高二导数教案高考_-高中教育.pdf

学习必备 欢迎下载 一、课前回顾 1、常见函数的导数公式表 2、导数的运算法则 导数运算法则 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g x 3 2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x 3、推论：()()cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）重要知识点讲解 知识点一：求常见基本初等函数的导数 例 1：求下列函数导数。（1）5xy （2）xy4 （3）xy （4）xy3log （5）y=sin(2+x)(6)y=sin3 （7）y=(1)f 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()(01)lnfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 学习必备 欢迎下载 变式：（1）21xy （2）xy21 （3）xy1 （4）y=cos(2 x)知识点二：求函数的和差积商的导数 例 2：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）323yxx （2）1111yxx；（3）sinlnyxxx；（4）4xxy；（5）1 ln1 lnxyx 变式：求下列函数的导数（1）2sinyxx的导数.（2）求2(23)(32)yxx的导数(两种方法)（3）y=xxsin2 知识点三：导数几何意义的应用 例 3：（1）求21()f xx过点(1,1)的切线方程 （2）求21()f xx过点(1,2)的切线方程 变式：曲线 y=3x在点 P 处切线斜率为 k,当 k=3 时,P 点的坐标为_ 于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载 变式：已知曲线3()f xx上的一点 P(0,0)的切线斜率是否存在?例4：若曲线22yx的一条切线l与直线084 yx垂直，则切线l的方程为（）A、420 xy B、490 xy C、034yx D、034 yx 变式：平行于直线 2x 6y+1=0，且与曲线 5323xxy相切的直线的方程是 变式：直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数 b 例 5：已知点 P 在函数 y=cosx上，（0 x2），在 P 处的切线斜率大于 0，求点 P 的横坐标的取值范围。变式：若直线yxb 为函数1yx图象的切线,求 b 的值和切点坐标.变式:已知直线1yx,点 P 为 y=2x上任意一点,求 P 在什么位置时到直线距离最短.知识点 4：利用导数判断函数的单调性 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 求解函数()yf x单调区间的步骤：于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 知识点五：函数的极值 1.极大值：一般地，设函数 f(x)在点0 x附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)f(0 x)，就说 f(0 x)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(0 x)，0 x是极大值点 2.极小值：一般地，设函数 f(x)在0 x附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)f(0 x).就说 f(0 x)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y极小值=f(0 x)，0 x是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：（）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4.判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf 在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值；如果)(xf 在0 x两侧满足“左负右正”，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值 5.求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x)(2)求方程 f(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值 如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载 知识点六：函数的最值 观察图中一个定义在闭区间 ba,上的函数)(xf的图象 图中)(1xf与3()f x是极小值，2()f x是极大值 函数)(xf在 ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()f x 1 结论：一般地，在闭区间 ba,上函数()yf x的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yf x在 ba,上必有最大值与最小值 说明：如果在某一区间上函数()yf x的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()yf x在这个区间上连续（可以不给学生讲）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数)(xf在闭区间 ba,上连续，是)(xf在闭区间 ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件（可以不给学生讲）2“最值”与“极值”的区别和联系 最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性 从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了 一般地，求函数)(xf在 ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(xf在(,)a b内的极值；将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在 ba,上的最值 x3x2x1baxOy于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载 二、典型例题分析：题型 1：函数单调区间的问题 例 1：判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）3()3f xxx；（2）()mf xxx（0m）变式（1）()sin(0,)f xxx x；（2）32()23241f xxxx 例 2：已知32()31f xaxxx 在 R 上是减函数，求a的取值范围 变式：若21()ln(2)-1+2f xxbx 在（，）上是减函数，则 b 的取值范围 变式：设321()252f xxxx，当 1,2x时，()f xm恒成立，则实数 m 的取值范围 题型 3：利用函数的单调性解决有关方程的根的个数问题 例 5：求方程322670 xx 在（0,2）内的根的个数 变式：求证方程1sin02xx只有一个实根 题型 4：原函数与导函数图像的互推关系 例 6 若函数()yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数()yf x在区间,a b上的图象可能是()变式：已知函数 )(xxfy 的图象如右图所示（其中)(xf是函数)(xf的 函数），下面四个图象中)(xf的图象大致是（）y a b a b a o x o x y b a o x y o x y b A B C D 于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载 题型 5 与函数极值的有关问题 例 7：已知 cxbxaxxf23)(（a0）在 x=1 时取得极值，且 1)1(f（1）试求常数 a、b、c 的值；（2）求函数的极大值与极小值 变式：设1x 与2x 是函数2()lnf xaxbxx的两个极值点（1）求a、b的值；（2）判断1x，2x 是函数()f x的极大值还是极小值，并说明理由 题型 6：求函数的最值问题 例 8 求函数 3,04431)(3在xxxf 上最大值与最小值.变式：求sin2,(,)2 2yxx x的最大值与最小值 变式：已知函数32()39f xxxxa ，（1）求函数()f x单调减区间（2）若函数在区间-2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 例 9 已知 a 为实数，)(4()(2axxxf，（1）求导数)(xf；（2）若 2,2)(,0)1(在求xff 上的最大值和最小值；（3）若 ),2)2,)(和在（xf 上都是增函数，求 a 的取值范围.变式：设函数323()(1)1,32af xxxaxa 其中为实数。（）已知函数()f x在1x 处取得极值，求a的值；（）已知不等式2()1fxxxa 对任意(0,)a 都成立，求实数x的取值范围。变式：设函数2()=1.xf xexax（1）当0a 时，（1）求 f x的单调区间（2）当0 x 时 0f x，求a的取值范围 于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增学习必备 欢迎下载 于常数乘函数的导数重要知识点讲解知识点一求常见基本初等函数的导数例求下列函数导数函数导数且学习必备欢迎下载变式知识点二求函数的和差积商的导数例根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则求下列函数的导数变式变式曲线在点处切线斜率为当时点的坐标为学习必备欢迎下载变式已知曲线上的一点的切线斜率是否存在例若曲线的一条切线与直线垂直则切线的方程为变式平行于直线且与曲线相切的直线的方程是变式直线是曲线的一条切线则实标变式已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线距离最短知识点利用导数判断函数的单调性在某个区间内如果那么函数那么函数在这个区间内单调递减说明特别的如果那么函数求解函数单调区间的步骤在这个区间内单调递增