北师大版（2019）数学必修第一册：2.3《函数的单调性和最值》教案.docx

函数的单调性和最值【第一课时】【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。【教学目标与核心素养】1知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。2核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数的图象和性质，当时，直线是向右上，即函数值y随x的增大而增大，当时，直线向右下，即函数值随的增大而减小。同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况。提示：在区间上，函数值都是随x的值的增大而增大；在区间上，函数值fx都是随x的值的增大而减小。二、新知识一般地，在函数定义域内的一个区间A上。如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间A上是增函数或递增的；如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间A上是减函数或递减的。注意：函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间A上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数单调区间。如：一元二次函数在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数的单调增区间；增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是A”两种叙述含义是不同的。如：函数的单调递增区间为，则对称轴；函数在区间上单调递增，则对称轴。函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”。例1设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性。解：函数，其图象是函数的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间上单调递减。例2根据函数图象直观判断的单调性。解：函数y=|x1|=1x x1x1 x>1，画出该函数的图象，如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。例3判断函数的单调性，并给出证明解：画出函数的图象，如图，可以看出函数在R上是减函数下面用定义证明这一单调性任取，且，则，即所以函数在上是减函数思考讨论（综合练习）（1）二次函数在区间上单调，则实数a的取值范围；（2）设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；（3）已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；（4）设实数，函数在区间上的最小值是，求并画出的图象。提示：（1）二次函数，图象抛物线开口向上，对称轴函数在区间上单调，则或，所以a的取值范围为或（2）设，且因为，所以，所以即函数在区间上是减函数（3）任取，且，得根据题意，的符号恒正或恒负，故所以实数的取值范围是（4）画出函数的图象，如图，抛物线对称轴为当时，函数在区间上单调递减，；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上单调递增，综上， gt=t22, t<02, 0t1t22t1, t>1，画出函数图象如图：三、课堂练习教材P60，练习1、2、3。四、课后作业教材P62，习题2-3：A组第1、2、3、4题。【教学反思】函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。【第二课时】【教学分析】上一节，同学们已经可以利用函数图象判断函数的单调性，学习了函数单调性的定义以及用定义证明函数的单调性、找出函数单调区间，本节课在此基础上继续学习复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明，达到熟练运用函数单调性，解决有关函数性质的综合问题。【教学目标与核心素养】（1）知识目标：利用函数的单调性定义证明函数的单调性；复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。（2）核心素养目标：通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】1利用定义证明函数的单调性；2复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；3利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。【课前准备】多媒体课件【教学过程】思考讨论：（1）增函数和减函数的定义是什么？提示：在函数y=fx定义域内的一个区间A上，如果对于任意的x1,x2A，当x1<x2时,都有f（x1）<f（x2），就称函数y=fx在区间A上是增函数；如果都有f（x1）>f（x2），就称函数y=fx在区间A上是减函数。（2）如果有两个函数y=fx和y=gx，在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么函数y=fx+gx的具有怎样的单调性？能不能判断函数y=fxgx的单调性呢？提示：函数y=fx+gx也是单增（单减）函数，函数y=fxgx的单调性不确定。例4判断函数fx=x的单调性，并给出证明解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数下面给出证明：设x1,x20,+），且x1<x2，则x1x2<0fx1）f（x2=x1x2=x1x2x1+x2，x1+x2>0，fx1）f（x2<0即fx1）<f（x2，所以函数fx=x在定义域0,+）上是增函数例5试用定义证明：函数fx=x+1x在区间（0,1上是减函数，在区间1,+）上是增函数解：设x1,x2（0,1，且x1<x2,则x1x2<0fx1）f（x2=x1+1x1x2+1x2=x1x2x1x2x1x2=x1x211x1x2=（x1x2）（x1x21）x1x2，x1,x2（0,1，0<x1x2<1，x1x21<0，又x1x2<0fx1）f（x2>0，即函数fx=x+1x在区间（0,1上是减函数同理可证，函数fx=x+1x在区间1,+）上是增函数注意：函数y=x+1x在区间（0,1上是减函数，在区间1,+）上是增函数在区间（0,+）上，由函数的单调性或由均值不等式x+1x2，可得当x=1时，函数y=x+1x取得最小值2，同理也可以得到时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数形如fx=ax+bx（a>0,b>0）的函数，在区间（0,+）上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当x=ba时，函数取得最小值2ab，函数在区间（0,ba上是减函数，在区间ba,+）上是增函数；设y是u的函数y=fu，u是x的函数u=g（x），其中函数u=g（x）的值域是函数y=fu的定义域或子集，则函数y=fg（x）称为函数y=fu与函数u=g（x）的复合函数。复合函数单调性常采用分层分析的方法：如：函数y=x2+1，令u=x2+1，则y=u当x（,0）时，x,u=x2+1,y=u，所以函数y=x2+1在x（,0）时单减，当x（0,+）时，x,u=x2+1,y=u，所以函数y=x2+1在x（,0）时单增，其中“”代表增大，“”代表减小有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性如：求函数fx=12xx1在区间2,3上的最值fx=12xx1=21x1x1=21x1，当x2,3时，随着x，1x1，所以函数fx，即函数单增所以fxmin=f2=3，fxmax=f3=52思考讨论（综合练习）（1）如果函数fx=x2+bx+c，对任意实数x都有f2+x=f（2x），试比较f3、f2、f3的大小；（2）函数fx=2x+1x0ax+a1x>0在R上单调递增，求实数a的取值范围（3）求函数y=32xx2的单调区间；（4）已知定义在区间（0,+）上的函数fx，满足：i）对任意x,y（0,+），都有fxy=fx+f（y）；ii）当0<x<1时，fx>0判断并证明fx在区间（0,+）上的单调性；解关于a的不等式f12af4a2>0提示：（1）根据题意，对任意实数x都有f2+x=f（2x），则二次函数图象的对称轴为x=2，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大，所以f3>f3>f2（2）函数在R上单调递增，则在x>0时单增，且在分界点x=0处，右侧函数值不小于左侧函数值，即a>0且a11，得a2，所以实数a的取值范围为a2（3）函数有意义，则32xx20，得3x1，所以函数定义域为3,1设u=32xx2，函数对称轴为x=1，y=u当x3,1时，x,u,y=u，函数的递增区间为3,1；当x1,1时，x,u,y=u，函数的递减区间为1,1所以，函数的递增区间为3,1；递减区间为1,1（4）：设x1,x2（0,+），且x1<x2fx1fx2=fx1x2x2fx2=fx1x2+fx2fx2=fx1x2因x1<x2，故0<x1x2<1，得fx1x2>0fx1fx2>0，函数在区间（0,+）上单减不等式f12af4a2>0即f12a>f4a2由函数的定义域和单调递减，得12a>04a2>012a<4a2，解得1<a<12三、课堂练习教材P62，练习1、2、3四、课后作业教材P62，习题2-3：A组第5题，B组第1、2、3、4题【教学反思】函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。