高中立体几何证明方法及例题高考_-高中教育.pdf

1.空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。2.立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：线线 线面 面面 公理 4(a/b,b/c ac/)线面平行判定 /,/abab 面面平行判定 1 ababa/,/面面平行性质 ababAab,/,/线面平行性质 aabab/面面平行性质 1/aa 面面平行性质 /A b a a b 2.线线、线面、面面垂直关系的转化：线线 线面 面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPOaa OAa POa POa AO,为在 内射影则 线面垂直判定 1 面面垂直判定 a babOl a l bl,aa 线面垂直定义 lal a 面面垂直性质，推论 2 baa ba,aa 面面垂直定义 ll，且二面角成直二面角 3.平行与垂直关系的转化：线线 线面 面面 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 abab/abab/aa/aa a 4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角：090 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 （2）直线与平面所成的角：090 （时，或）0bb （3）二面角：二面角的平面角，0180 2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。【典型例题】（一）与角有关的问题 例 1.（1）如图，E、F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（）方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 A.60 B.45 C.30 D.120 解：取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则 EGPCFGAB，1212 EGF 为 AB 与 PC 所成的角 在EGF 中，由余弦定理，cosEGFEGFGEFEGFG 222222253725312 AB 与 PC 所成的角为 18012060 选 A （2）已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）ABCD.131336332626 解：设正四棱锥的高为，斜高为hhh2212 由题意：1241121612222 h h26 侧棱长PBhOB 222622262 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 cosPBOOBPB222621313 选 A （）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCDA B C DPA DQ A BEFCDEF11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：点 P 到平面 QEF 的距离为定值；直线 PQ 与平面 PEF所成的角为定值；二面角 PEFQ 的大小为定值；三棱锥 PQEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是_。解：平面即是平面QEFA B CD11 上定点 到面的距离为定值A DPA B CD1111 对，错 二面角 ，即面与面所成的角，且平面角为定PEFQPDFA B CDPDA111 值，对 因为，且为定值，为定值A BDCEFSQEF11 又 点到平面的距离为定值，为定值，对PQEFVP QEF 综上，正确。例 2.图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 解：（1）如图，作出 MN、PQ PQNC，又MNC 为正三角形 MNC 60 PQ 与 MN 成角为 60 （）213VVSMQMNPQQ PMNPMN 1621616正方体SMQSMQVPMNPMDN 即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1：6 （3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MOPQ 又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ 过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQ MEO 为二面角 MNQP 的平面角 在 RtNMQ 中，MENQMNMQ 设正方体的棱长为 a MEaaaaMOa236322，又 在中，Rt MEOMEOMOMEaasin226332 MEO60 即二面角 MNQP 的大小为 60。方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 例 3.如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。解：（1）作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OB、OA、OD，OB 与 AD 交于点 E，连结 PE ADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD 于是 OB 平分 AD，点 E为 AD 中点 PEAD PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB120，PEO60 又，PEPOPEo36033232sin 即为 P 点到面 ABCD 的距离。（2）由已知 ABCD 为菱形，及PAD 为边长为 2的正三角形 PAAB2，又易证 PBBC 故取 PB 中点 G，PC 中点 F 则 AGPB，GFBC 又 BCPB，GFPB AGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角 GFBCAD，AGFGAE 连结 GE，易证 AE平面 POB 又，为中点PEBEGPB 3 PEGPEBo1260 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 GEPEocos6031232 在中，Rt AGEAEAD121 tanGAEGEAE32 GAE arctan32 AGF arctan32 所以所求二面角的大小为 arctan32 （2）解法 2：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA PB（，），（，）003203 320 PBGAG的中点 的坐标为（，），连结03 3434 又（，），（，）AC132023 320 由此得到（，），（，），GAPB1343403 3232 BC（，）200 于是，GAPBBCPB00 ，GAPBBCPB 、的夹角 为所求二面角的平面角GABC 于是cos|GABCGABC2 77 所求二面角大小为 arccos2 77 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 （二）与距离有关的问题 例 4.（1）已知在ABC 中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点 P 到ABC 三个顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是（）A.13 B.11 C.9 D.7 解：设点 P 在ABC 所在平面上的射影为 O A B C O R PAPBPC，O 为ABC 的外心 ABC 中，AB9，AC15，BAC120 BCo 91529151202122cos 由，aARRsin2212327 3 PO 147 3722 （）在直三棱柱中，2221111ABCA B CABBCBBABC 90EFo，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到 两点的最短路径的AAC BEF111 长度为_。解：（采用展开图的方法）将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCCB BA ABBB BCC1111111 连接，则为所求的最短路径EFEF 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 如图，EFA EA F 12122213 22222 如图展开，EF ()212272 2222 如图展开，EF 321213 2222 比较这三种方式展开，可见沿表面从到 的最短路径长度为。EF322 点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140与西经 130，设地球半径为 R，则甲、乙两地的球面距离是（）ARBRCRDR.12143213 解：由题意 AO Boooo136014013090 （O1为小圆圆心）又由题意 O AO BR1122 则中，1ABABR 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 AOB 为正三角形（O 为球心）AOB 3 、两点球面距离为ABR3 选 D 例 5.如图，四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，E、F分别是 AB、PD 中点。（1）求证：AF平面 PEC；（）若，二面角 为，求点 到平面2AD2CDPCDBFPECo2 245 距离。解：G 为 PC 中点，连结 FG、EG 又F为 PD 中点 ，又FGCDAECD1212 FGAE 四边形 AEGF 为平行四边形 ，又面，面AFEGEGPECAFPEC AF平面 PEC （2）CDAD，又 PA面 ABCD AD 为 PD 在面 ABCD 上射影 CDPD PDA 为二面角 PCDB 的平面角，且PDA45 则PAD 为等腰直角三角形 AFPD，又 CD平面 PAD CDAF AF面 PCD 作 FHPC 于 H，则 AFFH 又 EGAF，EGFH FH面 PEC，FH 为 F到面 PEC 的距离 在 RtPEG 中，FHPGPFFG 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 FH 2222122 方法 2：（体积法）AF面 PEC，故只要求点 A 到面 PEC 的距离 d 由即VVSdSPAA PECP AECPECAEC1313 易证 AF面 PCD，EG面 PCD EGPC SPCEGPEC121222 2222 2222 SAEBCAEC 1212222 dSPASAECPEC222 21 （三）对命题条件的探索 例 6.（1）如图已知矩形 ABCD 中，AB3，BCa，若 PA平面 ABCD，在 BC 边上取点 E，使 PEDE，则满足条件 E点有两个时，a 的取值范围是（）A aB a.66 CaDa.0606 解：PA面 ABCD，PEDE 由三垂线定理的逆定理知 PE的射影 AEBE 所以满足条件的点 E是以 AD 为直径的圆与 BC 的交点，要有两个交点，则 AD2AB6 选 A （2）如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E、F、H、K 分别为 AC、CB、AB、BC的中点，G 为ABC 的重心，从 K、H、G、B中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF平行，则 P 为（）方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 A.K B.H C.G D.B 分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面 PEF中，EF为定直线，连 BC则 F为 BC中点 故中，平面，平面 AC BEFABABPEFA BPEF 考虑到若 P 为 K 点，则还有 AA、BB、CC都平行于 FK 即它们也都平行于平面 PEF，不合题意。同理 P 也不能为 H 点，若 P 为 B点时，EF与 BA共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面 PEF），可见只能取 G 点。故选 C 例 7.如图，是棱长为 的正方体11111ABCDA B C D （）线段上是否存在一点 使得平面若存在，确定 的位111A BPA BPACP?置；若不存在，说明理由。（）点 在线段上，若二面角 的大小是，求 点位221PA BCAPBParctan 置；（）点在对角线上，使平面，求。3111QB DA BQACB QQD 解：（1）（用反证法）假设面，则BAPACA BAC11 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消，易知与成A CACA BA Co1111160 即与成角，与矛盾A BACA BACo1160 不垂直于平面A BPAC1 不存在点 P 满足题目条件 （2）过 B 作 BHAP 于 H，连 CH 由于面，故CBABB ACHAP11 即BHC 是二面角 CAPB 的平面角 tanBHCBCBH2 即ABBH2 即在中，Rt BHABHAB12 BAH30 在中，又 ABPPBABABsinsin301051 PB 12624622 （）由于，面31111A BD CA BD AC 点 是直线与面的交点QB DD AC11 下面求 Q 点的位置。设，显然ACBDOQODQD B11 B QQDB DDO1112 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 （四）对命题结论的探索 例 8.（）正方体中，点 在侧面及其边界上运动，1111111ABCDA B C DPBCC B 并且总保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是（）AB C.线段1 BBC.线段1 C BBCC.11中点与中点连成的线段 D BCB C.中点与中点连成的线段1 分析：从条件 APBD1出发，可知 AP 必在过 A 点且与 BD1垂直的平面 B1AC 上 点 P 必在 B1C 上 选 A （2）如图，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在底面 ABC上的射影 H 必在（）A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.ABC 内部 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 解：连结 AC1 ACAB，又 ACBC1 AC面 ABC1 又面，面面且为交线ACABCABCABCAB1 则 C 在面 ABC 上的射影必在交线 AB 上 选 A 例 9.在四面体 ABCD 中，ABBC，ABBD，BCCD，且 ABBC1。（1）求证：平面 CBD平面 ABD；（2）是否存在这样的四面体，使二面角 CADB 的平面角为 30如果存在，求出CD 的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角 CADB 的平面角为。解：（1）ABBC，ABBD 平面，又面ABBCDABABD 面 ABD面 CBD （2）设 CDx，在面 CBD 内作 CEBD 于 E 由（1）知平面 ABD面 BCD，且 BD 为交线 CE平面 ABD 作 EFAD 于 F，连结 CF，则 CFAD CFE 为“二面角”CADB 的平面角，且CFE30 又在 RtBCD 中，CEBDCBCD CExxxx11122 又CDBC，又 BC 为 AC 在面 BCD 上射影 CDAC 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 则在 RtACD 中，CFADACCD CFxx222 在中，Rt CEFCFECECFxxxxxxsin222212222112 解出，无实数解。x23 故不存在这样的四面体，使二面角 CADB 的平面角为 30 又，sinCFExxx22222112111221 ，CFE 42 故可以取 4590之间的任意角。点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。【模拟试题】一.选择题。1.PA、PB、PC 是从 P 引出的三条射线，两两成 60，则 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是（）A.12 B.32 C.33 D.63 2.在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD1，则二面角 BACD 的余弦值为（）A.13 B.12 C.2 23 D.32 3.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是 2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（）A.11 B.41 C.7 D.61 4.已知 A、B、C 是球面上的三点，且 AB6，BC8，AC10，球 心 O 到平面 ABC 的距离为11，则球的表面积为（）A.36 B.72 C.144 D.288 5.ABC 边上的高线为 AD，BDaCDb，且ab，将ABC 沿 AD 折成大小为方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消的二面角 BADC，若cos ab，则三棱锥 ABCD 的侧面ABC 是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状与 a，b 的值有关的三角形 6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过 39，则该塔中正方体的个数至少是（）A.4 B.5 C.6 D.7 二.填空题。7.如图，在三棱锥 PABC 中，PAPBPCBC，且BAC 2，则 PA 与底面ABC 所成角的大小为_。8.如图，矩形 ABCD 中，ABBC43，沿 AC 把DAC 折起，当四面体的体积最大时，直线 AD 与平面 ABG 所成角的正弦值是_。方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 9.如图，正方体ABCDA B C D1111棱长为 1，M、N 分别为B CD C1111、中点，则点 C到截面 MNDB 的距离是_。三.解答题。10.如图，正三角形 ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行线，分别交 AB、AC 于BC11、，将 AB C11沿B C11折起到 A B C111的位置，使点A1在平面BB C C11上的射影恰是线段 BC 的中点 M，求：（1）二面角AB CM111的大小；（2）异面直线A B11与CC1所成角的大小。（用反三角函数表示）11.如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M是线段 EF的中点。（1）求证：AM平面 BDE；（2）求二面角 ADFB 的大小；（3）试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF与 BC 所成的角是 60。方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消【试题答案】一.选择题。1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.C 提示：假设有 n 个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为 2。（2）侧面则由 4n 个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为 4，公比为122的等比数列。表面积 444 44124124123921n 844 11211239n n的最小值为 6 二.填空题。7.3 提示：由题意，P 点在面 ABC 上的射影 H 是ABC 外心，BAC 2，H 为 BC中点）8.45 9.23 提示：VVC MDBM CDB，即13131ShSC CMBDBCD hSSBCDMBD 1121 1 112252242322 三.解答题。10.（1）连结 AM，A G1 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 ABC 为正三角形，M 为 BC 边中点 A、G、M 三点共线，AMBC ，于B CBCB CAMG1111 即A GB C111 A GM1是二面角AB CM111的平面角 点A1在平面BB C C11上的射影为 M ，A MMGA MGo1190 在Rt A GM1中，由AGGM 2得A GMo160 即二面角AB CM111的大小是 60 （2）过B1作B PC C11交 BC 于 P，则A B P11为异面直线A B11与CC1所成的角 由PB C C11是平行四边形得：B PC CBPPMBMBPA BAB111111122，面A MBB C C111于 M ，A MBCA MPo1190 在Rt A GM1中，A MA Go116033232sin 在Rt A MP1中，A PA MPM1212222321252 在 A B P11中，由余弦定理 方责任根据国务院物业管理条例物业承接查验办法湖北省物业服务和管理条例及省市相关政策规定甲乙双方对项目名称承接查验事宜达成如下协议第一条承接查验内容一基础资料移交甲方已依法向乙方移交如下资料竣工总平面图单竣工验收资料物业承接查验协议书及查验表格共用设施设备清单及其安装使用和维护保养等技术资料供水供电供气供热通信有线电视等准许使用文件物业质量保修文件和物业使用说明文件业主名册甲方尚未向乙方移交资料二现场查重墙体柱梁楼板屋顶以及外墙门厅楼梯间走廊楼道扶手护栏电梯井道架空层及设备间等共用设施包括道路绿地人造景观围墙大门信报箱宣传栏路灯排水沟渠污水井化粪垃圾容器污水处理设施机动车非机动车停车设施休闲娱乐设施消 cos A B PA BB PA PA BB P11112121211122215222158 异面直线A B11与CC1所成的角为arccos58 11.解：（1）记 AC 与 BD 交于点 O，连结 OE O、M 分别是 AC、EF的中点，ACEF 是矩形 四边形 AOEM 是平行四边形 AMOE，OE 平面 BDE，AM 平面 BED AM平面 BDE （2）ABAF，ABAD，ADAFA AB平面 ADF，作 ASDF 于 S，连 BS 由三垂线定理，得 BSDF BSA 是二面角 ADFB 的平面角 在 RtASB 中，ASAB632，tanASBASBo