第九章应力状态理论基础讲稿材料力学教案高等教育试题_高等教育-大学课件.pdf

学习好资料 欢迎下载 第九章 应力状态理论基础 同济大学航空航天与力学学院 顾志荣 一、教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。二、教学内容 1、应力状态的概念；2、平面应力状态分析-数解法 3、平面应力状态分析图解法 4、三向应力状态下的最大应力；5、广义胡克定律 体应变；6、复杂应力状态的比能；7、梁的主应力 主应力迹线的概念。三、重点难点 重点：学习好资料 欢迎下载 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。2、广义胡克定律及其应用。难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。4、广义胡克定律及其应用。四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时 6 学时 六、实施学时 七、讲课提纲 本章与前几章在研究对象上的不同之处。回顾：内力图：NF、nM、QF、M-一根（杆、轴、梁）强度计算一面（危险截面）一段、maxmaxmaxmaxMFMFQnN 本章：应力状态 一点。应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 (一)应力状态的概念 一、为什么要研究一点的应力状态？简单回顾：拉压：图 9-1 强度条件：nnAFbsN 扭转：图 9-2 强度条件：nnWMbsnnmax 弯曲：图 11-3 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 强度条件：nnbISFnnWMbszzxmaQxmabszxmamax 但，到目前为止尚不能对如第 4 点的应力情况进行校核，因此：1、为了对某些复杂受力构件中既存在又存在的点建立强度条件提供依据。2、为实验应力分析奠定基础 通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。应力状态、应变状态在实验应力分析等方面的广泛应用：实验方案的制订：验证理论计算结果：复杂受力结构、构件的应力测试等等。二、什么叫一点的应力状态？通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。三、怎样研究一点的应力状态？在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应力情况来研究一点的应力状态。1、单元体的概念：正六面微体：边长为无穷小量，dx、dy、dz，故：任意一对平行平面上的应力均相等；应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 各个面上的应力都均匀分布；任意、相互平行方向的应变均相同。2、怎样取单元体 取单元体的原则：尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）先定横截面上的、，然后按互等定律确定其他面上的剪应力。一对横截面 dx 取法 一对纵截面（平行上、下面）dy 一对纵截面（平行前、后面）dz 3、根据构件的受力情况，绘应力单元体 例：受拉伸或压缩构件上的应力单元体 受扭构件上的应力单元体 弯曲构件上的应力单元体，等等(二)平面应力状态分析数解法 一、斜截面上的应力 (a)应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 (b)图 9-4 已知：受力构件中的应力单元体 求：任一斜截面上的应力、设：解：截面法：截出任一斜截面如下：图 9-5 1、面上的应力 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 0nF0sincoscossinyyxx 静力平衡条件，不是应力平衡 0nF:0sin)sin(cossin)(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxx整理上式得，2sin2cos22xyxyx 同理，0tF，得 2cos2sin2xyx 上述二式：从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为；从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。图 9-6 2、面（+90）上的应力：若令=90+，则 )90(2sin)90(2cos2200900 xyxyx 2sin2cos22xyxyx)90(2cos)90(2sin200090 xyx 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 2cos2sin2xyx 3、面上应力之间的关系：将式+式，可以看到：yx常量即任意两个互相垂直面上的正应力之和是常数。从式、可以看到：即剪应力互等定律 将、表示在单元体上 图 9-7 二、maxmin=在何处？该处=？令0dd，022cos2sin22xyx 则：0)2cos2sin2(2xxy即0的面上有极值 0这个面在何处？由0这个式子可得正应力极值所在面的方位：为区别于任意截面的，令0式中的0，0也从 x 轴算起。方位：yxxtg220 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 任意（为方便）令：120tg，则可以发现：有两个根：（即正应力极植有两个面）：00452-005.22 002252-005.112 具有极植的这两个面相差 90。即：在两个互相垂直的斜面上，其正应力或为极大值或为极小值。大小：将求得的0代入式，得 22maxmin)2(2xyxyx 显然，在maxmin的面上0 三、maxmin=?在何处？该处=？令,0dd02sin22cos22xyx 即：0)2s i n2c o s2(2xyx 方位：xyxtg220 将0代入(2)式,得:大小:22maxmin)2(xyx maxmin面上的正应力:2sin2cos2200 xyxyx 四、主平面、主应力、主应力的排列 主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：1、2、3 用代数值确定，排列为123 五、应力状态的分类 一个单元体上最多只能出现三对主应力，最少可以均为 0。按主应力存在多少，应力状态分为：1、三向应力状态（三个主应力都不等于零）图 9-8 2、二向应力状态（两个主应力不等于零）图 9-9 3、单向应力状态（只有一个主应力都不等于零）应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 图 9-10 (三)平面应力状态分析图解法 一、应力圆（0 Mohr 圆）的由来 任意斜截面上的应力计算公式 2sin2cos22xyxyx 2cos2sin2xyx 从数学上来看，这两个方程是个参数方程，参变量为 2，即 )2(f 若消去2sin和2cos，则一定能找到)(f的曲线方程 0 Mohr 作了这个工作：首先将式改写，即将式子等号右边的第一项移到等号左边，然后对等式两边平方；再对式的两边平方；最后将两式相加，并利用12cos2sin22这一关系消去 sin2和cos2而得：2222)2()2(xyxyx 这就是所求的曲线方程（应力圆的方程）由解析几何的原理可知，方程 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载（x-a）2+y2=R2 (a)这是一个圆心在（a、0），半径为 R 的圆的曲线方程。即 图 9-11 对照(a)、两式：x_ y_ a_2yx R_22)2(xyx 图 9-12 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 从力学观点看：若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面上的应力。平面应力状态下任意斜截面上的应力相互制约在圆周上变化。从以上的数学方程、力学观点分析，通常将此圆称为应力圆。由于 0 Mohr首先运用数学原理将应力单元体任意斜截面上的应力用图来表示，因此又称0 Mohr 圆。2、应力圆的一般做法 图 9-13 取坐标系；按比例量取：xOB1；xxDB1 由此得 Dx点 yOB2；yyDB2 得 Dy点 连yxDD 交轴于C；应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 以 C 为圆心，xCD或yCD为半径作圆。即为所求的应力圆。从作圆的过程可以看到：应力圆上的点：Dx即代表单元体上X 面上的应力；Dy即代表单元体上Y 面上的应力；显然，单元体上任意斜截面上的应力就制约在应力圆的圆周上，所以可利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力。3、利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力 四句话：点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。例：求任意斜面上上的应力，见图9-13：E 点的坐标就是所求的、值，即OF,EF,最后，根据应力圆上 E 点的坐标，标出该斜截面上应力方向（见单元体的方向）。4、利用应力圆求单元体的主应力及方向 最大正应力：22111max)2(2xyxyxCAOCOA 最小正应力：22222min)2(2xyxyxCAOCOA 主方向：yxxyxxxCBDBtg222110（式中负号假设为+，现从 Dx A1为，为-）应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 5、利用应力圆求单元体的最大剪应力及方向 最大剪应力：xCDCG1max22)2(xyx 最小剪应力：2minCG22)2(xyx 方向：应力圆上 A1与 G1相差 900，即在主应力单元体上主平面与max所在面相差 450。需要注意的是：max面上还有0，其值：210yxG 分析讨论题：1、图示平面应力状态下的单元体及其应力圆，试在单元体上表示出相应于应力圆上的点 1、2、3、4、5、6、7、8 的截面位置及应力方向。应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 图 9-14 图 9-15 2、图示一处在二向应力状态下的单元体及其应力圆。试在应力圆上用点表示 0-1，0-2，0-3，0-4，0-5各截面的位置，并画出单元体斜面上的应力方向。应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 图 9-16 (四)三向应力状态 一、三向应力状态的概念 单向、双向应力状态是三向应力状态的特例。工程中三向应力状态的实例：例 1：地层一定深度处所取的单元体，竖向受岩土体的自重压力；侧向受四周岩土的侧向压力。图 9-17 例 2：火车道轨上取一单元体 例 3：压力容器内壁取一单元体 图 9-18 图 9-19 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 2、三向应力圆 求与某个主应力平行的任意斜截面上的应力、：求平行于3的任意斜截面上的应力、；显然、只与1、2有关 图 9-20 求平行于1的任意斜截面上的应力、；显然、只与2、3有关。应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 图 9-21 求平行于2的任意斜截面上的应力、；显然、只与1、3有关。图 9-22 求任意截面上的应力n、n；显然n、n与1、2、3都有关。图 9-23 3、一点处的最大应力：最大正应力与最小正应力 由1和3所作成的最大应力圆可见：应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 1max 3min 主剪应力与最大剪应力：由三向应力圆可知，在三向应力状态状态的单元体中，有三对主剪应力：2212,1 2323,2 2313,1 最大剪应力)(2131axm 例 1已知,261MPam,02MPa963，求?xma 解:MPa612)96(26231max 例 2已知某点的正应力状态的应力值为 26 Mpa、10 Mpa，求max？解：1、确定主应力1、2、3 MPa261，MPa102，03 2、MPa132026231max 例 3已知平面应力状态的应力值,180MPax，MPay900yx，求？max 解：1、确定主应力1、2、3 01z MPay902 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 MPax1803 2、MPa902)180(0231max (五)广义虎克定律 根据拉压虎克定律E和横向变形系数，即E，可将虎克定律推广：一、三向主应力单元体的广义虎克定律 1111，即)(13211E)(11322E 广义虎克定律)(12133E|棱边 1 伸长11E 棱边 2 缩短21E 棱边 3 缩短31E+棱边 1 缩短12E 棱边 2 伸长21E 棱边 3 缩短32E 棱边 1 缩短 13E 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 棱边 2 缩短 23E 棱边 3 伸长 32E 2、三向应力状态时的广义虎克定律 在式中，若三个主应力中有一个主应力为零，例如：03，则式子可写为二向应力状态虎克定律)(1211E)(1122E)(213E 已知主应力求主应变 利用式的前二式可将式改写成用主应变1、2表示1、1的形式：)(12121E )(11222E 已知主应变求主应力 3、三向一般应力状态单元体的广义虎克定律 可以证明：在小变形、各向同性的情况下，应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 于线弹性范围内：只与有关（伸长或缩短）只与有关（角度变化）故，可方便地按三向主应力单元体推导虎克定律的方法进行三向一般应力单元体的广义虎克定律的推导：)(1zyxxE)(1xzyyE(15，A)(1yxzzE Gyxxy Gyzyz(15，B)Gzxzx G剪切虎克定律 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 4、平面应力状态时的广义虎克定律 在(15，A)式中，若0z，0yzyz，0 xzxz，即平面应力状态的一般形式，则相应的广义虎克定律就为：)(1yxxE)(1xyyE)(yxzE Gxyxy 已知应力求应变 利用式中的前二式，可改写上式，即写成用应变表示应力的形式:)(12yxxE)(12xyyE xyxyG 已知应变求应力 5、弹性常数E、G、间的关系 在广义虎克定律中，已涉及到E、G、三个弹性常数。对于各向同性材料，这三个弹性常数间存在着如下关系：)1(2EG 讨论：应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 广义虎克定律的应用范围：小变形、材料各向同性，线弹性范围内。求应力的两条路：其一，从外力内力应力 其二，从应变应力内力外力 (六)平面应力状态下的应变分析 一、应变分析数解法 为使大家能对应力分析、应变分析进行比较，现将这两方面的结论摘录如下：1、任意斜截面上的正应力、剪应力：2sin2cos22xyxyx 2cos2sin2xyx 主应力及主方向：22yxmaxmin)2(2xyx yxxtg220 主剪应力：22yxmaxmin)2(x 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 2、任意方向的线应变、剪应变：2sin22cos22xyyxyx 2cos22sin22xyyx 主应变及主方向：22yxmaxmin)2()2(2xyyx yxxytg02(21)主剪应变：22yxmaxmin)(xy(22)根据平面应力状态分析图解法应力圆方程的分析可知：第组的曲线方程是个应力圆；与第组的方程对照可知，第组的曲线方程是个应变圆。二、应变分析图解法 比较第 1、2 组方程，可以发现：与 在数值上差21，因此，在画应变圆时，只须将纵坐标值减半，然后作应变图。即选取如下的坐标系（见图 28，a）已知x、y、xy(设)yx 试绘应变圆：1、量取XOB1，211XYDB yOB2，222XYDB 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 2、连 D1、D2两点，交轴于 C 点。3、以 CD1或 CD2为半径作应变圆。图 9-28 应变圆与应力圆的比较：A1、A2-1、2（=0）A1、A2-1、2（=0）主应力与主应变的方向一致 A1（1）与 A2（2）差 1800 A1（1）与 A2（2）差 1800 最大最小主应变、主应力间的夹角差 900 A1G 与 A1G 差 900 1max与1max差 450 max对应max 三、应变花由一点处三个方向的线应变求主应变 由公式可知，欲求一点处的主应变，只要测得x、y和xy，但目前测xy尚有困难。为此，应变量测中常贴成应变花，即在所研究的点处量测两正交方向的线应变x和y，并量测与 X 轴间夹角为 450的 U 方向的线应变u（见图 29）。u与xy之间的关系，可由式来求得：应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载)45(2sin2)45(2cos2200450yxyxyxu 22xyyx 图 9-29 即uyxyx2（23）这样，就可通过一点处三个方向的线应变来求得主应变。例题：已知610700 x，610500y，645103500,求主应变maxmin？解：uyxxy2=6661050010350261050010700 1、数解法：26266maxmin)210500(2101200210)500700(36166610550107501065010100 4167.0101200105002660tg 7322200811100（即逆时针转过)81110 2、图解法 比例：1 厘米=610200 图 9-30 应力状态的概念及其研究方法会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况会计算平面应力状态下斜截面上的应力掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力主方向的计算并会排列主应力的顺序掌握广义胡克定律了状态分析图解法三向应力状态下的最大应力广义胡克定律体应变复杂应力状态的比能梁的主应力主应力迹线的概念三重点难点重点学习好资料欢迎下载平面应力状态下斜截面上的应力计算主应力及主方向的计算最大剪应力的计算广力计算公式中关于正负符号的约定应力主平面主应力的概念主应力的大小方向的确定广义胡克定律及其应用四教学方式采用启发式教学通过提问引导学生思考让学生回答问题五计划学时学时六实施学时七讲课提纲本章与前几章在研学习好资料 欢迎下载 由图示得：6110750 6310550 36222081110 (七)三向应力状态下的变形能 一、体积应变 1、体积应变的定义：单元体在单位体积上的体积改变称为体积应变。2、体积应变的计算式：三向主应力单元体的体积应变：图 9-31 原来的体积：3210aaaV 受力后边长的改变：)1(a 变形后的体积：)1()1(