1.4.3 空间向量的应用--距离问题-(选择性必修第一册) (教师版).docx

空间向量的应用-距离问题利用空间向量法求距离问题(1)点A、B间的距离AB=AB=x1x22+y1y22.(2)点Q到直线l 距离若Q为直线l外的一点， P在直线上，a为直线l的方向向量， b=PQ，则点Q到直线l距离为d=1a ab2ab2.PS 公式推导 如图，d=bsin=b1cos2=b1abab2=1a ab2ab2 .(3)点Q到平面的距离若点Q为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为n，则Q到平面的距离就等于MQ在法向量 n方向上的投影的绝对值，即d =n MQn .PS 公式推导如图，d=MQsin=MQcos n , MQ=MQn MQnMQ =n MQn .(4)直线 a平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【题型一】点到点的距离【典题1】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP平面MBD1(1)当点M与点C重合时，线段AP的长度为 ；(2)线段AP长度的最小值为 【解析】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P(a , b , 1)，当点M与C重合时，M(0 , 1 , 0)，B(1 , 1 , 0)，D1(0 , 0 , 1)，A(1 , 0 , 0)AP=(a1 , b , 1)，BD1=(1 , 1 , 1)，MD1=(0 , 1 , 1)，AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0APMD1=b+1=0，解得a=1，b=1，AP=(0 , 1 , 1)，线段AP的长度为|AP|=0+1+1=2(2)设CM=t0 , 1，则M(0 , 1 , t)，B(1 , 1 , 0)，D1(0 , 0 , 1)，AP=(a1 , b , 1)，BD1=(1 , 1 , 1)，MD1=(0 , 1 , 1t)，AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0APMD1=b+1t=0，解得a=1+t，b=1t，AP=(t , 1t , 1)，|AP|=t2+(1t)2+1=2(t12)2+32，当t=12，即M是CC1中点时，线段AP长度取最小值为62【点拨】 线段AP的长度为|AP|，利用空间向量法使得几何问题“代数化”，较几何法更容易处理这动点问题； 本题的变化源头是“M的位置”，在第二问求AP长度的最小值，在引入参数中设CM=t，较为合理.巩固练习1() 已知M为z轴上一点，且点M到点A(1 , 0 , 1)与点(1 , 3 , 2)的距离相等，则点M的坐标为 . 【答案】(0 , 0 , 6) 【解析】M为z轴上一点，设M(0,0,t)，点M到点A(1,0,1)与点(1,3,2)的距离相等，(0+1)2+(00)2+(t1)2=(01)2+(0+3)2+(t2)2，解得t=6，点M的坐标为M(0,0,6)2()已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(1 , 1 , 2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A , B两点的最短距离是 . 【答案】 342 【解析】点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，可设点B(m,1m,0)由空间两点之间的距离公式，得|AB|=(1m)2+1(1m)2+(20)2=2m22m+9令t=2m22m+9=2m122+172当m=12时，t的最小值为172当m=12时，|AB|的最小值为172=342，即A、B两点的最短距离是342.3() 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为 .【答案】 2 【解析】在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1A1(2,0,2)，C(0,2,0)，A1C的中点E(1,1,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，AB的中点F(2,1,0)，A1C的中点E到AB的中点F的距离为：|EF|=(21)2+(11)2+(01)2=2故选：B4() 空间点A(x , y , z)，O(0 , 0 , 0)，B(2 , 3 , 2)，若|AO|=1，则|AB|的最小值为 . 【答案】 2【解析】空间点A(x,y,z)，O(0,0,0)，B(2,3,2)，|AO|=1，A是以O为球心，1为半径的球上的点，B(2,3,2)，|OB|=(2)2+(3)2+22=3|AB|的最小值为：|OB|OA|=31=2【题型二】点到线的距离【典题1】 P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到BD的距离为 【解析】方法一 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，BD=9+16=5，过A作AEBD，交BD于E，连结PE， PA平面ABCD，PABD，又 AEBD BD平面PAE， PEBD，即PE是点P到BD的距离，12×AB×AD=12×BD×AE，AE=AB×ADBD=125，PE=PA2+E2=1+14425=135，点P到BD的距离为135方法二 依题意可知，PA、AB、AD三线两两垂直，如图建立空间直角坐标系P(0 , 0 , 1)，B(3 , 0 , 0)，D(0 , 4 , 0)，BP=3 , 0 , 1，BD=(3 , 4 , 0) , 点P到BD的距离为d=1BD BDBP2BDBP2=1525081=135.【点拨】 方法一是几何法，找到点P到BD的距离PE;方法二是向量法，利用点到直线距离公式d=1BD BDBP2BDBP2 (*)； 向量法中的公式(*)有些复杂，不建议直接使用，还不如使用其推导方法求点P到直线BD的距离(1) 求出直线BD的方向向量BD=(3 , 4 , 0)；(2) 在直线BD上找一点B，求出其与点P的向量BP=3 , 0 , 1；(3) 求两向量夹角余弦值，cos<BP , BD>=BPBD|BP|BD|=9510；(4) 求点P到BD的距离，d=BP1cos2<BP , BD>=10181250=135.巩固练习1() 已知直线l的方向向量为a=(1 , 0 , 1)，点A(1 , 2 , 1)在l上，则点P(2 , 1 , 2)到l的距离为 . 【答案】 17 【解析】根据题意，得PA=(1,3,3)，a=(1,0,1)，cosa,PA=1+032×19=219，sina,PA=1719；又|PA|=19，点P(2,1,2)到直线l的距离为|PA|sina,PA=19×1719=172() 已知直线l过定点A(2 , 3 , 1)，且n=(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为 . 【答案】 322 【解析】PA=(2，0，1)，故|PA|=5，cosPA,n=PAn|PA|n|=15×2=1010，设直线PA与直线l所成的角为，则cos=|cosPA,n|=1010，故sin=31010，点P(4，3，2)到直线l的距离为|PA|sin=5×31010=3223() 已知A(0 , 0 , 2)，B(1 , 0 , 2)，C(0 , 2 , 0)，则点A到直线BC的距离为 . 【答案】 223 【解析】A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，AB=(1,0,0)，BC=(1,2,2)，点A到直线BC的距离为：d=|AB|1(cosAB,BC)2=1×1(11×3)2=223【题型三】点到面的距离【典题1】 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，ABC=60°，PA平面ABCD，AB=2，PA=233，E为BC中点，F在棱PD上，AFPD，点B到平面AEF的距离为 【解析】底面ABCD为菱形，ABC=60°，E为BC中点，AEAD，又PA平面ABCD，PAAD，PAAE，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A(0 , 0 , 0)，B(3 , 1 , 0)，E(3 , 0 , 0)，P(0 , 0 , 233)，D(0 , 2 , 0)，AB=(3 , 1 , 0)，AE=(3 , 0 , 0)， 在RtPAD中，易得D=30°，AF=AD2=1，过点F作FHAD交AD于H， 易得1=30°，AH=12 , FH=32， F0 , 12 , 32， AF=0 , 12 , 32，设平面AEF的法向量n=(x , y , z)，则nAE=3x=0nAF=12y+32z=0，取y=3，得n=(0 , 3 , 1)，点B到平面AEF的距离为：d=|nAB|n|=32【点拨】 求点F的坐标，解题中几何法较易求得，这需要审题中注意各量之间的关系；也可以用代数法求得，如下：设F(0 , b , c)，PF=PD，则(0 , b , c233)=(0 , 2 , 233)，解得b=2，c=233233，AF=(0 , 2 , 233233)，PD=(0 , 2 , 233)，AFPD，AFPD=443+43=0，解得=14，F0 , 12 , 32； 求点B到平面AEF的距离的解题步骤(1) 求平面AEF的法向量n=(0 , 3 , 1)；(2) 在平面AEF内选一点A，求其与点B的向量AB=(3 , 1 , 0)；(3) 利用公式d=|nAB|n|(向量n在法向量n上的投影绝对值)求所求距离，d=|nAB|n|=32.【典题2】 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于P，GC垂直于ABCD所在平面(1)求证：EF平面GPC(2)若AB=4，GC=2，求点B到平面EFG的距离【解析】(1)连接BD交AC于O，E , F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACGC垂直于ABCD所在平面，EF平面ABCD EFGCACGC=C， EF平面GPC(2) 方法一 向量法建立空间直角坐标系Cxyz，则G(0 , 0 , 2)，E(4 , 2 , 0)，F(2 , 4 , 0)，B(4 , 0 , 0)GE=(4 , 2 , 2)，EF=(2 , 2 , 0)设面GEF的法向量n=(x , y , z)，则GEn=0且EFn=0，即4x+2y2z=0且2x+2y=0取x=1时，可得n=(1 , 1 , 3)又向量BE=(0 , 2 , 0)则B到面GEF的距离d=|nBE|n|=21111.方法二 等积法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22， SEFG=12×PG×EF=211，易得SEFB=12×AF×EB=2VBEFG=VGEFB13××SEFG=13×GC×SEFB=GC×SEFBSEFG=2×2211=21111.方法三 间接法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22，PC=3OP， C到面GEF的距离是O到面GEF距离的3倍，在GPC中，点C到边PG的高为CM，又EF平面GPC，CM平面EFG , CM为C到面GEF距离，在GPC中，可得PGCM=GCPCCM=2×3222=611，又BDEF，可得BD平面GEF，可得B到面GEF的距离等于O到面GEF的距离13CM=211=21111【点拨】求点A到平面的距离方法有很多种， 直接法：若能确定点A到平面的垂线段当然最好了！ 向量法：若空间直角坐标系较容易建立，各关键点的坐标易求，可考虑向量法；本题中GC平面 ABCD，矩形ABCD都是有利条件；等积法：当相关三棱锥的体积和侧面三角形的面积易求，可考虑等积法；本题中的VGEFB和SEFB均易求; 间接法：若存在过点A的直线l与平面平行，可考虑能否在直线l上找到一点B，而它到平面的距离易求些；本题中“求B到面GEF的距离”转化为“求O到面GEF的距离”；【典题3】 如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点(1)求证PO平面ABCD；(2)求二面角CPDA夹角的正弦值；(3)线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由【解析】(1)证明PA=PD，O为AD的中点，POAD，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，PO平面ABCD (2)底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，OCAD，又PO平面ABCD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，平面PAD的法向量m=(1 , 0 , 0)，C(1 , 0 , 0)，D(0 , 1 , 0)，P(0 , 0 , 1)，PC=(1 , 0 , 1)，PD=(0 , 1 , 1)，设平面PCD的法向量n=(x , y , z)，则nPC=xz=0nPD=yz=0，取x=1，得n=(1 , 1 , 1)，设二面角CPDA夹角为，则cos=|mn|m|n|=13，sin=1(13)2=63，二面角CPDA夹角的正弦值为63(3)设线段AD上存在Q(0 , m , 0)，m1 , 1，使得它到平面PCD的距离为32，PQ=(0 , m , 1)，Q到平面PCD的距离d=|PQn|n|=|m1|3=32，解得m=12或m=52(舍去)，Q(0 , 12 , 0)，则AQQD=1232=13【点拨】立体几何中问到是否“存在”，可利用“假设法”.巩固练习1() 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，则点B到平面D1AC的距离等于 .【答案】 63 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，AB=(0,2,0)，AC=(2,2,0)，AD1=(2,0,1)，设平面D1AC的法向量n=(x,y,z)，则nAC=2x+2y=0nAD1=2x+z=0，取x=1，得n=(1,1,2)，点B到平面D1AC的距离：d=|ABn|n|=26=632() 已知平面的法向量为n=(2 , 2 , 1)，点A(x , 3 , 0)在平面内，则点P(2 , 1 , 4)到平面的距离为103，则x= .【答案】1或11 【解析】AP=(2x,2,4)，|AP|=(2x)2+(2)2+42=x2+4x+24，|n|=4+4+1=3，APn=2(2x)+4+4=2x+12，cosAP,n=APn|AP|n|=2x+12x2+4x+24×3，设AP与平面所成角为，则sin=|2x+12|3x2+4x+24，P到平面的距离为|AP|sin=|2x+12|3=103，解得x=1或x=113() 如图，ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=2a，M , N分别是AD、PB的中点，求点A到平面MNC的距离.【答案】 a2 【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则D0,0,0,A2a,0,0,B2a,a,0,C0,a,0,P0,0,aM,N分别是AD,PB的中点，M2a2,a,0,N2a2,a2,a2,MC=2a2,a,0,MN=0,a2,a2,MA=2a2,0,0设n=x,y,z为平面MNC的一个法向量，nMN,nMC，nMN=0,nMC=0 即a2y+a2z=0且2a2x+ay=0,令z=1,得n=2,1,1，MA在n上的射影长d=|nMA|n|=a2,即点A到平面MNC的距离a2.4() 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离【答案】 (1)略 (2) 13 【解析】解法(一)：(1)证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E(2)设点E到面ACD1的距离为，在ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故SAD1C=122512=32，而SACE=12AEBC=12VD1AEC=13SAECDD1=13SAD1C，12×1=32×，=13解法(二)：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)(1)因为DA1D1E=(1,0,1)(1,x,1)=0，所以DA1D1E(2)因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E=(1,1,1),AC=(1,2,0)，AD1=(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c)，则nAC=0nAD1=0也即a+2b=0a+c=0，得a=2ba=c，从而n=(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为=|D1En|n|=2+123=135 () 已知三棱锥SABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，求点Q到平面ABC的距离的最大值. 【答案】 433 【解析】三棱锥SABC,满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，如图，SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPBADCS上具有公共顶点S的三条棱，以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,2)，C(0,2,2)，S(0,0,2)，N(2,2,0)，BA=(2,0,2)，BC=(0,2,2)，BN=(2,2,0)，设平面ABC的法向量n=(x,y,z)，则nBA=2x+2z=0nBC=2y+2z=0，取x=1，得n=(1,1,2)，三棱锥SABC外接球就是棱长为2的正方体MNPBADCS的外接球，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值，点Q到平面ABC的距离的最大值为：d=|BNn|n|=|2+2+0|3=433故选：A6 () 如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，SA=SC=22，O，M分别为AC、AB的中点，SOAB(1)证明：SO平面ABC；(2)求二面角SCMA的余弦值；(3)求点B到平面SCM的距离【答案】(1) 略 (2) 55 (3) 455【解析】(1)证明连接OSSA=SC，O为AC的中点 ACSO又SOAB，所以SO平面ABC，(2)又易得BOAC故可以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(23,0,0)，M分别为AB的中点M(3,1,0),CM=(3,3,0),CS=(0,2,2)设n=(x,y,z)为平面SCM的一个法向量，则nCMnCS，即nCM=3x+3y=0nCS=2y+2z=0取y=1，则x=3,z=1，n=(3,1,1)又CB=(23,2,0)，所以点B到平面SCM的距离d=|nCB|n|=455【题型四】线到面的距离【典题1】 如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D , 又知BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC; (2)求CC1到平面A1AB的距离. 【解析】(1)A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，平面A1ACC1平面ABC，BCAC且平面A1ACC1平面ABC=AC，BC平面A1ACC1，BCAC1，AC1BA1且BCBA1=B，AC1平面A1BC(2)如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，AC1平面A1BC，AC1A1C，四边形A1ACC1是菱形，D是AC的中点，A1DAC A1AD=60°，A(2 , 0 , 0)，A1(1 , 0 , 3)，B(0 , 2 , 0)，C1(1 , 0 , 3)，A1A=(1 , 0 , 3)，AB=(2 , 2 , 0)，设平面A1AB的法向量n=(x , y , z)，则nA1A=0nAB=0，x3z=02x+2y=0，取n=(3，3 , 1)，CA1=(2 , 0 , 0)，C1到平面A1AB的距离d=|CA1n|n|=2217CC1/AA1，AA1平面A1AB，CC1平面A1AB CC1/平面A1AB，CC1到平面A1AB的距离等于C1到平面A1AB的距离2217.【点拨】直线到平面的距离问题可转化为点到平面的距离.巩固练习1 () 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点求直线FC到平面AEC1的距离；【答案】 66 【解析】(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，则A(1,0,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，E(1,12,0)，F(1,12,1)AE=(0,12,1)，EC1=(1,12,0)，FC=(1,12,0)，AF=(0,12,0)，EF=(0,0,1)FC=EC1=(1,12,0)FCEC1，FC平面AEC1，点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离，设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，则nAE=0nEC1=0，12yz=0x+12y=0，2x=yy=2z，取z=1，则x=1，y=2，n=(1,2,1)，又AF=(0,12,0)，点F到平面AEC1的距离为|AFn|n|=|(0,12,0)(1,2,1)|6=662 ()如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点()证明：BC1平面AD1E；()求直线BC1到平面AD1E的距离；【答案】 (1) 略 (2) 23【解析】()D1C1AB，D1C1=AB，四边形 D1ABC1为平行四边形，D1AC1B，D1A面AD1E，C1B面AD1E，BC1平面AD1E解：()如图建立空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，D1(2,0,2)，C1(2,2,2)，E(0,2,1)，BC1平面AD1E，直线BC1到平面AD1E的距离即为点B到平面AD1E的距离，AB=(0,2,0)，AD1=(2,0,2)，AE=(0,2,1)，设平面AD1E的一个法向量为n=(x,y,z)，则nAD1=2x+2z=0nAE=2y+z=0，取z=1，得n=(1,12,1)，d=|ABn|n|=|(0,2,0)(1,12,1)|1+1+14=132=23，直线BC1到平面AD1E的距离为23；【题型五】面到面的距离【典题1】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 .【解析】方法一 连接A1C，与面AB1D1与面BC1D分别交于M , NCC1平面A1B1C1D1，CC1B1D1，又A1C1B1D1，B1D1平面A1C1C B1D1A1C，同理可证AB1A1C，又B1D1AB1=B1，A1C面AB1D1；同理可证，A1C面BC1DMN为平面AB1D1与平面BC1D的距离AB1D1为正三角形，边长为2a，三棱锥A1AB1D1为正三棱锥，M为AB1D1的中心，MA=33×2a=63aA1M=A1A2MA2=33a，同理求出CN=A1M=33a，又A1C=3a，MN=A1CA1MCN=33a方法二 建立空间直角坐标系如图.则A(a , 0 , 0)， B(a , a , 0)，D(0 , 0 , 0)，C1(0 , a , a)，D1(0 , 0 , a)，B1(a , a , a)，AB1=0 , a , a，AD1=a , 0 , a，BC1=a , 0 , a，DC1=0 , a , a设n=(x , y , z)为平面AB1D1的法向量，则nAB1=ay+z=0nAD1=ax+z=0 得y=zx=z 令z=1，则n=(1 , 1 , 1)AD1/BC1，AB1/DC1，AD1BC1 , AB1DC1 , AD1AB1=A，DC1BC1=C1，平面AB1D1平面BDC1.平面AB1D1与平面BDC1的距离等于点C1到平面AB1D1的距离d.C1B1=a , 0 , 0，平面AB1D1的法向量为n=1 , 1 , 1，d=C1B1nn=33a.【点拨】 本题里，正方体中M、N把体对角线A1C三等分，即A1M=MN=NC=A1C3=33a，这可作为一个结论记住; 面面间的距离问题可转化为点到面的距离.本题中平面AB1D1平面BDC1 , 它们间的距离转化为点C1到平面AB1D1的距离d.巩固练习1 () 直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A=3，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点(1)求证：平面AMN平面EFDB；(2)求平面AMN与平面EFDB的距离【答案】(1)略 (2) 61919 【解析】方法一(1)证明：连接B1D1,NFM、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，MNEFB1D1，MN平面EFDB，EF平面EFDB，MN平面EFDB，NF平行且等于AB，ABFN是平行四边形，ANBF，AN平面EFDB，BF平面EFDB，AN平面EFDB，ANMN=N，平面AMN平面EFDB；(2)解：平面AMN与平面EFDB的距离=B到平面AMN的距离AMN中，AM=AN=10，MN=2，SAMN=1221012=192，由等体积可得13192=1312231，=61919方法二(1) 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),E(0,1,3),F(1,2,3),N(2,1,3)，EF=(1,1,0),MN=(1,1,0),AM=(1,0,3),BF=(1,0,3)，EF=MN,AM=BF，EFMN，AMBF，又EFBF=F，MNAM=M，平面AMN平面EFBD，(2) 设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z)，则nMN=x+y=0nAM=x+3z=0，则可取n=(3,3,1)，AB=(0,2,0)，平面AMN与平面EFBD的距离为d=|nAB|n|=69+9+1=61919