高二数学 双曲线及其标准方程高考_-高中教育.pdf
精心整理 高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2|21与aPFPF2|12（|221FFa）表示双曲线的一支。|221FFa 表示两条射线；|221FFa 没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上 标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay 图形 顶点)0,(),0,(21aAaA ),0(),0(21aBaB 对称轴 x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2 焦点)0,(),0,(21cFcF ),0(),0(21cFcF 焦距)0(2|21ccFF222bac 离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线 xaby xbay 通径 22ba（3）双曲线的渐近线：求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的 1为 0，即得02222byax，因式分解得到0 xyab。专题 双曲线及其标准方程 目标 掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念 重难点 双曲线的定义和标准方程 常考点 求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程 x O F1 P B2 B1 F2 x O F1 F2 P y A2 A1 精心整理 与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（5）常用结论：双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，线段 AB的长度为AB,则2ABF的周长=设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是|PQ 第二部分例题解析 考点一：求双曲线的标准方程 例 1：讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。例 2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上。（2）6c，经过点（5，2），且焦点在x轴上。（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点 223，考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程 例 3：已知两点 051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹。两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 例 4：在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹。例 5：求下列动圆圆心M的轨迹方程：（1）与 2222yxC：内切，且过点02，A。（2）与 11221yxC：和 41222yxC：都外切。（3）与 93221yxC：外切，且与 13222yxC：内切。考点三、双曲线定义的运用 例 6、已知双曲线116922yx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且3221PFPF，求21PFF的大小。两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 例 7、已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上，且满足9021 PFF，求21PFF的面积。考点四、中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例题 8已知双曲线xy2221，过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的 中点 P的轨迹方程。第三部分巩固练习 一、选择题：1、设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFF F，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.340 xy B.350 xy C.430 xy D.540 xy 两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 2、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.312 D.512 3、设 O为坐标原点，1F，2F是双曲线2222xy1ab（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足1FP2F60，OP 7a，则该双曲线的渐近线方程为（）A.x3y0 B.3xy0 C.x 2y0 D.2xy0 4、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 5、已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是 y3x，它的一个焦点在抛物线224yx的准线上，则双曲线的方程为（）A.22136108xy B.221927xy C.22110836xy D.221279xy 6、已知1F、2F为双曲线 C：221xy的左、右焦点，点 P在 C上，1FP2F60，则21PFPF（）A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题：7、点00()A xy，在双曲线221432xy的右支上，若点 A到右焦点的距离等于02x，则0 x_ 8、已知双曲线22221xyab的离心率为 2，焦点与椭圆19y25x22的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。9、已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为。10、若双曲线2x422yb1（b0）的渐近线方程为 y1x2，则等于。两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 巩固练习参考答案：1、C解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出 a 与 b 之间的等量关系，由此可知答案选 C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。2、D解析：不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为：)0b,0a(1byax2222，则一个焦点为)0,c(F，B（0，b）。一条渐近线的斜率为：ab，直线 FB的斜率为：1)cb(ab,ab，acb2，0acac22，解得215ace。3、D解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。4、D解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除 D。5、B解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。依题意知27b,9abac6c3ab22222，所以双曲线的方程为127y9x22 6、B本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】由余弦定理得 cos|PF|PF|2|FF|PF|PF|PFF21221222121|PF|PF|2|FF|PF|PF|2|PF|PF|60cos2122121221|PF|PF|222|PF|PF|22212122124|PF|PF|21【解析 2】由焦点三角形面积公式得：23|PF|PF|2160sin|PF|PF|213260cot12cotbS212122PFF21 4|PF|PF|21 7、2 解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到 a2，c6，d3redr，2x)cax(3x20200 8、)0,4(0yx3 9、112y4x22 解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知3ab 因为抛物线的焦点为（4，0），所以 c4 又222bac 联立，解得12b,4a22，所以双曲线的方程为112y4x22 10、1 两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦 精心整理 解析：由题意知212b，解得 b1。两个定点的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹其中两个定点叫做双曲线的焦点焦点间的距离叫做焦距注意与表示双曲线的一支表示两条射线没有轨迹双曲线的标准方程图象及几何性质中心在原点焦点在轴上中心在原点焦点线求双曲线的渐近线可令其右边的为即得因式分解得到专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义焦点离心率渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程求弦中点的轨迹方程与双曲线共渐近线的双度为则的周长设双曲线左右两个焦点为过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点则的坐标分别是第二部分例题解析考点一求双曲线的标准方程例讨论表示何种圆锥曲线它们有何共同特征例根据下列条件求双曲线的标准方程过点且焦
