”，根据题目的特殊性多思考与观察！【典题3】 已知O为坐标原点，倾斜角为23的直线l与x , y轴的正半轴分别相交于点A , B，AOB的面积为83(1)求直线l的方程；(2)直线l'：y=33x，点P在l'上，求|PA|+|PB|的最小值【解析】(1)由题意可得：直线l的斜率k=tan23=3，设直线l的方程为：y=3x+b可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A(33b , 0) , B(0 , b)，其中b>0SOAB=12×33b×b=83，解得b=43，直线l的方程为y=3x+43(2)由(1)可得A(4 , 0)， B(0 , 43)，(求|PA|+|PB|的最小值是“将军饮马”问题，则要求点A或B关于直线l'的对称点)设点A关于直线l'的对称点A'(m , n)，则n0m4=3n2=33m+42，解得m=2n=234，A'(2 , 234)|PA|+|PB|=|PA'|+|PB'|，当A' , B , P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值PA+PBmin=A'B=42+3=224+23=223+12=2(2+6)(对于形如a+bc式子的化简也是运算基本功)【点拨】在解析几何中最值问题也是常见的题型，你试试设点P(m,n)用函数的方法求解，感受下与本题的几何法比较.我们最好熟悉更多的模型，比如“将军饮马”，它在本题利用点关于直线对称处理了！后面我们在圆的方程、圆锥曲线中也会有.巩固练习1() 原点关于x2y+1=0的对称点的坐标为 【答案】 (25,45) 【解析】设原点关于x2y+1=0的对称点的坐标为(x,y)，则yx×12=1，x22×y2+1=0，联立解得x=25,y=45要求的点(25，45)2() 已知点A(1 , 2)、B(3 , 1)，则线段AB的垂直平分线的方程是 【答案】 4x2y5=0 【解析】设P(x,y)为线段AB的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，(x1)2+(y2)2=(x3)2+(y1)2，化为4x2y5=03() 入射光线沿直线x2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是 【答案】 2xy3=0 【解析】在入射光线上取点(1,2)，则关于y=x的对称点(2,1)在反射光线上，代入验证，通过排除法，2xy3=0满足4() 已知ABC的顶点A(1 , 2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y1=0，ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为 【答案】 2x3y1=0 【解析】由题意可知，点B在角平分线y=x上，可设点B的坐标是(m,m)，则AB的中点(m+12，m+22)在直线CM上，m+12+2m+221=0，解得：m=1，故点B(1,1)设A关于y=x的对称点为A'(x0,y0)，则有 y02x01=1y0+22=x0+12，x0=2y0=1，即A'(2,1)则由A'在直线BC上，可得BC的方程为 y+11+1=x+12+1，即3(y+1)=2(x+1)，即2x3y1=0，5() 已知A(3 , 0) , B(0 , 3)，从点P(0 , 2)射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为 【答案】 26【解析】直线AB的方程为：x+y=3点P(0,2)关于x轴的对称点P1(0,2)，设点P1(0,2)关于直线AB的对称点P2(a,b)，则b+2a×(1)=1，a2+2+b2=3，解得a=5，b=3P2(5,3)，光线所经过的路程=|PP2|=52+(32)2=266()已知直线l经过点P(6 , 4)，斜率为k(1)若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；(2)若k=1，一条光线从点M(6 , 0)出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程【答案】 (1) 2x3y=0或2x+y16=0 (2) 417 【解析】(1)若直线l的纵、横截距为0，可得k=23，直线l的方程为y=23x；若截距不为0，由题意设直线方程是：xa+y2a=1，代入P(6,4)得：6a+42a=1，解得：a=8，故l为：2x+y16=0，则直线l的方程为2x3y=0或2x+y16=0；(2)k=1时，l的方程是：y4=(x6)，即x+y10=0，M(6,0)关于y轴的对称点M''为(6,0)，M关于直线x+y=10的对称点为M'(a,b)，由12(a+6)+12b=10ba6=1解得a=10,b=4，即有M'(10,4)，由如图可得光线所经过的路程为MK+KN+NM=M'K+KN+NM''=M'M''=(10+6)2+(40)2=4177() 在直线l：3xy1=0上求一点P，使得：(1)P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差最大；(2)P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和最小【答案】 (1) (2、5) (2) (117 , 267)【解析】(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大显然A、B位于直线L两侧，作B关于直线L的对称点B'，连接B'A，则B'A 所在直线与直线L交点即为P，此时，|PAPB|的差值最大，最大值就是B'A，设B点关于L对称点B'(ab)，则(b4)×3=(a0),3a(b+4)2=0，得a=3，b=3AB'的直线方程为2X+Y9=0解方程2X+Y9=0与3xy1=0可得(2、5)是距离之差最大的点(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小显然，A、C位于直线L同侧作点C关于直线L对称点C'，连接C'A则C'A与直线L的交点就是点P此时，PA+PB之和最小，最小值为C'A设C关于l的对称点为C'(m,n)，可得n4m3=13，3(m+3)2n+421=0，求出C'的坐标为(35，245)AC'所在直线的方程为19x+17y93=0AC'和l交点的坐标为P(117,267)点P的坐标为P(117,267)