排列组合方法归纳大全中学_-.pdf

11 排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 22 四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题：1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2.某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法 练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 33 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 练习题：.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_ 2.5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种_ 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案 练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法_ 2.100 xyzw 求这个方程组的自然数解的组数_ 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种 练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 44 抽法有多少种 十二.平均分组问题除法策略 例 12.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法 练习题：1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法 名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排 2 名，则不同的安排方案种数为_ 十三.合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_ 2.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.本题还有如下分类标准：十四.构造模型策略 例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种 练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种（120）的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 55 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种 十七.化归策略 例 17.:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A走到 B的最短路径有多少种 BA 十八.数字排序问题查字典策略 例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同54321的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不v1.0 可编辑可修改 66 时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 1一位老师和 5 位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法()A450 B460 C480 D500 2排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 例 2 要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法(1)至少有 1 名女生入选；(2)至多有 2 名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选 组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 3某校开设A类选修课 3 门，B类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30 种 B35 种 C42 种 D 48 种 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 77 例 3 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 求解排列、组合综合题的一般思路 排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准 44 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法(2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法 1(2012辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33！B3(3！)3 C(3！)4 D9!2(2012新课标全国卷)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有()A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 3在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6 个程序，其中程序A只能出现在第的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不v1.0 可编辑可修改 88 一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A24 种 B 48 种 C96 种 D144 种 4.如图所示 22 方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 1、2、3、4 中任何一个，允许重复 若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A192 种 B128 种 C96 种 D 12 种 5两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A10 种 B15 种 C20 种 D30 种 6(2012山东高考)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484 712 名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()A123 B312 CA312 D121110 8异面直线a，b上分别有 4 个点和 5 个点，由这 9 个点可以确定的平面个数是()A20 B9 CC39 DC24C15C25C14 9将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252 种 B112 种 C20 种 D56 种 10从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种 11如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起 来，则不同的建桥方法有_种 12某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该公司不同的投资方案种数是_(用数字作答)13(2013武汉模拟)某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)14(2013宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社A B C D 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 99 团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为_(用数字作答)15已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有 4 件次品为止(1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少(2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少 16从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个 17.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在 1,2 号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不 1010 的事即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行确定分多少步及多少类确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素解决排列组合综合性问题往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆里问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法练习题某人射击枪命中枪枪命中恰好有枪连在一起的情的不同种数为三练习题某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例人排队其中甲乙丙人顺序一定共有多少不