2020天津考研数学三真题及答案.docx

2020天津考研数学三真题及答案一、选择题：18 小题,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1) 设lim f (x) - a = b，则lim sin f (x) - sin a = ()x®ax - ax®ax - a(A). b sin a(B). b cos a(C). b sin f (a)(D). b cos f (a)【答案】B【解析】lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a × f (x) - a = cos f (x) × b = b cos f (a)x®ax - ax®af (x) - ax - ax=a 设 f (x) = u ，则lim sin f (x) - sin a = limsin u - sin a = cos u= cos f (a)x®af (x) - au® f (a)u - au = f (a)lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a × f (x) - a = lim sin f (x) - sin a × lim f (x) - a 则 x®ax - ax®af (x) - ax - ax®a=b cos af (x) - ax®ax - a(2) 函数 f (x) =(A).1(B).2(C).31ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)，则第二类间断点个数为（ ）(D).4【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一 般步骤为：1. 找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判 定。第二类间断点的定义为 f- (x0 ), f+ (x0 ) 至少有一个不存在，很显然 f (x) 不存在的点为x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 。在 x = -1 处， limx®-1-f (x) = -¥, limx®-1+f (x) = -¥ ；在 x = 0 处，limx®0-f (x) = limx®0+f (x)= - 1 ；2e1在 x = 1 处， lim ex-1 = 01， lim ex-1 = +¥ ， lim f (x) = 0 ， lim f (x) = -¥ ；x®1-在 x = 2 处， limx®2-x®1+f (x) = -¥ ， limx®2+x®1-f (x) = +¥ ；x®1+所以，第二类间断点为 3 个。(3) 对奇函数 f (x) 在(-¥, + ¥) 上有连续导数，则()(A). ò cos f (t) + f ¢(t)dt 是奇函数x0(B). ò cos f (t) + f ¢(t)dt 是偶函数x0(C). ò x cos f ¢(t) + f (t)dt 是奇函数00(D). ò x cos f ¢(t) + f (t)dt 是偶函数【答案】：A【 解析】 f (x)为奇函数， 则其导数 f ¢(x)为偶函数，又 cos x 为偶函数，则 cos f (x) = cos f (-x)，则cos f (x) 为偶函数，故cos f (x) + f ¢(x)为偶函数，以 0 为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于C和D 选项， f ¢(x) 为偶函数，则cos f ¢(x) = cos f ¢(-x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则cos f ¢(x) + f (x)既非奇函数又非偶函数。¥¥(4).已知幂级数å na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，则å a (x + 1)2n 的收敛区间为nn=1nn=1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba(x + 1)2n+ 2a【解析】由比值法可知，幂级数收敛时， lim n+1= lim n+1 (x + 1)2 < 1n®¥a (x + 1)2nn®¥ a¥则要求å a (x + 2)2n 的收敛区间，只需要求出limnnan+1 an的值即可，nn=1n®¥¥n而条件告诉我们幂级数å na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，即收敛半径为 4limn®¥= lim(n + 1)an+1 nann®¥n=1n + 1 an+1 nanan+1 an= lim= 1n®¥4an+1 an则lim(x + 1)2n = 1 (x + 1)2 < 1 ，即-3 < x < 1n®¥4所以本题选B 。(5) 设 4 阶矩阵 A = (aij ) 不可逆，a12 的代数余子式 A12 ¹ 0 ，1 , 2 , 3 , 4 为矩阵 A 的列向量组，A* 为 A 的伴随矩阵，则 A* x = 0 的通解为（）（A） x = k11 + k22 + k33（C） x = k11 + k23 + k34（B） x = k11 + k22 + k34（D） x = k12 + k23 + k34【答案】（C）【解析】 A = (a ) 不可逆知， A = 0 及r( A) < 4 ；由 A ¹ 0 知 A* ¹ O 且 , , 线性无关（无ij12134关组的延长组仍无关），故r( A) = 3 及r( A* ) = 1 ，故 A* x = 0 的基础解系含有 3 个向量。由A* A =A E = O 知， A 的列向量均为 A* x = 0 的解，故通解为 x = k + k + k 。1 12 33 4(6) 设 A 为 3 阶矩阵，1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，3 为 A 的特æ 100 ö征值-1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P -1 AP = ç 0-10 ÷ ，则 P 可为（）（A） (1 + 3 , 2 , -3 )（C） (1 + 3 , -3 , 2 )ç÷èøç 001 ÷（B） (1 + 2 , 2 , -3 )（D） (1 + 2 , -3 , 2 )【答案】（D）【解析】因为1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，故1 + 2 , 2 仍为特征值1的两个线性无关的特征向量；因为3 为 A 的特征值-1的特征向量，故-3 仍为特征值-1的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需 P = (1 + 2 , -3 , 2 ) ，æ 100 ö就有 P -1 AP = ç 0-10 ÷ 。(7)ç÷èøç 001 ÷P(A) = P(B) = P(C ) = 1 , P(AB) = 0, P(AC ) = P(BC ) = 1412，则 A, B, C 恰好发生一个的概率为（）(A). 34(B). 23(C) . 12(D). 512【答案】（D）【解析】P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)= P( A IB UC) + P(B IA UC) + P(C IA U B)= P( A) - P( AB) - P( AC) + P( ABC) + P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC)+ P(C) - P( AC) - P(BC) + P( ABC)又 ABC Ì AB ， P( ABC) £ P( AB) = 0原式 = 1 - 1412+ 1 - 1412+ 1 - 1 - 1 = 54121212(8) .若二维随机变量(X ,Y ) 服从æ- 1 ö ，则下列服从标准正态分布且与 X 独立的N ç 0,0;1,4;÷2èø是（）(A).(B).(C).(D).5 ( X + Y )55 ( X - Y )53 ( X + Y )33 ( X - Y )3【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知 X N (0,1) ，Y N (0,4) ， r XY= - 12DXDYD( X + Y ) = DX + DY + 2r XY= 3 ，所以 X + Y N (0,3) ，3 (X + Y ) N (0,1)3DXDY又cov(X , X + Y ) = cov(X , X ) + cov(X ,Y ) = DX + r XY= 0所以 X 与3 (X + Y )独立3二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分(0,)(9) z = arctan ( xy + sin(x + y) ，则dz= .(0,)【答案】dz= ( -1)dx - dy【解 析】 dz =dxy + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2, dz =dyx + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2，将 x = 0, y = 带入 可知 ，(0,)dz= ( -1)dx - dy(10) 已知曲线满足 x + y + e2 xy = 0 ，求曲线在点(0, -1) 处的切线方程【答案】 y = x -1【解析】在 x + y + e2 xy = 0 两侧同时对 x 求导有1+ dy +e2 xy (2 y + 2x dy ) = 0 ，将 x = 0, y = -1 带入dxdx可知dy = 1，所以切线方程为 y = x -1 dx(11) 设产量为Q ，单价为 P ,厂商成本函数为C(Q) = 100 +13Q ，需求函数为Q(P) =求厂商取得最大利润时的产量800P + 3- 2 ，【答案】Q = 8【解析】由Q(P) =800P + 3- 2 可知P =800Q + 2- 3 ，则利润函数为L(Q) = æ800 - ö-+，dL(Q) =1600-16 ，令 dL(Q) = 0 可得， Q = 8 ，此时ç Q + 23÷ Q(100 13Q)dQ(Q + 2)2dQèød2 L(Q) = -dQ23200(Q + 2)3< 0 ，故取得最大利润(12) 设平面区域 D = ì(x, y) x 剟y1, 0剟x 1ü ，则求 D 绕 y 轴旋转所成旋转体的体积í21+ x2ýîþ【答案】(ln 2 - 1)31123 ö【解析】由题意列式得V =2x æ1- x ödx = æln(1+ x ) - 1 x = (ln 2 - 1)ò0ç 1+ x22 ÷ç3÷3èøèø 0a0-11(13) 行列式 0a1-1 =-11a01-10a【答案】a2 (a2 - 4) .【解析】11111111a1-1a2-1原式=a 0a1-1 = a 0a1-1 = a 2a +11= a2 2a1 = a2 (a2 - 4).-11a002a +110aa0011-10a00aa(14) 随机变量 X 的分布律为 P(X = k ) =¥解析1 , k = 1,2,.,Y 为 X 被 3 除的余数，则 EY =2k¥PY = 0= åPX = 3n= å 1 = 1n=1¥PY = 1= ån=1 8n¥PX = 3n +1= å71 1 = 4n=0n=0 2 8n7¥¥PY = 2= å PX = 3n + 2= å1 1 = 2n=0 EY = 0 ´ 1 +1´ 4 + 2 ´ 2 = 8n=0 4 8n77777三、解答题：1523 小题,共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分 10 分) 设为常数，且当时，与为等价无穷小， 求的值.【解析】，由于，则，且式，得.(16)(本题满分 10 分) 求函数 f ( x, y ) = x3 + 8 y3 - xy 的极值.【解析】 ，解得，.且， .讨论：对于，求得，因，则不为极值点；对于，求得，因且，则为极小值点，且极小值为 .(17)(本题满分 10 分)设函数满足 ，且有.（）求； （）设 ，求 .【解析】（）由 得 ，解得， 则，又由得 ， 则.（） ，则.(18)(本题满分10分)设区域 ， ，计算.【解析】设，则 ，两边同取积分得.则 ，.(19)( 本题满分 10 分) 设函数( )M = maxf x.xÎ0,2f ( x) 在 0, 2 上具有连续导数.f (0) =f (2) = 0 ,证:(1)存在x Î(0, 2) 使(2)若对任意 x Î(0, 2) ,f ¢(x ) ³ Mf ¢( x) £ M ,则M = 0 .证明:(1) M = 0 时,则 f (x) = 0 ,显然成立.M > 0 时,不妨设在点c(Î(0, 2) 处取得最大值| f (c) |= M .f (c) - f (0)c - 0由拉格朗日中值定理得,存在x Î(0,c) ,使得|f ¢(x )| = M ;存在x2 Î(c, 2),使得|f ¢(x21f (2) - f (c)2 - c) |=1cM ;2 - c所以( M -M )( M- M ) = -M2 (c -1)2 0 ,即M介于 M 与 M之间,从而有c2 - cc(2 - c)c2 - c|f ¢(x1 )|M 或 f ¢(x2 )| M ,结论得证.（）当c ¹ 1时,采用反证法,假设M > 0 .则|f ¢(x1 )|>M 或|f ¢(x2 )|>M ,与已知矛盾,假设不成立.当c = 1时,此时| f (1) |= M ,易知 f ¢(1) = 0 .设G(x) =f (x) - Mx , 0剟x1 ;则有G¢(x) =f ¢(x) - M0 ,从而G(x) 单调递减.又G(0) = G(1) = 0 ,从而G(x) = 0 ,即 f (x) = Mx , 0剟x 1 .因此 f-¢(1) = M ,从而M = 0 .综上所述,最终M = 0(20)(本题满分 11 分)二次型 f (x , x ) = x2 - 4x x + 4x2 经正交变换æ x1 ö = Q æ y1 ö化为二次型1211 22ç x ÷ç y ÷g( y , y ) = ay2 + 4 y y + by2 ， ab 。求：è 2 øè 2 ø1211 22（I） a, b 的值；（II） 正交矩阵Qæ 4- 3 öç【答案】（I） a = 4, b = 1；（II） Q =55 ÷ .ç÷ç - 3- 4 ÷è【解析】（I）记 x = æ x1 ö , y = æ y1 ö , A = æ 155 ø-2 ö , B = æ a2 ö ，故 f= xT Ax, g = yT By 。ç x ÷ç y ÷ç -24 ÷ç 2b ÷è 2 øè 2 øèøèø因为 x = Qy ，故 f = yT QT AQy ，所以 B = QT AQ ，其中Q 为正交矩阵。所以 A, B 相似，故特征值相同，故ìïtr( A) = tr(B) 知， ìa + b = 5，故a = 4, b = 1。îîï A = Bíab - 4 = 0（II）由A = l1l2 = 0, tr( A) = l1 + l2 = 5 ，知 A, B 的特征值均为l1 = 5, l2 = 0 。解齐次线性方程组(li E - A) x = 0 及(li E - B) x = 0 ，求特征向量并直接单位化，对l = 5 ，由5E - A = æ 42 ö ® æ 21 ö 知， =1 æ 1 ö ；21001ç÷ç÷èøèø15 ç -2 ÷èø对l = 0 ，由0E - A = æ -12 ö ® æ 1-2 ö 知， =1 æ 2 ö ；2ç 2-4 ÷ç 00 ÷25 ç 1 ÷èøèø同理， B 的属于特征值l = 5 的特征向量为 =è ø1 æ 2 ö ，5 111ç ÷è øB 的属于特征值l = 0 的特征向量为 =1 æ 1 ö .èø记Q = ( , ) =21 æ 12 ö ， Q2= ( , ) =5 ç -2 ÷1 æ 21 ö，就有1125 ç -21 ÷2125 ç 1-2 ÷èøèøQ T AQ= Q T BQ= æ 50 ö ，00因此 B = Q Q T AQ Q T ，只需令1122ç÷èø2 11 2æ 4- 3 öQ = QQ T =1 æ 12 ö × 1æ 21 ö = ç55 ÷ ，1 25 ç -21 ÷5 ç 1-2 ÷ç34 ÷èøèøç -÷è55 ø则B = QT AQ ，二次型 f (x , x ) 经正交变换 x = Qy 化为 g( y , y ) 。1212(21)(本题满分 11 分)设 A 为 2 阶矩阵， P = (, A) ， 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I） 证明矩阵 P 可逆；（II） 若 A2 + A - 6 = 0 ，求 P -1 AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。【解析】（I）设k1 + k2 A = 0 若k2 = 0 ，则由 ¹ 0 知k1 = 0 ； 若k ¹ 0 ，则 A = - k1 ，所以 是 A 的属于特征值- k1 的特征向量，与已知条件产生kk222矛盾。所以， k1 = k2 = 0 ，向量组, A 线性无关，故矩阵 P 可逆。（II）因为 A2 = 6 - A ，所以，( A, A2) = ( A, 6 - A) = (, A) æ 06 ö ，ç 1-1÷èø记B = æ 06 ö ，因此，ç 1-1÷èøA(, A) = (, A) æ 06 ö ，ç 1-1÷èø即 AP = PB ，由 P 可逆知 A, B 相似且 P -1 AP = B = æ 06 ö 。ç 1-1÷èø由 l E - B = l-6 = (l - 2)(l + 3) = 0 知，矩阵 A, B 的特征值均为l = 2, l= -3 ，-1l +112因为特征值互不相同，故矩阵 A 相似于对角矩阵æ 20 ö 。ç 0-3÷èø(22)(本题满分 11 分)二维随机变量(X ,Y ) 在区域 D = (x, y)0 < y <1- x2 上服从均匀分布，且í0, X - Y £ 012Z = ì1, X - Y > 0, Zî= ì1, X + Y > 0íX + Y £0,0î1212求（1）二维随机变量(Z , Z )的概率分布；（2）求Z , Z 的相关系数.【解析】（1）由题意 f(x, y)ìïp , (x, y)Î D=í 2ïî 0, (x, y)Ï D，所以可计算11P(Z P(Z= 0, Z2= 0, Z2= 0) = P(X - Y £ 0, X + Y £ 0) = 14= 1) = P(X - Y £ 0, X + Y > 0) = 1212P(Z = 1, Z = 0) = P(X - Y > 0, X + Y £ 0) = 01P(Z= 1, Z2= 1) = P(X - Y > 0, X + Y > 0) = 14可得Z2Z101014121014（2）由（1）可计算 E(Z ) = 1 , E(Z) = 3 , D(Z ) =3 , D(Z ) =3 , E(Z Z) = 11214241162161 24DZ1DZ2所以可得 r =Cov(Z , Z )E(Z Z )- EZ × EZ1DZ1DZ2=1 212 =3(23)(本题满分 11 分)设某元件的使用寿命T 的分布函数为ìæ t öm( ) = ï1- e-ç q ÷, t ³ 0 ，其中q为参数且均大于零.F tíè ø, mï0, t < 0（1） 计算概率 PT > t与P(T > s + t T > s)；Ù（2） 任取n 个元件试验，其寿命分别为t1 , t2 ,., tn ，若m 已知，求q 得最大似然估计q .【解析】èøæ t öm（1） P(T > t ) = 1- P(T £ t ) = e-ç q ÷q-ç÷æ s+t öm()P(T > s + t )e èøP T > s + t T > s =P(T > s)=æ t öm-ç q ÷e è øì mtm-1æ t öm-ç q ÷（2）由题意可得概率密度函数为 f (t ) = F ' (t ) = ï e èø , t > 0ïí q mî0, t £ 0似然函数 (q ) =nm Õ tnm-1in æ t ömå i -ç ÷q>=iL i=1eq mni=1 èø , t0, i1,2,., nn( )()n æ t ömi取对数有ln L q= n ln m +m - 1 å ln ti - mn lnq - åç q ÷i=1i=1 èø求导并令导数等于零， d ln L(q ) = - mn + m åntm = 0n1 ntm ii=1mÙ解得q =.dqqq m+1ii=1