线性递推数列的特征方程高考_-高中教育.pdf

精心整理 具有形如21nnnxaxbx的递推公式的数列nx叫做 线性递推数列 将式两边同时加上1nyx，即：整理得：令1nnnFxyx为等比数列，则其公比qay 且满足byya 即满足：2yayb 设式具有两个不相等的实数根r，s，则：1nnnYxrx 1nnnZxsx 分别是公比为ar，as的等比数列，并得：且由、可得：又由韦达定理可得：于是有：11212111212111212212122121()()()()()()nnnnnnnnnnnnnYZxrxarxsxasxsrsrxrxxxrxxsxsrsbrbCsxarassrsrxrxxsxsrsb sbrrrC s 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式只与数列的第一、二项和方程2yayb的两根有关。也就是说，只需知道1x，2x和精心整理 方程2yayb的两根r，s，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2yayb包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。例：（斐波拉契数列）已知数列nx满足：121xx且21 (1,)nnnxxxnnN.求数列nx的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21xx 解之得：152r，152s 故可设数列的通项公式为12151522nnnxCC 又1121515122xCC，222121515122xCC 解得：155C，255C .故所求通项公式为：51515522nnnx .即满足设式具有两个不相等的实数根则分别是公比为的等比数列并得且由可得又由韦达定理可得于是有由以上推导可知线性递推数列的通项公式只与数列的第一二项和方程的两根有关也就是说只需知道和精心整理方程的两根即可得拉契数列已知数列满足求数列的通项公式且解该数列属于线性递推数列其特征方程为解之得故可设数列的通项公式为又解得故所求通项公式为