排列组合二项式定理的教学教案中学_-.pdf

1/8 排列、组合、二项式定理的教学教案 排列、组合、二项式定理的教案 一课标要求：1分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。二命题走向 本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。2/8 考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。三要点精讲 1排列、组合、二项式知识相互关系表 2两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。3排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系=n(n1)(nm+1)；（3）全排列列：=n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=；（3）组合数的性质 Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二项式定理 程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 3/8 （1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第 k+1 项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+x2；（5）证明不等式。四典例解析 题型 1：计数原理 例 1完成下列选择题与填空题 （1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。A81 B64 C24 D4 （2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）A81 B64 C24 D4 （3）有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 4/8 每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有。例 2（06 江苏卷）今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。题型 2：排列问题 例 3（1）（2008 四川理卷 13）展开式中 的系数为?_ _。【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；（2）2008 湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练 若 n 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为5，则 n 等于（）A4 B6 C8 D10 点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。例 4（1）用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有 个（用数字作答）；程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 5/8 （2）电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。题型三：组合问题 例 5荆州市 2008 届高中毕业班质量检测（）（1）将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部放入 3 个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入 2 个白球和 2 个黑球，则所有不同的放法种数为（C）A.3 B.6 C.12 D.18 （2）将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A 10 种 B 20 种 C 36 种 D 52种 点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合 例 6（1）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；（2）5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 6/8 （A）150 种(B)180种(C)200种(D)280种 点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；题型 4：排列、组合的综合问题 例 7平面上给定 10 个点，任意三点不共线，由这 10 个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原 10 点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原 10 点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。例 8已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。点评：本题是 1999 年全国高中数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有 0.37。错误原因没有对 c=0 与 c0 正确分类；没有考虑 c=0 中出现重复的直线。题型 5：二项式定理 例 9（1）（2008 湖北卷）在 的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 （2）的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 7/8 点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。例 10（2008 湖南文 13）记 的展开式中第 m项的系数为，若，则=_5_.题型 6：二项式定理的应用 例 11（1）求 46n+5n+1被 20 除后的余数；（2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17 除以 9，得余数是多少？（3）根据下列要求的精确度，求 1.025 的近似值。精确到 0.01；精确到 0.001。点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。五思维总结 解排列组合应用题的基本规律 1 分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：单独使用；联合使用。2将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了 8/8 3对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。4对解组合问题，应注意以下三点：（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。程中已知是方程的解则已知用含的代数式表示则则用含的代数式表示若是关于二元一次方程则方程组的解为若则乙组人数是甲组人数的一半且甲组人数比乙组多人设甲组原有人乙组原有人则可得方程组为请你写出二元一次方程的非去后得到的方程是方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是某校初三班名同学为希望工程捐款共捐款元捐款情况如下表捐款元人数表格中捐款元和元的人数不小心被墨水染已看不清楚若设捐款元的有名学习好资料欢迎下载同学捐女生人数的一半若设该班男生人数为女生人数为则下列方程组正确是三解答题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤解下列方程组每小题分共分四综合运用每小题分共分若是方程组的解试求的值已知方程组由于甲看错了