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上海市青浦区2021-2022学年高一上期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1 .已知集合 A = x, 3 = x|0<xv4,则 A B =.【答案】2,3_±1【解析】x = 8 3 =.43 .不等式< i的解集是. x3【答案】（f,0）U（3,y）4 .用反证法证明命题“已知x,ysR+,且x+y2,求证：匕匕与中至少有一个小于2”时，应首先 y %假设“:【答案】匕二22且匕上之2 y %5 .已知事函数y = "2加2）一3加2在区间（o,+8）上是严格减函数，则实数机的值是.【解析】由题意得加22m2 = 1,解得相=3或根=1,当m=3时，丁 二1一2符合题意；当m=1时，y = x2,舍去，故相=3.6 .函数y = z + l （。0且awl）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是.【解析】令x1 = 0,得x = l,y = 2,故定点坐标为（1,2）.7 .函数y = J2x + 1 -12-工的最大值为.【解析】由题意得2因为y = J2x + 1在-,2上严格增，y = -在,2上严格增，22所以/（幻在-±2上严格增，故当x = 2时，函数取得最大值逐.8 .已知关于x的不等式x-1 -<a-x+2有实数解，则a的取值范围是.【解析】由题意得。2(|x l| + |x + 2|1)疝/ 因为|x 1| + |X + 2|=|1-x| + |x + 2|N3,所以9 .函数y = /(x)在区间(fo,+oo)上是严格减函数，且是奇函数.若1) = 1,则满足2)01 的实数x的取值范围是.【解析】/(1) = -1,/(-1) = 1,由七/(%-2)41得川)</(%2)</(1),因为y = /(x)在区间(-00,+8)上是严格减函数，所以一1-241,所以故解集为口,3.10 .当lg=怛可,vb时,则+2Z?的取值范围是.【解析】由题意得lg = lgb乃>1,所以b = l,所以。+ 2 = ' + 2人£(3,+8).bXX < 111 .已知函数丁=:''的值域为(8,3,则实数m的取值范围是.I I ZTZ, Xr> 1 .【解析】当xWl时，y = 3、£(0,3,又值域为(8,3,故当%>1时，y = 2/+机要取遍(-8,0且最大值不能超过3,故Ov2 +根43,故实数机的取值范围是(2,5.12,已知eR,函数y = x + 3 + b在区间(0,1)上有两个不同零点，则/+。+ 1”的取值范围是【解析】设函数丁 =%+色+人在区间(0,1)上两个不同零点为七,%2，X所以+贝1公工2是方程£ +法+。= 0的两个不同的根，所以西+% =-4王工2 =4 ' （b + l）Q = X；¥+（一% /+1）毛=%2（玉工2_%1 _+1）=X1X2（X1 -1）（2 -1）=%（1一%）（1 *2），因为 0<%（1_不）（，,0<%2（1_%2）（，所以 0< X1X2（1-X1）（1-X2）<,4 一 一 4一16且故等号取不到，所以片+S + 1)。的取值范围是0,二、选择题(本大题满分12分，本大题共有4题)13 .已知,条件尸：。>，条件9：lgQlg/? + l,则是的O02/7A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】若/g>/gb + l,则10匕>0,故若ab , a> 中有负数时，条件4：/gQ>/g/? + ly =一不成立，x +1所以是q的必要不充分条件.故选14 .下列函数中，值域是(0,+oo)的是().A. y = 丁 b. y = rC. y = -2A' D. y = lg(x+l)(x>0)【解析】对于析：y二炉的值域为0,+oo)；对于3：因为Yno,所以£+121,所以x2+l所以y 二一一的值域为(0刀； x +对于C ：y = -2X的值域为(-8,0);对于。：因为x>0,所以x+l>l,所以/g(x + l)>0,所以y = /g(x + l)的值域为(0,+8)；故选。.15 .已知定义域为R的函数y = /(x)满足：对任意x,£R, /(x+y) = .f(x) ,f(y)恒成立，则函数>=%)() A.是奇函数.B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数.D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】令x = y = O,则/(0) = /(0)-/(0) = 0,令=0,则/0) = /()-/3) = -)(，),所以/(y) = 0，所以函数y = /(x)既是奇函数又是偶函数，故选16 .已知函数y = 的定义域为O,若该函数满足条件：存在。力仁。，使y = x)在区间,/?上的值域为Eg ,则称y = /(%)为“倍缩函数”，若函数工)=现2(2、)为“倍缩函数”，则实数,的取值范围是().1A. 0,一2(C. 0,一I 4 JD.(1一,+oo14【解析】因为函数/(x) = log2 (2、+。为“倍缩函数”,且满足存在。力£。，使/(X)在。,切上的值域是耳,刍，/狼(2+。= 3因为/(%)在Q,句上是严格增函数，所以,blog2(2b+t) = -、乙a2a+t = V土即，所以方程2'-22+. =。有两个不等的实根，且两根都大于0；h2h+t = V所以解得所以满足条件.的范围是(0,；),故选C.三、解答题(本大题满分52分，本大题共有5题)17.已知关于x的不等式"二<0的解集为S x-m(1)当m=3时，求集合S；(2)若565且7eS,求实数机的取值范围.3r-5【解析】(1)由题意得x-3(5 A<()=> (1一3)(3%-5) < (),故8= 一,3 ； (3 J,八广c 5m-5 八 m-(2) 5e5=><0=>5-mm-5>0=> (m-1)(/?:-5) >0,故mvl或加>5；7m-55 、7 £ S =><0 = (7m-5)(m-7) > 0 , 故加 < 一或"2 > 7 ,1 -m7故 7/s=>3«2<7；75 )所以实数m的取值范围为,JU(5,7.18.函数y =>)的定义域为4a/2-x关于x的不等式x2-(2a + 3)x+a2 +3a < 0的解集为B.(1)求集合4(2)若A 3 = A,试求实数。的取值范围.【解析】(1)函数/(幻的定义域满足，尤T>° ,则集合A = (l,2)； 2-x>004/7(2)解不等式冗2-(2i + 3)x + q2+300 ,得(x-)(x-3) «0 ,所以 B = m + 3,若 A B = A,则 AqB,f a q 1所以_，解得IKqWI,a + 3>2则。的取值范围是1,1.19.已知函数y = ),其中同二/一9.(1)讨论函数y = /(x)的奇偶性：(2)若函数在区间1,+oo)上是严格增函数，求实数，的取值范围.【解析】(1)当 =0时、/(x) = %2,所以/(%) = / = /(©，所以/(x)是偶函数;当aw。时，/=1一。/(1) = 1 +。，所以/(l)wl),/(l)w/， 所以/(x)是非奇非偶函数；(2)由题意得任取不马£1，+8)且不 <，则恒成立，即片一巴<写一巴，即里<后一4，即心应<亿一斗)伍+%)， % x2 x2 xxx2即Q > -XX2(X +%2 )恒成立，因为,工2 £口，+8)且X <%2，所以+%2)2 ,所以22.20,某工厂生产一种商品，生产该商品的年固定成本为250万元，每生产x件，另需投入成本为C(x),当年产量不足80件时，C(x) = -x2+1Qx(万元).当年产量不小于80件时，C(x) = 51x + 图 1450 3x(万元),每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润y (万元)关于年产量x (件)的函数表达式：(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)当0<%<80时，根据年利润=销售收入一成本，所以 L(x)= 50x - - -1 Ox - 250 = - - x2+ 40x - 250 ；当XN80时，根据年利润=销售收入-成本，所以 L(x) = 50x 51%一 + 1450 250 = 1200 (x + ).1 9-x2+40x-250,0<x<80所以L(x) =1200-(x + 22),x>80x(2)当0<九<800寸，L(x)= -1 x2+ 40x-250 = -(x-60)2 + 950 ,33所以当元=60时，L(x)取得最大值"60) = 950万元;当xN80时，L(x) = 1200-(x + W22?)<1200-2Ax-纳S = 1200-200 = 1000, Xv X当且仅当x =即x = 100时，L(x)取得最大值L(100) = 1000万元.x由于950<1000,所以当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.21 .已知函数y = /(x),若存在常数人化>0),使得对定义域D内的任意不九2(%尸)，都有 |七)-)|<修玉一可成立，则称函数丁 = /(同是定义域。上的“女 利普希兹条件函数”.9 11(1)判断函数y = V+i是否为定义域一一,一上的、利普希兹条件函数。若是，请证明：若不是，请2 2说明理由;(2)若函数y = «是定义域1,4上的“匕利普希兹条件函数l 求常数攵的最小值;(3)是否存在实数是定义域2,+00)上的“1-利普希兹条件函数、若存在，求实数机的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)|y()-/(x2)|-|xj -X2= Xj2-xl一,一百=1一%2卜(|% +/|1)，所以,一引>。,|斗+x2|<l,i 11因为一一<x2 <-2一 2所以|5)一/()|<打一司,所以y = Y+i是1-利普希兹条件函数(2)若函数/(x) = V(l<x<4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域1,4上任意两个项,工2(西。工2), 均有17(七) /(%2)区%1% %2 I成立，06/7不妨设玉/，则%之禽-H= ,1广恒成立,% %2J% + J %2因为1斗4,所以:所以女的最小值为 2(3)由题意得% 1 %2 1|玉_引在2,+o。)上恒成立,m(x2- %1)(5一。(工2-1)<|%1 -X,|，不妨设 不 <X2,|<(|(x, -l)(x2 -l)|)m,n因为% >2,x2>2 ,所以I小区1,所以一 14加41.
