2020考研数学一真题及答案.docx

2020考研数学一真题及答案一、选择题：18 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. x ® 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是0A. ò x (et2 -1)dt0B. ò x ln (1+ t3 )dtòC. sin x sint 2dt 0ò1-cos xD. 01. 答案：Dsin3 tdtx®02. 设函数 f (x) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x) = 0, 则（）®A. 当limx 0B. 当limx®0f (x) = 0, f ( x)在x = 0 处可导.| x |x2f (x) = 0, f ( x)在x = 0 处可导.®C. 当 f (x)在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x)在x = 0处可导时,limx®0f (x) = 0.| x |x2f (x) = 0.2. 答案：B解析:Qlimf (x) = 0 limf (x) = 0 limf (x) = 0, limf (x) = 0x®0x®0| x |x®0+xx®0-xx2lim f (x) = 0, lim f ( x) = 0x®0xx®0limf (x) - f (0) = limf (x) = 0 =f ¢(0)x®0x - 0x®0x f (x) 在 x = 0 处可导选 BA.lim( x, y )®(0,0)B.lim( x, y )®(0,0)C.lim( x, y )®(0,0)D.lim( x, y )®(0,0)| n × ( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2x2 + y2| n ´( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2| d × ( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2| d ´( x, y, f ( x, y) | = 03. 答案：A解析：Q f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0x2 + y2limx®0 y®0f (x, y) - f (0, 0) - f x¢(0, 0) × x - f y¢(0, 0) × y = 0x2 + y2即limx®0y®0f (x, y) - f x¢(0, 0) × x - f y¢(0, 0) × y = 0n × ( x, y, f (x, y) )x2 + y2Q n × ( x, y, f (x, y) ) = f x¢(0, 0)x + f y¢(0, 0) y - f (x, y)lim( x, y )®(0,0)= 0 存在选 A.4.设 R 为幂级数å a r 的收敛半径，r 是实数，则（）¥nnn=1A. å a r 发散时，| r |³ R¥nnn=1B. å a r 发散时，| r |£ R¥nnn=1C.| r |³ R 时， å a r 发散¥nnn=1D.| r |£ R 时， å a r 发散¥nnn=14. 答案：A解析：R 为幂级数å a x 的收敛半径.¥nnn=1 å a x 在(-R, R) 内必收敛.¥nnn=1 å a r 发散时，| r |³ R .¥nnn=1选 A.5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（）A. 存在矩阵 P，使得 PA=BB. 存在矩阵 P，使得 BP=AC. 存在矩阵 P，使得 PB=AD. 方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解5. 答案：B解析：QA 经初等列变换化成 B.存在可逆矩阵 P1 使得 AP1 = B11 A = BP-1令P = P-1 A = BP.选B.26. 已知直线 L : x - a2 = y - b2 = 2 - c2 与直线 L : x - a3 = y - b3 = 2 - c3 相交于一点，法1éai ùa1b1c1a2b2c2向量 a = êb ú ,i = 1, 2, 3. 则iê i úêëci úûA. a1 可由 a2 , a3 线性表示B. a2 可由 a1, a3 线性表示C. a3 可由 a1, a2 线性表示D. a1, a2 , a3 线性无关6. 答案：C解析：令 L 的方程 x - a2 = y - b2= z - c2 = t1æ x öa1b1c1æ a2 öæ a1 ö即有ç y ÷ = ç b÷ + t ç b÷ =a + taç ÷ç2 ÷ç 1 ÷21ç z ÷ç c ÷ç c ÷è øè 2 øè 1 øæ x öæ a3 öæ a2 ö由 L 的方程得ç y ÷ = ç b ÷ + t çb ÷ =a + ta2ç ÷ç 3 ÷ç 2 ÷32ç z ÷ç c ÷ç c ÷è øè 3 øè 2 ø由直线 L1 与 L2 相交得存在 t 使a2 + ta1 =a3 + ta2即a3 = ta1 + (1- t)a2 ，a3 可由a1 ,a2 线性表示，故应选 C.7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P( A) = P(B) = P(C) = 1 , P( AB) = 04P( AC) = P(BC) = 1123A.42B.31C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为5D.127. 答案：D解析： P( ABC ) = P( ABUC) = P( A) - P A(BUC)= P( A) - P( AB + AC)= P( A) + P( AB) - P( AC) + P( ABC)= 1 - 0 - 1 + 0 = 14126P(BAC ) = P(BAUC) = P(B) - PB( AUC)= P(B) - P(BA) - P(BC) + P( ABC)= 1 - 0 - 1 + 0 = 14126P(CBA) = P(CBUA) = P(C) - PCU (BUA)= P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC)= 1 - 1 - 1 + 0 = 14121212P( ABC + ABC + ABC) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC)= 1 + 1 + 1 = 5661212选择 D8. 设 X1 , X 2, X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P( X = 0) = P( X = 1) = 1 , F(x) 表2æ 100ö示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P ç å Xi £ 55÷ 的近似值为è i=1øA.1- F(1)B. F(1)C.1- F(2)D. F(2)8.答案：B解析：由题意EX = 1 , DX = 124æ 100öæ 100öE ç å Xi ÷ X= 100EX= 50.D ç å Xi ÷ = 100DX= 25è i=1øè i=1øå100由中心极限定理Xi N (50, 25)i=1ì 100üì 100üïå Xi - 5555 - 50ï P íå Xi£ 55ý = P í i=1£55ý = F(1)î i=1þïïïîïþ故选择 B二、填空题：914 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上.ëû9. lim é1-1ù =x®0 ê ex -1ln(1+ x) ú9. 解析：èølimæ1-1öx®0 ç ex -1ln(1+ x) ÷= limln(1 + x) - e x +1xx®0 (e-1) ln(1+ x)= limx®0ln(1 + x) - e x +1x21- ex= lim 1+ xx®02x= -1t 2 + 1ìïx =10. 设íd 2 y，则2 |t =1 =ïî y = ln(t +10. 解析：t 2 +1)dxdy 1æ1+tödyt + t 2 + 1 çt 2 + 1 ÷1= dt = èø =t 2 +1dxdxttdtdy2æ dy ödç dt ÷d æ dy öt 2 +1 ç dt ÷-èø12èø dt t= -=3dx2dy2dx2得dx2= -t =1dxttt 2 +1dt11. 若 函 数f (x) 满 足f ¢(x) + af ¢(x) + f (x) = 0(a > 0), 且f (0) = m, f ¢(0) = n ， 则ò=+¥f (x)dx011. 解析：特 征 方 程 为 l2 + al+ 1 = 0l1 < 0,l2 < 0特 征 根 为 l1 ,l2， 则 l1 + l2 = -a,l1 ×l2 = 1 ， 特 征 根òò+¥ f (x)dx = - +¥ f ¢(x) + af ¢(x)dx000= - f ¢(x) + af (x) |+¥= n + am¶2 f¶x¶yxy xt 212. 设函数 f (x, y) = ò e dt ，则=012. 解析：(1,1)¶f = ex ( xy )2 × x = xex3 y2¶y¶æ ¶f ö2ç÷¶ f =è ¶y ø =ex3 y + 3x3 y2ex3 y2¶x¶y¶x¶2 f¶x¶y=e+3e = 4e.(1,1)a0-11013. 行列式a1-1 =-11a01-10a13. 解析：a0-11a0-110a1-1 = 0a1-1-11a0-11a01-10a00aa0a-1 + a21a-1+ a21= 0a1-1 = - a1- 1-11a00aa00aaaa2 - 21= - a2-1 = a 4 - 4a 2.00a14. 设 X 服从区间æ - p,pö 上的均匀分布， Y = sin X ，则Cov( X ,Y ) =ç2 2 ÷èø14. 解析：ì 1ppíp解 f (x) = ïïî 0-< x <22其他cov( X ,Y ) = EXY - EXEY= E( X sin X ) - EXE(sin X )p1p 1p 1=2x sin xdx -2xdx2sin xdxò-ppò-ppò-pp2221 p0= 2pò 2 x sin xdx - 02 p0= pò 2 (- x)d cos x= 2 æ-ppöpç x cos x 2 + ò 2 cos xdx ÷è00ø÷ç= 2 æ 0 + sin x p ö = 22pè0 øp三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）求函数 f (x, y) = x3 + 8 y3 - xy 的最大值15. 解析：求一阶导可得¶f = 3x2 - y¶x¶f = 24 y2 - x¶yì¶f = 0ìx = 1ï¶x令í¶fìx = 0 ï6可得í y = 0í1ï = 0îïî ¶y求二阶导可得ï y =ïî12¶2 f¶x2= 6x¶2 f¶x2 y= -1¶2 f¶y2= 48 y当 x = 0, y = 0时.A = 0.B = -1.C = 0AC - B2 < 0 故不是极值.当 x = 1 y = 1 时612A = 1.B = -1.C = 4.èøAC - B2 > 0.A = 1 > 0故æ 1 ,1 ö 是极小值点æ 1 1 öæ 1 ö3ç 6 12 ÷æ 1 ö311极小值 f ç,÷ = ç÷+ 8ç÷- 6 ´= -è 6 12 øè 6 øè 12 ø16.（本题满分 10 分）12216计算曲线积分 I =16. 解析： 4x - yòL 4x2 + y2dx + x + y4x2 + ydy ，其中 L 是 x2 + y2 = 2 ，方向为逆时针方向设 P =4x - y4x2 + y2,Q =x + y4x2 + y2¶Q = ¶P = -4x 2 + y 2 - 8xy则¶x¶y(4x 2 + y 2 )2取路径 Le: 4x2 + y2 = e2 , 方向为顺时针方向.则 4x - ydx +x + ydyòL 4x2 + y24x2 + y2ò=4x - yL+ Le 4x2 + y2dx +x + y4x2 + y2dy -4x - yòLe 4x2 + y2dx +x + ydy4x2 + y2òò ç÷=æ ¶Q - ¶P ö dxdy +1 (4x - y)dx + (x + y)dy2 ò -LD è ¶x¶y øeee2 òò2De2ee= 11- (-1)dxdy = 1 × 2S= 1 × 2× p×De2 = p.217.（本题满分 10 分）øæ1 öå a xn设数列an 满足 a1 = 1, (n +1)an +1 = çn +è2 ÷an ，证明：当| x |< 1 时幂级数nn=1收敛，并求其和函数.17. 证明：由(n +1)a= æ n + 1 ö a , a = 1 知 a > 0n+1ç2 ÷ n1nèøn + 1则 an+1 = 2 < 1 ，即 an+1 < anann +1nnn故a 单调递减且0 < a < 1 ，故 a xn < xn¥¥n当| x |< 1 时， å xn 绝对收敛，故å a xn 收敛.n=1n=1S¢(x) = æ 奢n ö¥a x= åna xn -1 = å(n +1)axnçn÷è n=1øn+1¥n=1nn +1¥n=0= a1+ å(n + 1)axn n=1¥=åæ1 ön2n1+ç n +÷a xn=1 èø¥n1 ¥= 1+ å na x +åa xnnnn=12 n=1¥= 1+ xå na xn-1 + 1 S(x)nn=12= 1+ xS¢(x) + 1 S(x)2则(1- x)S ¢(x) - 1 S(x) = 1 即 S¢(x) -1S (x) =121 - x解得 S (x) =1(-2+ c )2(1- x)1- x1- x又 S (0) = 0 故c = 2 因此 S (x) =21- x- 2.x2 + y 218.（本题满分 10 分）设 å 为 曲 面 Z =(£ x2 + y 2 £ 4)的 下 侧 ，f (x)是 连 续 函 数 ， 计 算I = òòxf (xy) + 2xy - ydydz + yf (xy) + 2 y + xdzdx +zf (xy) + zdxdyå18. 解析：x2 + y2xyx2 + y2x2 + y2yz =则 z¢x =, z¢ =2x2 + y2方向余弦为cosa= 1x, cos b= 1 ×y, cosg= - 1x2 + y222于是I = 1ìïxyüï2òò íxf (xy) + 2xy - yS ïîæ 2x2 y - xy + 2 y2 + xy+ yf (xy) + 2y + xx2 + y2x2 + y2ö22-zf (xy) + zýd Sïþ= òò ç- x + y÷ d x d yx2 + y2ç÷Dxy èøæ= 4òò ç2 y2-22 öd xd yx2 + y2x + y ÷ç÷D1 èø= æ p2 2r 2 sin2 qp2ö4 ç ò 2 dqòrdr - ò 2 dqò r 2dr ÷è 01r01ø= 4 æ 2 × p× 7 - p× 7 ö = 0.ç4 32 3 ÷èøxÎ(0,2)19.设函数 f (x) 在区间0,2上具有连续导数， f (0) = f (2) = 0, M = max| f (x) |,证明（1）存在xÎ(0, 2) ，使得| f ¢(x) |³ M（2）若对任意的 x Î(0, 2),| f ¢(x) |£ M ，则 M = 0 .19.证明：（1）由 M = max| f (x) |，x Î0, 2 知存在c Î0, 2 ，使| f (c) |= M ，若c Î0,1，由拉格朗日中值定理得至少存在一点xÎ(0, c) ，使f ¢(x) =f (c) - f (0) =f (c)cc从而| f ¢(x) |= | f (c) | = M ³ Mcc若c Î(1, 2，同理存在xÎ(c, 2) 使f ¢(x) =f (2) - f (c) = - f (c)2 - c从而| f ¢(x) |= | f (c) | =2 - c2 - cM³ M2 - c综上，存在xÎ(0, 2) ，使| f ¢(x) |³ M .（2）若 M > 0 ，则c ¹ 0, 2.由 f (0) = f (2) = 0 及罗尔定理知，存在hÎ(0, 2) ，使 f ¢(h) = 0,当hÎ(0, c 时，òf (c) - f (0) = c f ¢(x) d x0òM =| f (c) |=| f (c) - f (0) |£ c| f ¢(x) |d x < Mc,0ò又 f (2) - f (c) = 2 f ¢(x) d xcòM =| f (c) |=| f (2) - f (c) |£ 2 | f ¢(x) | dx £ M (2 - c)c于是 2M < Mc + M (2 - c) = 2M 矛盾. 故 M = 0.20. 设 二 次 型f (x , x ) = x 2 + 4x x + 4x 2经 正 交 变 换 æ x1 ö = Q æ y1 ö化 为 二 次 型1211 22ç x ÷ç y ÷g( y , y ) = ay 2 + 4 y y + by 2 ，其中 a ³ b .è 2 øè 2 ø1211 22（1） 求 a, b 的值.（2） 求正交矩阵Q .20. 解析：（1）设 A= é 1-2ù ,B= é a2ùê-24 úê2búëûëû由题意可知QT AQ = Q -1 AQ = B.A 合同、相似于 B ì1+ 4 = a + ba ³ bîíab = 4 a = 4.b = 1l-12（2）| lE - A |= l2 - 5l2l- 4A 的特征值为 0，5当l= 0 时，解(0E - A)x = 0 .得基础解为a = é2ù11ê úë û-2当l= 5 时，解(5E - A)x = 0 得基础解为a = é 1 ù又 B 的特征值也为 0，52êúëû当l= 0 时，解(0E - B)x = 0 得b = é 1 ù =a-21êú2ëû当l= 5 时，解(5E - B)x = 0 得b = é2ù =a对a1 ,a2 单位化2ê ú11ë ûé 2 ùé 1 ùaê 5 úaê 5 úg1 = 1 = êú ,g2 = 2 = êú|a1 |ê 1 ú|a2 |ê -2 úëê 5 úûëê 5 úû令Q1 = g1 ,g2 ,Q2 = g2 ,g1 则QT AQ = é00ù = QT BQ0511êú22ëû2 11 2故Q QT AQ QT = B可令1 2Q = Q QTé 21 ù é 1- 2 ùê 55 ú ê55 ú= êú êúê 1- 2 ú ê 21 úëê 55 ûú ëê55 ûúé 4- 3 ù= ê 55 úêúê- 3- 4 úëê 55 úû21. 设 A 为 2 阶矩阵， P = (a, Aa) ，其中a是非零向量且不是 A 的特征向量.（1） 证明 P 为可逆矩阵（2） 若 A2a + Aa - 6a = 0 ，求 P-1 AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵.21. 解析：(1)a ¹ 0且Aa ¹ la .故a与Aa 线性无关.则 r(a, Aa ) = 2则 P 可逆.AP = A(a, Aa) = (Aa, A2x) = (aAa) æ 06 öç 1-1÷èø故P-1 AP = æ 06 ö.ç 1-1÷èø(2) 由 A2a+ Aa- 6a= 0设( A2 + A - 6E)a= 0,( A + 3E)( A - 2E)a= 0由a¹ 0得( A2 + A - 6E) x = 0有非零解故| ( A + 3E)( A - 2E) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E) |¹ 0则有( A - 2E)a= 0, 故Aa= 2a, 与题意矛盾故| A + 3E |= 0,同理可得| A - 2E |= 0.于是 A 的特征值为l1 = -3 l2 = 2.A 有 2 个不同特征值，故 A 可相似对角化22. 设随机变量 X1，X2，X3 相互独立，其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布，X3 的概率分布为PX= 0 = PX = 1 = 1 ,Y = X X+ (1 - X ) X .3323 132（1） 求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数F(x) 表示.（2） 证明随机变量 Y 服从标准正态分布.22. 解析：(1)F (x, y) = PX 1 £ x,Y £ y= PX1 £ x, X 3 ( X1 - X 2 ) + X 2 £ y, X 3 = 0 + PX1 £ x, X 3 ( X1 - X 2 ) + X 2 £ y, X 3 = 1= PX1 £ x, X 2 £ y, X 3 = 0 + PX1 £ x, X1 £ y, X 3 = 1若 x £ y,则PX£ x, X £ y, X = 1 = 1 PX £ x = 1 F(x)113212若 x > y,则PX£ x, X £ y, X = 1 = 1 PX £ y = 1 F( y)113212ì 1 F(x)F( y) + 1 F(x), x £ yí 11故 F (x, y) = ï 22ï F(x)F( y) +F( y), x > yîï 22(2)FY ( y) = PY £ y= PX 3 ( X1 - X 2 ) + X 2 £ y= 1 PX ( X - X ) + X £ y | X = 0+ 1 PX ( X - X ) + X £ y | X= 1231223231223= 1 PX22 £ y | X 3= 0+ 1 PX21 £ y | X 3= 1= 1 F( y) + 1 F( y)22= F( y).23. 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为ìæ t ömï1- e-çq÷ ,t ³ 0,其中q,m 为参数且大于零.F (t) = íè øîï0,其他.（1） 求概率 PT > t 与 PT > s + t | T > s ，其中 s > 0,t > 0 .（2） 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1 , t2, tn ，若 m 已知，求q的最大似然估计值q .23.解析：（1） PTæ t ömçq÷-> t = 1 - F (t) = e è øçq÷-æ t ömPT > s + t | T > s = PT > t = e è øì-æ t ömè ø(2) f (t) = F¢(t) = ïmq-mtm-1.e çq÷ , t ³ 0íîï0其他nP ( i)ìïmnq-mn (tt )m -1 en-q- m åtimt ³ 0似然函数 L(q) =i =1f t ，q = íîï1 n0i=1i其他当t1 ³ 0,t2 ³ 0,tn ³ 0 时L(q) = mnq-mn (t t )m -1 en-q- m åtimi=1nn1n取对数ln L(q) = n ln m - mn lnq+ (m +1) ålnt -q- m åt miid ln(q) = - mn +nq-( m+1)mi =1i =1求导数 dqqmmn1 åntmii =1d ln(q)åtii =1令= 0 解得q=dq1måntmn i =1i所以q的最大似然估计值q$ =