关于对称不等式的证明高考_-.pdf

学习好资料 欢迎下载 有关对称不等式的证明 四川省资阳中学 黄学文 关于对称不等式（任意互换两个字母，不等式不变）的证明，常见的方法除了有比较法，分析法，综合法，反证法外，还可以运用构造法，轮换法等方法证明，下面举列说明。一 构造法 1、构造函数 例 1 设 0 x1,0y1,0z1 求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1 证明：构造函数f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)，整理，得 f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz)因为 0 x1,0y1,0z1，所以-11-y-z1 (1)当 01-y-z1 时，f(x)在(0,1)上是增函数，于是 f(x)1-yz1；(2)当-11-y-z0 时，f(x)在(0,1)上 是 减 函 数，于 是 f(x)f(0)=y+z-yz=1-(1-y)(1-z)1(3)当 1-y-z=0，即 y+z=1 时，于是 f(x)=y+z-yz=1-yz1，所以原不等式成立。2、构造向量 例2 正实数a、b、c，满足a+b+c=1，求证:6313131222cba 证明：设 m=(,312a231b,231c),n=(32,32,32)则 m n=32(231a+231b+231c)2222313131cba=2)(33222cba23)(332cba=2 所以6313131222cba 当且仅当 a=b=c=3 时，等号成立。3 构造复数 例 3 设 0a1,0b0,得左边=2311123)22()22()22(222accacbbcbaabccbabbacaacb右边。所以原不等式得证。例 7 已知 a、bR，且 a+b=1 求证:(a+2)2+(b+2)2225 证明：设 a=21t,b=21t (tR)则(a+2)2+(b+2)2=(21+t+2)2+(21-t+2)2=(t+25)2+(t-25)2=2t2+225225 当且仅当t=0 时，等号成立。四 放缩法 例 8 a、b 是正实数，且 a+b=1 求证:231111ba 证明:231211111111babaabababba 所以原不等式得证。的证明常见的方法除了有比较法分析法综合法反证法外还可以运用构造法轮换法等方法证明下面举列说明一构造法构造函数例设求证证明构造函数整理得因为所以当时在上是增函数于是当时在上是减函数于是当即时于是所以原不等性质得左边所以原不等式成立二轮换法例求证证明因为所以学习好资料欢迎下载所以同理可得所以原不等式得证例已知求证证明设则所以同理可得三式相乘得从而得所以原不等式成立三换元法例求证其中均为正数证明设则因为得左式得证