线性代数重要公式研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

【线性代数重要公式】1.行列式 1-行列式共有沪个元素，展开后有/项，可分解为2”行列式；2 代数余子式的性质：、如和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|州；3代数余子式和余子式的关系：M=（1叫 如叫 4.设”行列式:将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 S 则“十严；将。主副角线翻转后，所得行列式为八 5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式=副对角元素的乘积心）咛;、上、下三角行列式（小=4）：主对角元素的乘积;、和|仆副对角元素的乘积如严；拉普拉斯展开式：I:丼 帥咖、牡 2 朋 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于”阶行列式从恒有：AE-A=A+（-1）*SkAnk 9 其中S”为R阶主子式;7.证明|A|=O的方法：、|=十|；、反证法；将。顺时针或逆时针旋转 所得行列式为心贝IJ八叭 将。主对角线翻转后（转置）,所得行列式为小则0;、构造齐次方程组证明其有非零解;列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符、利用秩，证明 r（A）n；、证明0是其特征值；2、矩阵 1.A是”阶可逆矩阵：Q|A|HO（是非奇异矩阵）；o r（A）=n（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；o 齐次方程组 Ax=0 有非零解；o Pb w R$Ax=b 总有唯一解；o 人与等价；o A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0；O ATA是正定矩阵；斗的行（列）向量组是疋的一组基;A是疋中某两组基的过渡矩阵;2.对于阶矩阵 4:AA=A A=无条件恒成立;数和;5.关于分块矩阵的重要结论，其中均可逆:若丄;则：I、H=|A|A2|-|A|；竹 II、宀 .3.(犷)=(/T尸(C=(M 尸(小=()(AB)T=BrAr(AB)A 4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代 列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符 、ZA O O 申 fA O C of B AY O,q-B：*O/o A-fA_，O;（主对角分块）O B 囂；（副对角分块）于;（拉普拉斯）：r=u-（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个，X”矩阵心总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的话:）;/Mxl9 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、若皿）=心）0 A B；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变 换）、若贝呱可逆.且X=Al；、对矩阵（“）做初等行变化，当A变为E时，就变成巧 即：、求解线形方程组：对于个未知数个方程似=儿如果（A.b）.（E.x）|则A可逆，且x=A-b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等 行矩阵、右乘为初等列矩阵；列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符 、对调两行或两列，符号 E(iJ),且EQJ尸=E(iJ),例如:倍加某行或某列.符号E伙),且尸(心)9如:5.矩阵秩的基本性质：、0 )min(m,n)；、r(AT)=r(A)；、若贝lj/=r(B)；、若八。可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵 的秩)、如果A是加x“矩阵 是“xs矩阵丿且AB=O,则:(探)I“的列向量全部是齐次方程组忒“解(转置运算后的结论);II、r(A)+r(B)n、A=,左乘矩阵心人乘A的各行元素；右乘,石丿 各列元素;-1 1 、-1 1 k =r 1;Z k-1 1 k =1 1丿 1 z 伙工0);倍乘某行或某列，符号册伙)且酗叫)，例如:max(f(A(B)r(A.B)r(A)+r(B)-n；6.三种特殊矩阵的方曙：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量八行矩阵(向列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符量)的形式，再采用结合律;二项展开式=(ab)n+矿+(7川广+C：胪=Cambnm；IW-0 注：I、S+展开后有+1项;、伴随矩阵的特征值：里(AX=AX.A=AA=14%)；、A*=AA-S|&|=|矿 8.关于A矩阵秩的描述：中有阶子式不为0+i阶子式全部为0;(两句话)、r(A)n|A 中有”阶子式不为0；9.线性方程组：Ax=b9其中4为加 X”矩阵丿则：、与方程的个数相同，即方程组心=有加个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组祗为”元方程;10线性方程组 Ax=b 的求解：、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换)；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；们由”个未知数个方程的方程组构成”元线性方程：b的矩阵：利用二项展开式;II C 川=(幵一1)(一.W+1)n 加!(一 c：=c;：=i 川、组合的性质：W，c二=c：+c：i 士C：=2”y=灯；r-0 7.伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:心)=1 r(A)=n F(A)=7I-1；r(A)n-l、列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符OAx=b（向量方程.A为mx 矩阵加个方程.”个未知数）（线性表出）、有解的充要条件：r（A）=r（A,fi）n（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性 1/个维列向量所组成的向量组4:构成X加矩阵A=aq,%）；加个维行向量所组成的向量组:弗圧加构成心矩阵B=含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 OAx=0 有、无非零解；（齐次线 性方程组）、向量的线性表出。处 是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）3.矩阵心与陥行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组心。和&=o同解；（片“例14）r（ATA）=r（A）；（P例 15）维向量线性相关的几何意义：、Q线性相关。a=0；戸线性相关。心坐标成比例或共线（平行）；、阳线性相关oa.Q.y共面；线性相关与无关的两套定理：若端心,线性相关.贝.卑.，4也必线性相关；若咚线性无关，则咚.s必线性无关；（向量的个数加加减 减,二者为 Wi 12 仏 们、21“22 5 X2=b、am am2 amn/、仏(I、X,（全部按列分块，其中 9 );alxa2x2-aHxN=0 r(A)=r(A.fi)n 4.5.6.、+%七=5旺+知“2+的1=aiX a21X2 4-列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符对偶）若维向量组A的每个向量上添上个分量，构成维向量组:若A线性无关，贝也线性无关；反之若6线性相关，则A也线性 相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定;7.向量组A（个数为）能由向量组（个数为$）线性表示，且A线 性无关，则心（二版鬥淀理7）；向量组A能由向量组线性表示，则 r（A）r（B）；5 定理3）向量组A能由向量组线性表示 AX=B 有解；r（A）=r（A.B）（代5 定理2）向量组A能由向量组等价。心）=询+（“）5 定理2推论）&方阵A可逆。存在有限个初等矩阵也，,恥 使心也比；、矩阵行等价：A：B O PA=B（左乘 P可逆）Ax=O-Bx=0 同解 、矩阵列等价：A：BOAQ=B（右乘，。可逆）；、矩阵等价：旳2=B（P、。可逆）；9.对于矩阵仏与陥：、若A与訂亍等价，贝IJA与的行秩相等；、若A与訂亍等价，则 Ax=0 与 Bx=0 同解，且A与的任何对应的列 向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵人的行秩等于列秩；10.若九孔叫八则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，为系数矩阵；“的行向量组能由的行向量组线性表示为系数矩阵；（转 置）门.齐次方程组“。的解一定是皿=。的解,考试中可以直接作为定 理使用，而无需证明；、ABx=0 只有零解=决=0只有零解；、灰=0有非零解=ABx=0-定存在非零解；12设向量组爲“力丿2，可由向量组 AnfS:线性表示为：(质题 19结列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符论)上2,上,)=(“1，“2严、叫0(B=AK)其中K为且上线性无关，贝组线性无关。心；(与K的列 向量组具有相同线性相关性)(必要性：/r=r(B)=r(AK)r(K),r(K)r.r(K)=r；充分性：反证法)注：当一 时，人为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵如存在Qnxm9 AQ=Em r(A)=m s Q的列向量线性无关;(Q、对矩阵心，存在 Pz、PA=En O r(A)=n P 的行向量线性无关；140.逐.心线性相关 O存在组不全为0的数使得切+g+.+g=0成立；(定 义)Z og=。有非零解，即go有非零解；O,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设心的矩阵A的秩为 s 贝IJ”元齐次线性方程组心。的解集S的 秩为:r(S)=n-r；16.若为的一个解，皿,心为心“的一个基础解系，则 线性无关；(粘题33结论)5、相似矩阵和二次型 1.正交矩阵。心或”(定义)，性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即“=)二(ij=l,2,.)；、若A为正交矩阵，贝IJ宀屮也为正交阵，且|Ag；、若八正交阵，则仙也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2施密特正交化：(a,.a2,-.ar)g-册-册-民宀；3.对于普通方阵 不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵.不同特征值对应的特征向量正交；4、A与等价经过初等变换得到仍 列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符PAQ=B,P Q 可逆；Or(A)=r(B)j A B 同型；、A与合同OCUC=其中可逆；孤与加有相同的正、负惯性指数；、A与B相似 O宀P=B；5.相似一定合同、合同未必相似；若c为正交矩阵，则“一叭(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格)；6.A为对称阵.则A为二次型矩阵；7元二次型WAx为正定：。A的正惯性指数为”；OA与E合同 即存在可逆矩阵“使CTAC=E；OA的所有特征值均为正数；OA的各阶顺序主子式均大于0；=叫 0.|州 0;(必要条件)S.列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为州代数余子式和余子式的关系叫设行列式将上下翻转或左右翻转所得行列式为则十严如叫将顺时针或逆时针旋转所得行列式为心贝八叭将主对的乘积副对角行列式副对角元素的乘积心咛上下三角行列式小主对角元素的乘积和仆副对角元素的乘积如严拉普拉斯展开式丼帥咖牡朋范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积特征值对于阶行列式从恒有其中为阶主子式证明的方法十行列向量组线性无关齐次方程组有非零解总有唯一解人与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为是正定矩阵斗的行列向量组是疋的一组基是疋中某两组基的过渡矩阵犷尸尸对于阶矩阵无条件恒成立小矩阵是表格推导符