挑战中考数学压轴题 第六版中考_-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 20XX 年福州市中考第 21题 满分解答（1）QB82t，PD43t（2）如图 3，作ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形 过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC8 在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 图 3 在 RtAPE 中，23cos5AEAAPt，所以103t 当 PQ/AB 时，CQCPCBCA，即106386CQ解得329CQ 所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以 C 为原点建立直角坐标系 如图 4，当 t0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是 y2x6 如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t，t）经验证，点 M（62t，t）在直线 EF 上 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF2 5 图 4 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时，PQ 的中点为(2，2)设点 M 的运动路径的解析式为 yax2bxc，代入 E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc 解得 a0，b2，c6 所以点 M 的运动路径的解析式为 y2x6 例 2 20XX 年烟台市中考第 26题 满分解答 学习必备 欢迎下载（1）A(1,4)因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 ya(x1)24，代入点 C(3,0)，可得 a1 所以抛物线的解析式为 y(x1)24x22x3（2）因为 PE/BC，所以2APABPEBC因此1122PEAPt 所以点 E 的横坐标为112t 将112xt 代入抛物线的解析式，y(x1)242144t 所以点 G 的纵坐标为2144t于是得到2211(4)(4)44GEtttt 因此22111()(2)1244ACGAGECGESSSGE AFDFttt 所以当 t1 时，ACG 面积的最大值为 1（3）2013t 或208 5t 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FEQC，所以四边形 FECQ 是平行四边形再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形 EH CQ 也是平行四边形 再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EH CQ 是否为菱形 1(1,4)2Ett，1(1,4)2Ft，(3,)Qt，(3,0)C 如图 2，当 FQCQ 时，FQ2CQ2，因此2221(2)(4)2ttt 整理，得240800tt解得1208 5t，2208 5t（舍去）如图 3，当 EQCQ 时，EQ2CQ2，因此2221(2)(42)2ttt 整理，得213728000tt(1320)(40)0tt所以12013t，240t（舍去）图 2 图 3 例 3 20XX 年上海市中考第 24题 满分解答（1）当 x0 时，3334yx，所以点 A的坐标为(0，3)，OA3 如图 2，因为 MOMA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为32 将32y 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 代入32yx，得 x1所以点 M 的坐标为3(1,)2因此132AM （2）因为抛物线 yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1,)2，所以3,31.2cbc 解得52b ，3c 所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A作 AECD，垂足为 E 在 RtADE 中，设 AE4m，DE3m，那么 AD5m 因此点 C 的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m 或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（2，2）图 2 图 3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27(,)4 16 图 4 例 4 20XX 年江西省中考第 24题 满分解答（1）抛物线 c2的表达式为233yx 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载（2）抛物线 c1：233yx 与 x 轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为(1,0)Am、(1,0)Bm，AB2 抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为(1,0)Dm、(1,0)Em所以 AE(1m)(1m)2(1m)B、D 是线段 AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE6所以 2(1m)6解得m2 情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE3所以 2(1m)3解得12m 图 2 图 3 图 4 如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么 AEMN2OM而 OM2m23，所以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4）考点伸展 第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2，AB边上的高为3，所以ABM 是等边三角形 同理DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合 因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1 例 5 20XX 年河南省中考第 23题 满分解答(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(4,0)、C(2,0)两点，设 ya(x4)(x2)代入点 B(0,4)，求得12a 所以抛物线的解析式为211(4)(2)422yxxxx (2)如图 2，直线 AB 的解析式为 yx4过点 M 作 x 轴的垂线交 AB 于 D，那么2211(4)(4)222MDmmmmm 所以 2142MDAMDBSSSMD OAmm 2(2)4m 因此当2m 时，S 取得最大值，最大值为 4(3)如果以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么 PQ/OB，PQOB4 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 设点 Q 的坐标为(,)xx，点 P 的坐标为21(,4)2xxx 当点 P 在点 Q 上方时，21(4)()42xxx 解得22 5x 此时点 Q 的坐标为(22 5,22 5)（如图3），或(22 5,22 5)（如图 4）当点 Q 在点 P 上方时，21()(4)42xxx 解得4x 或0 x（与点 O 重合，舍去）此时点 Q 的坐标为(4,4)（如图 5）图 3 图 4 图 5 考点伸展 在本题情境下，以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图 6，Q(2,2)；如图 7，Q(2,2)；如图 8，Q(4,4)图 6 图 7 图 8 例 6 20XX 年山西省中考第 26题 满分解答(1)如图 2，作 BHx 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形，OHCB3 在 RtABH中，AH3，BA3 5，所以 BH6因此点 B 的坐标为(3,6)(2)因为 OE2EB，所以223EBxx，243EByy，E(2,4)设直线 DE 的解析式为 ykxb，代入 D(0,5)，E(2,4)，得5,24.bkb 解得12k ，么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 5b 所以直线 DE 的解析式为152yx (3)由152yx，知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0)，OF10，DF5 5 如图 3，当 DO 为菱形的对角线时，MN 与 DO 互相垂直平分，点 M 是 DF 的中点 此时点 M 的坐标为(5,52)，点 N 的坐标为(5,52)如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时，点 N 与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为(4,8)如图 5，当 DO、DM 为菱形的邻边时，NO5，延长 MN 交 x 轴于 P 由NPODOF，得NPPONODOOFDF，即55105 5NPPO解得5NP，2 5PO 此时点 N 的坐标为(2 5,5)图 3 图 4 考点伸展 如果第（3）题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形 图 5 图 6 例 7 20XX 年福州市中考第 21题 满分解答（1）BE、PE、BF 三条线段中任选两条（2）如图 2，在 RtCEH 中，C60，ECx，所以xEH23因为 PQFEBE4x，所以xxxxEHPQSEFPQ3223)4(232平行四边形（3）因为xxSEFPQ32232平行四边形322232）（x，所以当 x2 时，平行四边形 EFPQ 的面积最大 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 此时 E、F、P 分别为ABC 的三边 BC、AB、AC 的中点，且 C、Q 重合，四边形 EFPQ是边长为 2 的菱形（如图 3）图 2 图 3 过点 E 点作 EDFP 于 D，则 EDEH3 如图 4，当E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 2 个时，0r3；如图 5，当E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 4 个时，r3；如图 6，当E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 6 个时，3r2；如图 7，当E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 3 个时，r2 时；如图 8，当E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 0 个时，r2 时 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 本题中 E 是边 BC 上的动点，设 ECx，如果没有限定 0 x2，那么平行四边形 EFPQ的面积是如何随 x 的变化而变化的？事实上，当 x2 时，点 P 就不存在了，平行四边形 EFPQ 也就不存在了 因此平行四边形 EFPQ 的面积随 x 的增大而增大 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 例 8 20XX 年江西省中考第 24题 满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是 x1（2）直线 BC 的解析式为 yx3 把 x1 代入 yx3，得 y2所以点 E 的坐标为（1，2）把 x1 代入322xxy，得 y4所以点 D 的坐标为（1，4）因此 DE=2 因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为)3,(mm，点 F 的坐标为)32,0(2mm，因此mmmmmFP3)3()32(22 当四边形 PEDF 是平行四边形时，DE=FP于是得到232mm解得21m，12m（与点 E 重合，舍去）因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时 设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3因此 BMFPOMFPSSSSCPFBPFBCF2121 mmmm29233)3(2122 m 的变化范围是 0m3 图 2 图 3 考点伸展 在本题条件下，四边形 PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求 m 的值；如果不可能，请说明理由 如图 4，如果四边形 PEDF 是等腰梯形，那么 DG=EH，因此EPFDyyyy 于是2)3()32(42mmm 解得01m（与点 CE 重合，舍去），12m（与点 E 重合，舍去）因此四边形 PEDF 不可能成为等腰梯形 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 图 4 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 20XX 年上海市松江区中考模拟第 24题 思路点拨 1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了 2 抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是 D、P 两点间的垂直距离等于 7 3已知DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的垂直距离等于 7，那么点 P 向右平移到直线 x3 时，就停止平移 满分解答（1）直线 y3x3 与 x 轴的交点为 A(1，0)，与 y 轴的交点为 B(0,3)将 A(1，0)、B(0,3)分别代入 yax22xc，得20,3.acc 解得1,3.ac 所以抛物线的表达式为 yx22x3 对称轴为直线 x1，顶点为(1,4)（2）如图 2，点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(2,3)因为 CD/AB，设直线 CD 的解析式为 y3xb，代入点 C(2,3)，可得 b3 所以点 D 的坐标为（0，3）过点 P 作 PHy 轴，垂足为 H，那么PDHDPE 由73tan DPE，得3tan7PHPDHDH 而 DH7，所以 PH3 因此点 E 的坐标为（3，6）所以1()242BDEPSBDEPPH梯形 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 图 2 图 3 考点伸展 第（2）用几何法求点 D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以CDBABO 因此13BCOABDOB所以 BD3BC6，OD3因此 D（0，3）例 2 20XX 年衢州市中考第 24题 思路点拨 1如果四边形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的 3 小段，两侧的线段长线段 2AOB 与COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，可以通过割补得到，即OFG减去OEH 3求OEH 的面积时，如果构造底边 OH 上的高 EK，那么 RtEHK 的直角边的比为12 4设点 A 移动的水平距离为 m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用 m 表示 满分解答（1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入 yax2bxc，得2,0,421.abccabc 解得32a ，72b，0c 所以23722yxx （2）如图 2，过点 P、M 分别作梯形 ABPM 的高 PP、MM，如果梯形 ABPM 是等腰梯形，那么 AM BP，因此 yAy M yP yB 直线 OC 的解析式为12yx，设点 P 的坐标为1(,)2xx，那么237(,)22M xxx 解方程23712()222xxx，得123x，22x x2 的几何意义是 P 与 C 重合，此时梯形不存在所以2 1(,)3 3P 图 2 图 3（3）如图 3，AOB 与COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，作 EKOD 于 K 设点 A 移动的水平距离为 m，那么 OG1m，GB m 在 RtOFG 中，11(1)22FGOGm所以21(1)4OFGSm 在 RtA HG 中，A G2m，所以111(2)1222HGA Gmm 所以13(1)(1)22OHOGHGmmm 在 RtOEK 中，OK2 EK；在 RtEHK 中，EK2HK；所以 OK4HK 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 因此4432332OKOHmm 所以12EKOKm 所以211332224OEHSOH EKm mm 于是22213111(1)44224OFGOEHSSSmmmm 2113()228m 因为 0m1，所以当12m 时，S 取得最大值，最大值为38 考点伸展 第（3）题也可以这样来解：设点 A 的横坐标为 a 由直线 AC：yx3，可得 A(a,a3)由直线 OC：12yx，可得1(,)2F aa 由直线 OA：y2x 及 A(a,a3)，可得直线 O A：y2x3a3，33(,0)2aH 由直线 OC 和直线 O A 可求得交点 E(2a2，a1)由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得 例 3 20XX 年北京市海淀区中考模拟第 24题 答案（1）抛物线的解析式为 yx22x，直线的解析式为 y2x（2）如图 1，当 P 为 OA 的中点时，PQ的长度取得最大值为 4（3）如图 2，如果四边形 AOMN 是梯形，那么点 N 的坐标为(3，3)，梯形 AOMN 的面积为 9 图 1 图 2 例 4 20XX年义乌市中考第 24题 思路点拨 1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况 2第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是 PO 的中点 满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入 A（2，0）、C(0，12)两点，得么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 40,1612.akak 解得1,4.ak 所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点 P 的坐标为（4，4）（2）由2812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（6，0）假设在等腰梯形 OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为(x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x 或 x2 如图 3，当 x2 时，四边形 ODPB 是平行四边形 所以，当点 D 的坐标为(52，54)时，四边形 OPBD 为等腰梯形 图 3 图 4 图 5 （3）设PMN 与POB 的高分别为 PH、PG 在 RtPMH 中，2PMt，PHMHt所以24P Gt 在 RtPNH 中，PHt，1122NHPHt所以32MNt 如图 4，当 0t2 时，重叠部分的面积等于PMN 的面积 此时2133224St tt 如图 5，当 2t4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去P DC 的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt 此时222339(24)1212444Stttt 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以 P 为圆心，OB 长为半径画圆，与直线 y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 方法二，按照对边相等画圆以 B 为圆心，OP 长为半径画圆，与直线 y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 例 5 20XX年杭州市中考第 24题 思路点拨 1第（1）题求点 M 的坐标以后，RtOCM 的两条直角边的比为 12，这是本题的基本背景图 2第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到 t 关于 x 的函数关系 3探求自变量 x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况 4梯形的两底的长度之比为 12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为 QH 与么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 MO 的长度比 满分解答(1)因为 ABOC 4，A、B 关于 y 轴对称，所以点 A 的横坐标为 2将 x2 代入 y2114x，得 y2所以点 M 的坐标为（0，2）(2)如图 2，过点 Q 作 QH x 轴，设垂足为 H，则 HQy2114x，HPx t 因 为 CM/PQ，所 以 QPH MCO 因 此 tan QPH tan MCO，即12HQOMHPOC所以2111()42xxt 整理，得2122txx 如图 3，当 P 与 C 重合时，4t ，解方程21422xx ，得15x 如图 4，当 Q 与 B 或 A重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2 因此自变量 x 的取值范围是15x ，且 x 2 的所有实数 图 2 图 3 图 4 因为 sinQPHsinMCO，所以HQOMPQCM，即PQHQCMOM 当12PQHQCMOM时，112HQOM解方程21114x ，得0 x（如图 5）此时2t 当2PQHQCMOM时，24HQOM解方程21144x ，得2 3x 如图 6，当2 3x 时，82 3t ；如图 6，当2 3x 时，82 3t 图 5 图 6 图 7 考点伸展 本题情境下，以 Q 为圆心、QM 为半径的动圆与 x 轴有怎样的位置关系呢？设点 Q 的坐标为21,14xx，那么222222111144QMxxx 而点 Q 到 x 轴的距离为2114x 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离，圆 Q 与 x 轴相切 例 6 20XX年上海市奉贤区中考模拟第 24题 思路点拨 1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便 2过AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形 3用抛物线的解析式可以表示点 M 的坐标 满分解答(1)因为 BC/x 轴，点 D 在 BC 上，C(0,2)，所以点 D 的纵坐标为2把 y2 代入xy32，求得 x3所以点 D 的坐标为(3,2)(2)由于抛物线与 x 轴交于点 O、A(4,0)，设抛物线的解析式为 yax(x4)，代入 D(3,2)，得23a 所求的二次函数解析式为2228(4)333yx xxx (3)设点 M 的坐标为228,33xxx 如图 2，当 OM/DA 时，作 MNx 轴，DQx 轴，垂足分别为 N、Q由 tanMONtanDAQ，得228332xxx 因为 x0 时点 M 与 O 重合，因此28233x，解得 x7此时点 M 的坐标为（7，14）如图 3，当 AM/OD 时，由 tanMANtanDOQ，得22823343xxx 因为 x4 时点 M 与 A重合，因此2233x，解得 x1 此时点 M 的坐标为10(1,)3 如图 4，当 DM/OA 时，点 M 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，此时点 M 的坐标为（1，2）图 2 图 3 图 4 考点伸展 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 第（3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等 如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线 AD 的解析式，再求出直线 OM 的解析式，最后解由直线 OM 和抛物线的解析式组成的二元二次方程组 例 7 20XX 年广州市中考第 25题 思路点拨 1 根据ABC 的面积和 AB 边上的高确定 AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示 2数形结合，根据点 A、B、C 的坐标确定 OA、OB、OC 间的数量关系，得到AOCCOB，从而得到ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出 m 的取值范围 3根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点 D 有两个，但是求点 D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些 满分解答（1）因为 OC1，ABC 的面积为45，所以 AB25 设点 A的坐标为（a，0），那么点 B 的坐标为（a25，0）设抛物线的解析式为)25)(axaxy，代入点 C（0，1），得1)25(aa 解得21a或2a 因为二次函数的解析式qpxxy2中，0p，所以抛物线的对称轴在y轴右侧 因此点 A、B 的坐标分别为)0,21(，)0,2(所以抛物线的解析式为123)2)(21(2xxxxy（2）如图 2，因为1 OBOA，12OC，所以OBOCOCOA 因此AOCCOB 所以ABC 是以 AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为 AB 因此 m 的取值范围是45m45 图 2 图 3 图 4 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载（3）设点 D 的坐标为)2)(21(,(xxx 如图 3，过点 A作 BC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DEx 轴于 E 因为OBCDABtantan，所以21BOCOAEDE因此2121)2)(21(xxx解得25x此时点 D 的坐标为)23,25(过点 B 作 AC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DF x 轴于 F 因为CA ODB Ftantan，所以2AOCOBFDF 因此22)2)(21(xxx 解得25x 此时点 D 的坐标为)9,25(综上所述，当 D 的坐标为)23,25(或)9,25(时，以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形 考点伸展 第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图 3，先求得直线 BC 为121 xy，再根据 AD/BC 求得直线 AD 为4121 xy，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到点 D 的坐标 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 20XX 年河北省中考第 25题 如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45，CD/AB，CDA90 点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒 （1）求点 C 的坐标；（2）当BCP15时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心 P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P可以与直线 BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线 AB相切 答案 （1）点 C 的坐标为(0,3)（2）如图 2，当 P 在 B 的右侧，BCP15时，PCO30，43t ；如图 3，当 P 在 B 的左侧，BCP15时，CPO30，43 3t 么四边形是菱形过点作垂足为那么在中所以图在中所以即当时所以点的运动速度为解得以为原点建立直角坐标系如图当时的中点就是的中点如图当时的中点就是的中点直线的解析式是如图的中点的坐标可以表示为经验证点在直线上时的中点为设点的运动路径的解析式为代入和所以点的运动路径的解析式为解得例年烟台市中考第题得满分解答学习必备欢迎下载因为抛物线的顶点为设抛物线的解析式为代入点可得所以抛物线的解析式为因为所以因此所以点的横路是这样的因为所以四边形是平行四边形再构造点关于轴对称的点那么四边形也是平行四边形再根据列关于的方程检验四边形是否为菱形根据列关于的方程检验四边形是否为菱形如图当时因此整理得解得舍去如图当时因此整理得所学习必备 欢迎下载 图 2 图 3（3）如图 4，当P 与直线 BC 相切时，t1；如图 5，当P 与直线 DC 相切时，t4；如图 6，当P 与直线 AD 相切时，t