教师版一高三理科数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语高考_-高考.pdf

第一章 集合与常用逻辑用语 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系(1)理解命题的概念；(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”本 章 重点：1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.本 章 难点：1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；2.充分条件、必要条件的判断；3.对含有一个量词的命题进行否定的1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；2.将 集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；3.考 查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；4.要 求考生理解全称量词与存在量词的意的含义.6.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义；(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.理解.义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络 1.1 集合及其运算 典例精析 题型一 集合中元素的性质【例 1】设集合 Aa1，a3，2a1，a21，若3A，求实数 a 的值.【解析】令 a13a4，检验合格；令 a33a0，此时 a1a21，舍去；令 2a13a1，检验合格；而 a21 3；故所求 a 的值为1 或4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定3 是集合 A的元素，但 A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出 a 的值以后，又需要由元素的互异性检验 a 是否符合要求.【变式训练 1】若 a、bR，集合1，ab，a0，ba，b，求 a 和 b 的值.【解析】由1，ab，a0，ba，b，得ababba,1,0 或1,0baabba 显然无解；由得 a1，b1.题型二 集合的基本运算【例 2】已知 Ax|x28x150，Bx|ax10，若 BA，求实数 a.【解析】由已知得 A3，5.当 a0 时，BA；当 a0时，B1a.要使 BA，则1a3 或1a5，即 a13或15.综上，a0 或13或15.【点拨】对方程 ax1，两边除以 x 的系数 a，能不能除，导致 B 是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练 2】(2010 江西)若集合 Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，则 A B 等于()A.x|1x1 B.x|x0 C.x|0 x1 D.【解析】选 C.A1,1，B0,)，所以 A B0,1.题型三 集合语言的运用【例 3】已知集合 A2，log2t，集合 Bx|x214x240，x，tR，且AB.(1)对于区间a，b，定义此区间的“长度”为 ba，若 A 的区间“长度”为3，试求 t 的值；(2)某个函数 f(x)的值域是 B，且 f(x)A的概率不小于 0.6，试确定 t 的取值范围.【解析】(1)因为 A 的区间“长度”为 3，所以 log2t23，即 log2t5，所以t32.(2)由 x214x240，得 2x12，所以 B2,12，所以 B 的区间“长度”为 10.设 A的区间“长度”为 y，因为 f(x)A的概率不小于 0.6，所以y100.6，所以 y6，即 log2t26，解得 t28256.又 AB，所以 log2t12，即 t2124 096，所以 t 的取值范围为256,4 096(或28,212).【变式训练 3】设全集 U 是实数集 R，Mx|x24，Nx|2x11，则图中阴影部分所表示的集合是()A.x|2x1 B.x|2x2 C.x|1x2 D.x|x2【解析】选 C.化简得 Mx2 或 x2，Nx|1x3，故图中阴影部分为RM Nx|1x2.总结提高 1.元素与集合及集合与集合之间的关系 对于符号，和，的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，地对含有一个量词的命题进行否定定知识网络第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求集合的含义与表示了解集合的含义元素与集合的属于关系能用自然语言图形语言集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题集合间的基本理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集能使用韦恩图表达集合的关系及运算命题及其关系理解命题的概念了解若则形式的命题及其逆命题否命结词或且非重难点击本章重点集合的含义与表示集合间的基本关系与基本运算命题的必要条件充分条件与充要条件对所给命题进行等价转化本章难点自然语言图形语言集合语言之间相互转换充分条件必要条件的断对含有一个量词的还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如AB，A BA，ABB 等条件中，集合 A 可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 典例精析 题型一 四种命题的写法及真假判断【例 1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若 m，n 都是奇数，则 mn 是奇数；(2)若 xy5，则 x3 且 y2.【解析】(1)逆命题：若 mn 是奇数，则 m，n 都是奇数，假命题；否命题：若 m，n 不都是奇数，则 mn 不是奇数，假命题；逆否命题：若 mn 不是奇数，则 m，n 不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若 x3 且 y2，则 xy5，真命题；否命题：若 xy5，则 x3或 y2，真命题；逆否命题：若 x3或 y2，则 xy5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练 1】已知命题“若 p，则 q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若p，则q B.若q，则p C.若 q，则 p D.若q，则 p【解析】选 B.题型二 充分必要条件探究【例 2】设 m0，且为常数，已知条件 p：|x2|m，条件 q：|x24|1，若p 是q 的必要非充分条件，求实数 m 的取值范围.【解析】设集合 Ax|x2|mx|2mx2m，Bx|x24|1x|3x 5或 5x 3.由题设有：qp 且p 不能推出q，所以 pq 且 q 不能推出 p，所以 AB.因为 m0，所以(2m，2m)(3，5)，故由 2m 5且 2m 30m 52，故实数 m 的取值范围为(0，52.【点拨】正确化简条件 p 和 q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，则A B的充要条件是()A.0a2 B.2a2 C.0a2 D.0a2【解析】选 A.因为 Ax|a2xa2，Bx|x2 或 x4，且 A B，所以如图，由画出的数轴可知，即 0a2.题型三 充分必要条件的证明【例 3】设数列an的各项都不为零，求证：对任意 nN*且 n2，都有1a1a21a2a31an1ann1a1an成立的充要条件是an为等差数列.【证明】(1)(充分性)若an为等差数列，设其公差为 d，则 1a1a21a2a31an1an1d(1a11a2)(1a21a3)(1an11an)1d(1a11an)ana1da1ann1a1an.地对含有一个量词的命题进行否定定知识网络第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求集合的含义与表示了解集合的含义元素与集合的属于关系能用自然语言图形语言集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题集合间的基本理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集能使用韦恩图表达集合的关系及运算命题及其关系理解命题的概念了解若则形式的命题及其逆命题否命结词或且非重难点击本章重点集合的含义与表示集合间的基本关系与基本运算命题的必要条件充分条件与充要条件对所给命题进行等价转化本章难点自然语言图形语言集合语言之间相互转换充分条件必要条件的断对含有一个量词的(2)(必要性)若1a1a21a2a31an1ann1a1an，则1a1a21a2a31an1an1anan1na1an1，两式相减得1anan1na1an1n1a1an a1nan(n1)an1.于是有 a1(n1)an1nan2，由得 nan2nan1nan20，所以 an1anan2an1(n2).又由1a1a21a2a32a1a3a3a2a2a1，所以 nN*,2an1an2an，故an为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.【变式训练 3】设 0 x2，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.若 xsin x1，因为 x(0，2)，所以 xsin xxsin2x，由此可得 xsin2x1，即必要性成立.若 xsin2x1，由于函数 f(x)xsin2x 在(0，2)上单调递增，且2sin2221，所以存在 x0(0，2)使得 x0sin2x01.又 x0sin x0 x0sin2x01，即 x0sin x01，所以存在 x0(0，x0)使得 x0sin2x0 1，且 x0sin x0 1，故充分性不成立.总结提高 1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p 是 q 的充分条件，即 pq，相当于分别满足条件 p 和 q 的两个集合 P 与 Q之间有包含关系：PQ，即 P Q 或 PQ，必要条件正好相反.而充要条件 pq就相当于 PQ.4.以下四种说法表达的意义是相同的：命题“若 p，则 q”为真；pq；p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词 典例精析 题型一 全称命题和特称命题的真假判断【例 1】判断下列命题的真假.(1)xR，都有 x2x112；(2)，使 cos()cos cos ；(3)x，yN，都有 xyN；(4)x0，y0Z，使得 2x0y03.【解析】(1)真命题，因为 x2x1(x12)2343412.(2)真命题，例如 4，2，符合题意.(3)假命题，例如 x1，y5，但 xy4 N.(4)真命题，例如 x00，y03，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练 1】已知命题 p：xR，使 tan x1，命题 q：xR，x20.则下面结论正确的是()A.命题“pq”是真命题 B.命题“pq”是假命题 C.命题“pq”是真命题 D.命题“pq”是假命题【解析】选 D.先判断命题 p 和 q 的真假，再逐个判断.容易知命题 p 是真命题，地对含有一个量词的命题进行否定定知识网络第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求集合的含义与表示了解集合的含义元素与集合的属于关系能用自然语言图形语言集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题集合间的基本理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集能使用韦恩图表达集合的关系及运算命题及其关系理解命题的概念了解若则形式的命题及其逆命题否命结词或且非重难点击本章重点集合的含义与表示集合间的基本关系与基本运算命题的必要条件充分条件与充要条件对所给命题进行等价转化本章难点自然语言图形语言集合语言之间相互转换充分条件必要条件的断对含有一个量词的如 x4，p 是假命题；因为当 x0 时，x20，所以命题 q 是假命题，q 是真命题.所以“pq”是假命题，A 错误；“pq”是真命题，B 错误；“pq”是假命题，C 错误；“pq”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定【例 2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：xR，x2x140；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数 x，使 x310.【解析】(1)p：xR，x2x140，是假命题.(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)r：xR，x22x20，是真命题.(4)s：xR，x310，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练 2】已知命题 p：x(1，)，log3x0，则p 为 .【解析】x0(1，)，log3x00.题型三 命题的真假运用【例 3】若 r(x)：sin xcos xm，s(x)：x2mx10，如果“对任意的 xR，r(x)为假命题”且“对任意的 xR，s(x)为真命题”，求实数 m 的取值范围.【解析】因为由 msin xcos x 2sin(x4)恒成立，得 m 2；而由 x2mx10 恒成立，得 m240，即2m2.依题意，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，所以有 m 2且2m2，故所求 m 的取值范围为 2m2.【点拨】先将满足命题 p、q 的 m 的取值集合 A、B 分别求出，然后由 r(x)为假命题(取 A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练 3】设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义域内存在 x0，使得 f(x01)f(x0)f(1)成立.已知下列函数：f(x)1x；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos x，其中属于集合 M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).【解析】.对于，方程1x11x1，显然无实数解；对于，由方程 2x12x2，解得 x1；对于，方程 lg(x1)22lg(x22)lg 3，显然也无实数解；对于，方程 cos(x1)cos xcos ，即 cos x12，显然存在 x 使等式成立.故填.总结提高 1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.地对含有一个量词的命题进行否定定知识网络第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求集合的含义与表示了解集合的含义元素与集合的属于关系能用自然语言图形语言集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题集合间的基本理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集能使用韦恩图表达集合的关系及运算命题及其关系理解命题的概念了解若则形式的命题及其逆命题否命结词或且非重难点击本章重点集合的含义与表示集合间的基本关系与基本运算命题的必要条件充分条件与充要条件对所给命题进行等价转化本章难点自然语言图形语言集合语言之间相互转换充分条件必要条件的断对含有一个量词的