山东省日照市2023-2024学年高三上学期开学校际联合考试数学试题含答案.pdf

高三数学试题第 1 页共 6 页参照秘密级管理启用前试卷类型：A2021 级高三上学期校际联合考试数学试题2023.08考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 10,9AxxBx x，则AB A(31)，B(1)，C(13)，D(3)，2已知角的终边经过点(12)P，则sin()A2B2 55C12D2 553下列函数中，既是偶函数又在区间(01)，上单调递增的是AeexxyB2yx-=C|2xy Dcosyx4命题“2 2120 xxa ，”为真命题的充要条件是A0a B1a C2a D3a 5垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务 已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）近似地满足关系tva b（其中ab，为常数且大于0），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：lg20.3）A20B27C32D40高三数学试题第 2 页共 6 页6已知等差数列na中的各项均大于0，且2315316aaa，则31113aaaa的最小值为A2B1C0D17已知函数()2cos(2)f xx(|2)的图象与函数()sin()6g xx的图象的对称中心完全相同，且在(0)2，上()f x有极小值，则的值为A3B6C6D38已知正实数xy，满足elnlnxy xy y，则ln1lnxyx的最大值为A0B1C2D3二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知0ab，则A22abBlog2log2abC323ababD2abab10已知函数()4cos cos()13f xxx，则下列说法正确的是A函数()f x的最小正周期为2B56x 为函数()f x图象的一条对称轴C函数()f x在4 19312，上单调递减D函数3()2yf x在0，上有3个零点高三数学试题第 3 页共 6 页11已知函数21()exxxf x，则A函数()f x只有两个极值点B若关于x的方程()f xk有且只有两个实根，则k的取值范围为(e 0)，C方程()1f f x 共有4个实根D若关于x的不等式()(1)f xa x的解集内恰有两个正整数，则a的取值范围为3111(4e2e，12已知函数()f x的定义域为R，且22()()()()f xy f xyfxfy，3(1)3,(2)2ffx为偶函数，则A()f x为偶函数B(2)3fC()3(3)fxfx D20231()3kf k三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知数列na为等比数列，23a，3781a a，则8a 14已知函数8()2lnf xxmx的极小值为2，则m 15若20()lg|1f xabx是奇函数，则ab16在ABC中，2AB，D为AB中点，2CD，2BACBCD，则边AC的长为四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2 cosaCcAbB（1）求 B；（2）若2 3b，ABC的面积为2 3，求ABC的周长#QQABBYSAggigQAJAABhCAQESCACQkACACKgOQAAIsAABSRNABAA=#高三数学试题第 4 页共 6 页18（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知238aa，525S（1）求na的通项公式；（2）数列 nb满足11b，*1()nnnbab nN，求数列 nb的前21项和19（12 分）设区间A是函数()yf x定义域内的一个子集，若存在0 xA，使得00()f xx成立，则称0 x是()f x的一个“不动点”，也称()f x在区间A上存在不动点，例如()21g xx的“不动点”满足000()21g xxx，即()g x的“不动点”是01x 设函数12()log(426)xxf xa，12x，（1）若4a，求函数()f x的不动点；（2）若函数()f x在12，上不存在不动点，求实数a的取值范围#QQABBYSAggigQAJAABhCAQESCACQkACACKgOQAAIsAABSRNABAA=#高三数学试题第 5 页共 6 页20（12 分）为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园如图所示，O为圆心，半径为(0)a a 米，点ABP，都在半圆弧上，设NOPPOA，2AOB，且03（1）若在花园内铺设一条参观线路，由线段NAABBM，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？（2）若在花园内的扇形ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？21（12 分）已知数列na和 nb满足13a，11b，13(1)nnnnaab，13(1)nnnnbba（1）求22nnab的通项公式；（2）令(1)nnnncab，求数列 nc的前2n项和2nT高三数学试题第 6 页共 6 页22（12 分）已知函数()e()xaf xaxR（1）讨论函数()f x零点个数；（2）若|()|lnf xaxa恒成立，求a的取值范围高三数学试题第 1 页共 5 页参照秘密级管理启用前试卷类型：A2021 级高三上学期校际联合考试数学试题答案2023.08一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4 DDCA5-8 BBDA7.【答案】D【解析】由题意，函数 fx与 g x的最小正周期相同，则2，且2.当2时，=sin(2)6g xx，其一个对称中心为(,0)12，也是 2cos 2f xx的一个对称中心，所以()2co126s()0f，所以23k，k Z，又2，所以3，所以 2cos(2)3f xx，(0,)2x，22(,)333x ，fx有极大值，无极小值，不合题意，当2 时，=sin(2)sin(2)66g xxx，其一个对称中心为(,0)12，也是 2cos 2f xx的一个对称中心，所以()2co126s()0f，所以3k，k Z，又2，所以3，故选：D.8.【答案】A【解析】elnlnxy xy yelnxyxy即elnxxxyxy，设()exf xx，则()(ln)f xfxy，且()e1xfxx，所以在1,上，()f x单调递增，正实数,x y，0elne1xyxy，即1ln0 xyy，所以()(ln)f xfxy，等价于lnxxy，即lnlnyxx，ln1ln1lnlnxxyxxxx，设ln1()lnxg xxxx，2221ln11ln()1xxxxg xxxx，(1)0g，设2()lnh xxxx，1()212 210h xxx ，所以()h x单调递减，且(1)0h，所以在0,1上，()0h x，()0g x，()g x单调递增，在1,上，()0h x，()0g x，()g x单调递减，所以max()(1)0g xg，即ln1lnxyx最大值为 0，故选：A.二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9.AD10.BC11.ACD12.BCD11.【答案】ACD【解析】对于A，对()f x求导得：22(1)(2)()eexxxxxxfx ，当1x 或2x 时，()0fx，当12x 时，()0fx，即函数()f x在(,1)，(2,)上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此，函数()f x在=1x处取得极小值(1)ef ，在2x 处取得极大值25(2)ef，故选项A正确；对于B，由选项A知，作出曲线()yf x及直线yk，如图，要使方程 f xk有且只有两个实根，观察图象得当高三数学试题第 2 页共 5 页e0k 时，直线yk与曲线()yf x有 2 个交点，所以方程()f xk有且只有两个实根，则k的取值范围为e0k，故选项B错误；对于C，由()0f x 得：210 xx，解得152x，令()f xt，则()1f t ，结合图象方程()1f t 有两解，11512t ，20t，所以1()f xt或2()f xt，因为152e，所以15e2 ，所以方程1()f xt有两解；又因为20t，结合图象可知：2()f xt也有两解，综上：方程 1ffx 共有 4 个根，故选项C正确；对于D，因为直线(1)ya x过定点(1)，0，且1(1)ef，25(2)ef，3(3)e11f，记1(1)011(1)2efk，22(2)052(1)3efk，33(3)0113(1)4efk，所以31kak，故选项D正确.故选：ACD.12.【答案】BCD【解析】对于 A，因为 fx的定义域为R，关于原点对称，令0 xy，则 220000ffff，故 200f，则 00f，令0 x，则 220fy fyffy，又 fy不恒为 0，故 fyfy，所以 fx为奇函数，故 A 错误；对于 B，因为3(2)2fx 为偶函数，所以33(2)(2)22fxfx，所以 fx关于32x 对称，所以 213ff，故 B 正确；对于 C，因为3(2)2fx 为偶函数，所以33(2)(2)22fxfx，令322tx ，则322xt，故3ftf t，令322tx，则322xt ，故 3f tft，又 fx为奇函数，故 ftf t，所以33f tft ，即(3)(3)fxfx，故 C 正确；对于 D，由选项 C 可知 3f tftf t，所以 63f tf tf t，故 fx的一个周期为 6，因为 13f，所以 113ff ，对于 3f tft，令2t，得 213ff，则23f ，令3t，得 300ff，则30f，令4t，得 413ff，令5t，得 523ff，令6t，得 630ff，所以 1234563303300ffffff，又2023337 6 1，所以由 fx的周期性可得：20231()(1)(2)(3)(2023)(1)3if kfffff，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.27 314.4ln215.1116.1172 15.【答案】11【解析】因为 2020lg|lg|11aaxf xabbxx，所以20lg|1aaxfxbx，因为函数()f x为奇函数，所以 2020lg|lg|2011aaxaaxf xfxbxx，即2222(20)lg|201a xabx，所以22(20)aa，即10a，高三数学试题第 3 页共 5 页所以2lg()22lg2220ababb，即1b ，所以，11ab.故答案为：11.16.【答案】1172【解析】设ACxBCy，在ADC和BDC中，由正弦定理得，21,sinsinsinsinxyBACADCBCDBDC，又sinsinADCBDC，得sin2sinBACyBCDx，在BDC中，22 1cos2 2yBCDy，由2BACBCD，有sin2sincosBACBCDBCD，所以222 122 2yyxy，整理得：2221yx y，又由221212coscos,2 22 2xyADCBDC ，整理得：226xy，联立得，3227120 xxx，即2340 xxx，解得3x 或1172x，又2121x，故1172x，所以1172AC.四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.【解析】解：（1）coscos2 cosaCcAbB，由正弦定理得：sincossincos2sincosACCABB，2 分整理得：sin()2sincossinACBBB，在ABC中，0B，sin0B，2cos1B，1cos2B，即3B.5 分（2）由余弦定理得：2221(2 3)22acac，2()312acac，13sin2 324SacBac，8ac，8 分2()2412ac，6ac，ABC的周长为62 3.10 分18.【解析】（1）设公差为d，则1112851025adadad，解得11a，2d，4 分所以1(1)2nan 21n6 分（2）1221123452021()()()bbbbbbbbbb12420baaa9 分3391 37(2 20 1)1102112 .所以数列 nb的前21项和为21112 分19【解析】（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当4a 时，12log 44 2()6xxf xx，得42 262xxx，所以22x或3(舍去)，所以1 1,2x ，所以函数()f x在1,2x上的不动点为15 分（2）根据已知，得12log 426()xxax 在区间1,2上无解，所以14262xxxa 在1,2上无解，高三数学试题第 4 页共 5 页令2xt，2,4t，所以262attt，即2(1)602att在区间2,4上无解，所以612att 在区间2,4上无解，设6()g ttt，所以()g t在区间2,4上单调递增，故5()1,2g t 所以5122a或112a，所以3a 或4a，8 分又因为14260 xxa在区间1,2上恒成立，所以2226xxa在区间1,2上恒成立，所以12a，则2a.综上，实数 a 的取值范围是(4,)12 分20【解析】（1）由题意可知：2 sinANa，2 cos2BMa；由题可知 AB=NA=2 sina，所以参观路线的长度lABNAMB4 sin2 cos2aa=24 sin4 sin2aaa，3 分令3sin(0,)2t,即22442(442)latataatt .当12t 时，取得最大值，此时1sin2即6时，参观路线最长.6 分（2）由题可知扇形ONP 的面积221122aSr，三角形 AOB 的面积2221sin2sin222aSr，三角形 BOM 的面积2231sin4sin422aSr，所以杜鹃花的种植总面积212311(sin4sin2)222SSSSa，9 分2(1 4cos42cos2)2aS 22(8cos 22cos23)2a2(2cos21)(4cos23)2a，令0S得1cos22或34（舍），因为2023，所以23，6，当(0,)6时，0S，S 单调递增，当(,)6 3 时，0S，S 单调递减，所以6时，杜鹃花的种植总面积最大.12 分21【解析】（1）由题设可得23 3 1 10a ，23 1 36b ，所以2216ab又因为13(1)nnnnaab，13(1)nnnnbba，故221213nnnaab，221213nnnbba，2122223nnnaab，2121223nnnbba，所以2221214()nnnnabab，212122222()nnnnabab，4 分得2222228()nnnnabab，所以数列22nnab是首项为 16，公比为 8 的等比数列，故12212 86 8nnnnab6 分（2）112ab，又因为13(1)nnnnaab，13(1)nnnnbba，故2121222222222222(3(3)4()nnnnnnnnababbaab，2222232323232323(3)(3)2()nnnnnnnnababbaab，得212123238()nnnnabab，所以数列2121nnab是首项为2，公比为 8 的等比数列，高三数学试题第 5 页共 5 页故1121212 82 8nnnnab，9 分因为2122nnTccc1122212122()()()()nnnnabababab 11332121224422()()()()()()nnnnabababababab，所以22(1 8)16(1 818(1 818(1 81 81)877nnnnnT.12 分22【解析】（1）由()e0 xaf xx，得e,(0)xxa x,设 exh xx，则 1 exh xx，当1x 时，0h x，当10,0 xx 时，0h x，所以 exh xx在(1,0),(0,)上单调递增，在(,1)上单调递减，所以min1()(1)eh xh，据此可画出 exh xx大致图象如图，所以（i）当1e a或0a 时，fx无零点：（ii）当1ae 或0a 时，fx有一个零点；（iii)当10ea时，fx有两个零点；5 分（2）当0a 时，lnf xaxa即e0 x恒成立，符合题意，6 分当0a时，由 lnf xaxa可得0 x，则e0 xax，则elnxaaxax，即1(lne1)xxax，设1()ln1m xxx，则22111()xm xxxx，当01x时，()0m x，当1x 时，()0m x，所以 m x在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以 10m xm，所以，当0a时，1e0(ln1)xxax，即 lnf xaxa恒成立，即0a符合题意；8 分当0a 时，由（1）可知，()exh xaxa，在(0,)上单调递增又 00haa ，e(0)1ah aaa，所以0(0,)xa，使000()e0 xh xaxa.i）当0(0,)xx时，e0 xxa，即e0 xax，设()eln0 xag xaxax，则2()e0 xaag xxx，所以 g x在0(0,)x上单调递减，所以0(0,)xx时，00lng xg xa xa；10 分ii）当0(,)xx时，e0 xxa，即e0 xax，设()eln0 xat xaxax，因为222e()exxaaxaaxt xxxx，令20()e,()xp xxaa xxx，则2()(2)exp xxxa，又令20()(2)e(),xn xxxa xx，则2()(42)e0 xn xxx，得 n x在0(),x 上单调递增，有020000()()()(2)e0 xp xn xn xxxaaxa，得 p x在0(),x 上单调递增，有02000e()()0 xp xp xxaaxa，则2()()0p xt xx，得 t x在0(,)x 上单调递增，则0(,)xx时，00lnt xt xa xa，又0(0,)xx时，00lng xg xa xa，得当0a 时，lnf xaxa时，00ln00eaxax，由上可知00exax，()exh xx在(0,)上单调递增，则此时e+10ea，综上可知，a的范围是e 1(e,).12 分