第一课时 充分条件与必要条件.docx
2.2充分条件、必要条件、充要条件第一课时充分条件与必要条件课标要求素养要求l.T解推出的意义.2.理解充分条件与必要条件 的意义.通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必 要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论 证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽 象素养.课前预习r知识探究自主梳理充分条件、必要条件如果pnq,那么称2是久的充分条件，也称Z是2的必要条件.如果那么.不是g的充分条件，9不是P的必要条件.点睛对pnq的理解“若p,则是真命题；pnq；2是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种 说法是等价的.自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)若P是4的充分条件，则是唯一的.(X)提示不是唯一的，使结论成立的条件有多个.“若必则p”是真命题，则p是的必要条件.(J)。=3”是“f=9”的充分条件.(J)(4)必>0是a>0, b>0的充分条件.(X)提示 由乃>0分a>0, Z?>0,也可能。<0, b<0,故不是充分条件.2 .下列命题中，是q的充分条件的是()A.p：q：4WO8 .p：2 +)220, q：且。NOC.p：a2, q： x>lD.p：a>b, q： ya>yb答案A解析根据充分条件的概念逐一判断.3.若 q£R,则 “。=1” 是“同=1” 的( )A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.无法判断答案A解析 当。=1时，同=1成立，.“4=1”是的充分条件.4.“尤>2”是“尤>3”的 条件(填“充分”或“必要”).答案必要-Q课堂互动题型剖析题型一充分条件的判断【例1】 指出下列哪些题中是4的充分条件？(1)在AABC1中，p： /B>/C,0 AOAB.对于实数, y, p： %+yW15, q： %W5 或 y710.(3)已知 x, y£R, p： x=l, q： (%1)(%2) = 0.解(1)在48。中，由大角对大边知，ZB>ZCAOAB,所以是9的充分条 件.(2)对于实数, y,因为=5 且 y= 10n%+y=15,所以由 X+yW 15n%W5 或 y/10,故p是q的充分条件.(3)由 x=ln(x-l)(x-2)=0,故是q的充分条件.故(1)(2)题中是q的充分条件.思维升华 要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出以即判断“若p, 则这一命题是否为真命题.【训练1】 下列各题中，P是9的充分条件的是(填序号).(1)：(%2)(工-3) = 0, q： x2 = 0；(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；(3)： m<2, q：方程 a2%一优=0 无实根.答案解析(1);。一2)(%3)=0,，%=2或%=3,不能推出2=0.:.p不是q的充分条件.(2).两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，:.p不是q的充分条件.(3)Vm<-2, ：.l2+4m<0,.,*方程x2%加=0无实根，:p是q的充分条件.题型二必要条件的判断【例2】判断下列各组p,中，P是否为9的必要条件？(l)p：cic=bc9 q： ci=b.(2)： =y, q： x2=/.(3)p：。+5是无理数，q： a是无理数.解 因为a=b=ac=Z?c,所以p是q的必要条件.(2)由今x=y,所以p不是夕的必要条件.(3)由。是无理数=a+5是无理数，所以p是夕的必要条件.思维升华 “若p,则为真，即p=4，则q是p的必要条件，若q=p,则 是q的必要条件.【训练2】 判断下列各组p, q中，p是否为9的必要条件？(Dp：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)/2：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)： AQB, q： A A B=A；(4)p：a>b, q： ac>bc.解(1).两个三角形全等=两个三角形相似，即=p.:，p是q的必要条件.(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即*p.:.p不是q的必要条件.(3).AnB=A=AU3,即 q=p,:.p是q的必要条件.(4).c的正负不确定，不能由ac>bc推出a>b9即q书p,；.p不是q的必要条件.题型三充分条件、必要条件的应用【例3】 已知p：实数x满足其中<0；q：实数x满足-2WxW3.若P是4的充分条件，求实数，的取值范围.解 p： 3a<x<a,设集合 A=x|3vxq.q： 2WxW3,设集合 B=x| 2<xW3.因为pn私所以A&B,3。2一2,2所以j=一彳Wv。.所以a的取值范围是一I，0)【迁移1】(变换条件)将本例中条件p改为“实数九满足”"3a,其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数。的取值范围.解 p：a<x<3a9设集合 A=xq<x<3.q： 2WxW3,设集合 3=x| 2WxW3."3q>3,因为q=p,所以A,所以< a<2, =>£、Q>0【迁移2】(变换条件)将例题中的条件“g实数%满足-2W%W3”改为“q： 实数满足-3WxW。"，其他条件不变，求实数。的取值范围.解 p：3a<x<a,其中 qvO,设集合 A=x|3qx<q.q： -3<x<0,设集合 B=x| -3WxW0.因为P是q的充分条件，所以p=9,所以3,所以<=> 1Wq<0.、q<0所以。的取值范围是1, 0).思维升华充分条件与必要条件的应用技巧应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取 值范围问题.(2)求解步骤：先把p, 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关 系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.【训练3 若“%<小”是“x>2或1<1”的充分条件，求实数机的取值范围.(2)已知p： x< 3或%>1, q： x>a,且p是q的必要条件，求实数。的取值范围.解 由已知条件知小>2或%<1.加W1,即m的取值范围为(-8, 1.由已知条件得x|x>qUx|x<3或x>,即a的取值范围为1, +°°).课堂小结1 .理解2个概念(1)充分条件；(2)必要条件.2 .掌握2种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接用定义进行判断.利用集合间的包含关系进行判断，也就是小范围推出大范围.3 .注意2个易错点(1)充分条件、必要条件不唯一.求参数范围时，要注意能否取到端点值.-Q分层训练，素养提升I基础达标1一'选择题1 .使x>3成立的一个充分条件是()A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2答案A解析 只有X>4=>%>3,其他选项均不可推出x>3.2 .若 ”£R,贝lj "a>l” 是“同>1” 的（）A.充分条件B.必要条件C.既不充分又不必要D.无法判断答案A解析 a> l=>|tz|> 1,但>16 a>l.3 .（多选题）下列选项中不是“%>y”的一个充分条件的是（）A.|x|>yB.x1>y2C.M>MD.x>y答案ABC解析 取=2, y=l,适合选项A, B, C,但推不出“%>y" ；由%>|y|2y 知是">y”的一个充分条件.4 .（多选题）下列式子中，能使一<：成立的充分条件有（）Czt* exA.a<O<b B.Z?vq<0 C.b<Q<a D.O<b<a答案ABD解析 A 中，当 a<Q<b时，<0<p B 中，当 b<a<0时，"<<0； C 中，当 b<O<a时，D中，当0<。<。时，故能使成立的充分条件有ABD. b aa oa o5 .设：一1W%V2, q： %Va.若乡是"的必要条件，则实数。的取值范围（）A.q|qW 1B.q|qW 1或 i22C.q|q22D.q|1WV2答案c解析 由题意 p=q,即x|-1 Wx<2Ux|xV,7-12 ax.q22.二、填空题6 .设四边形ABCD的两条对角线为AC, BD,则“四边形ABCD为菱形”是 的 条件(填“充分”或“必要”).答案充分解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线成立；而若“对角线 成立，则“四边形ABCZ)不一定为菱形”，所以“四边形A3CD为菱 形”是的充分条件.7 .已知a, b都是实数，那么“同>步|”是"标八仍 的 条件(填“充分”或“必要”).答案必要解析 由也可得。>人三0,可以推出|a|>步但由>|例不可以推出也8 .下列说法不正确的是(填序号).“x>5”是“尤>4”的充分条件；“孙=0”是“=0且y=0”的充分条件；"一2<%<2”是“%<2”的充分条件.答案解析 中由孙=0不能推出=0且y=0,则不正确；正确.三、解答题9 .下列各题中，是否为乡的充分条件？(l)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对边分别相等；(2)/7：%为无理数，q： f为无理数.解 pnq,所以p是q的充分条件.(2)当=m时，f = 2, 2是有理数，p打q,所以p不是q的充分条件.10 .下列各题中，p是乡的什么条件？(l)p： a+b=0, q： «2+Z?2=0；(2)：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等；(3)： %=或=2, q： x1 =jx1.角窣(1)<。+/7=04/+庐=0,a2+b2=0a-b=0.是9的必要条件，但不是充分条件.（2）V四边形是正方形台四边形的四条边相等, 四边形的四条边相等打四边形是正方形.:,p是q的充分条件，但不是必要条件.（3） Vx= l 或 x=2=>x 1 =小一 1,%l=/x1=>%=1 或 x=2,是4的充分条件，也是必要条件.I能力提升I11 .已知集合74=口£旧一1<1<3, B=xeR|-l<x<m+l,若 成立的一个充分条件是则实数机的取值范围是（）A.2,+ 0°)B.(一8, 2C.(2,答案+ 0°)D.(-2, 2)解析因为成立的一个充分条件是所以所以1,即m22.12 .（多选题）下列选项中能成为的充分条件的有（）A.xyt2C.xi>y3B.xt>yt八11D.0<-<-x y答案ACD解析 A.由"2”2 可知 »0,所以 x>y, xt2>yt2>x>y； B.当。>0 时，x>y,当<0 时，x<y,故 xf>”=>/x>y； C.由D.由 o2<2=x>y.故选 ACD.x y13 .试说明0<加<；是方程 322x+3=0有两个同号且不等实根的什么条件.解 若方程/一2x+3 = 0有两个同号且不等的实根,%W0,4=412心0,.八 10 0<m<.33>0,1m但由。<相<；,若0<m<；,I23则蔡所>°，-3<-12m<0,从而 412根>0,23即 J>0,且嘉>0, >o, m m从而方程次2x+3=0有两个同号且不等实根.因此0<根<：是方程以22%+3=0有两个同号且不等实根的充分条件，但不是必要条件.I创新拓展14.设集合 A=xl4W2,集合 B= x2m<x< 1.(1)若“X£A”是的必要条件，求实数机的取值范围；若BG(rA)中只有一个整数，求实数机的取值范围.解(1)若是“xRB”的必要条件，则匹4.当mV；时,B= x2m<x<1,此时一1 2Vl =当22；时，3=0,有3UA成立. 、综上所述，所求相的取值范围是创m2(2)：A=R-lWxW2,.* rA=x|x< 1 或 x>2.当mV；时，B= x2m<x< 1, A3若(rA)G5中只有一个整数，则一3W2m<2,得一 1 ；当加三;时，不符合题意.综上知，机的取值范围是;1先|一W2V 11.
