3不定积分与定积分部分概论高等教育微积分_高等教育-微积分.pdf
微积分基础单元辅导三 不定积分与定积分部分 学习重难点解析（一）关于原函数与不定积分概念 1.原函数与不肚积分是两个不同的概念，它们又是紧密相连的.对于泄义在某区间上 的函数/（X）,若存在函数F3）,使得该区间上的每一个点X处都有F（x）=/（x）成立，则称 F&）是/（%）的一个原函数：而F（x）+c（c为任意常数）称为/（X）的不定积分.2./&）如果有原函数，则有无穷多个；而且任意两个原函数之间仅相差一个常数.求./U）的不泄积分是求其全体原函数，而只要求出一个原函数F3,再加上任意常数c,就得 到了/&）的全体原函数.因此原函数与不定积分是个体与全体的关系.3.代0的不泄积分J/（x）cLv中隐含着积分常数，在计算的结果中一定要有积分常数c.如果被积函数/（是由几个函数的代数和构成时，计算中要利用积分的性质，将其分为 几个积分的代数和，但是不必每个积分都加积分常数，当积分号消失时是一立要加上积 分常数c.（-）关于不定积分的性质 1.求导数（或微分）与求不左积分互为逆运算，这是教材中的性质1.由这个性质可以 知道，对一个函数若先求导数（或微分）再求积分等于该函数加上任意常数C：若先求积分 再求导数（或微分）则两种运算相互抵消，结果等于被枳函数（或被积表达式）例如 2.教材3.1.2中的性质2和性质3是不泄积分的运算性质，将它们结合起来有 （三）不定积分的几何意义 函数f（x）的原函数F（x）的几何图形称为f（x）的积分曲线，f（x）的不泄积分 j/（x）dv=F（x）+c是/（X）的一簇积分曲线，这簇积分曲线在横坐标相同的点x处的斜 率是相同的.（四）关于不定积分的计算 1.积分基本公式是积分计算的最终依据，在积分计算时，必须将积分号中的被积表达 式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致，方可利用公式求出积分.2.第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法，它的基本思想是“变换积分变量，使新的积分对于新的积分变量好求原函数”，采用的手段是“凑微分”，将f/（x）cLv凑成J壬回x）0（x）d如果说被枳函数可以凑成 0（x）0（x）这样两个因 子的乘积（其中一个是仅x）的函数，另一个是0（X）的导数），方可使用第一换元积分法.注意这里的(p(x)一泄要含在原被积函数中.例如，积分对于j(2A-l),0dr,原被积函数为(2A-1)10,令u=(p(x)=2xf将(2x-l),0=-(2x-l)I0-2=-n,0-2 其中的因子 2 是u=(p(x)=2x-1 的导数，是为 2 2 了换元而凑出来的，而因子丄是为了与原积分的保持相等而乘上去的，于是有 2 j(2%-l)10cLv=-!-j(2x-l),02dv=-!-J(2x-l),(,d(2x-1)2 2 =2x-l 1 利用公式求出积分1 1=w d =-H+C 换元2 2 11=(2x-l)n+c 还廉22 其中要注意：(1)在微分中我们已经习惯了 dy=ydr,而在积分计算中常常是反过来使用，即 yfdx=dy 例如将 2dv=d(2x)=d(2x 1):(2)在积分计算中，不但要熟悉基本积分公式，还要熟悉基本微分公式，熟悉常见的 凑微分形式：f(ax+b)dx=f(ax+b)d(ax+h)(a H 0)xf(ax1+b)dx=f(ax2+b)d(ax2+b)(a H 0)2a/(cosx)sin xdx=-/(cosx)d(cosA)/(sinx)cosxcLv=/(sinx)d(sin x)n=/(lnx)d(lnx)x/(丄)1-dv=-/(-)d(-)X X X-dr=2 f lx/(Z)e&=g)d(7)tanAdr=/(tanx)d(tanx)COS*X/(-OtV)dx=-/(cotr)d(cotr)sill x(3)用第一换元法的目的是求出积分，因此，换元以后的积分 J/i 做)0(X)dA=J7(“)d“必须容易求出积分 一般地，换元后的函数/()是积分 基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式.3.分部积分法 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积分部积分法是通过将转化为闭“来计算积分，显然后者应该是容易求岀积分的.在进行运算时应该注意以下几点：(1)运用分部积分法求积分中关键的一步是确泄被积函数中的“和，一般说来，选 取“和应遵循如下原则：选作的函数必须容易计算出原函数:所选取的 和，必 须使得j*vdu较之J/dv容易计算.(2)连续两次(或两次以上)应用分部积分公式时，对和的再次选择应是与前一 次相同类型的函数(例如，第一次选取为三角函数，则第二次仍将选为三角函数).我们将常见的利用分部积分法求积分的函数类型以及在积分中“,di，的选择总结于下 表.表3-1 不定积分类型 w,dv的选择 I J Pn(x)sinxdx w=pn(x),du=sin xcU j pn(x)cosxdx u=pn(x),dv=cos xdx u=pn(x),dv=erdx II J pn(x)lnxcLv u=In x.dv=pn(x)dx (五)关于定积分 1.定积分的概念 泄积分J/(X)CLY是一个数值，这个数值为F(x)|=F(b)-F(a),这里F(x)是被积函 数_/(x)的任意一个原函数.即 f/(x)cLv=F0)-F(6/)=F(x)|这个数值与积分区间“如有关，与被积函数和积分变量上、下限有关，但与积分变量选取什 么字母无关.因此有-(f/(x)d)=O dx Ja 左积分不同于不左积分.不左积分是/U)的全体原函数，即无穷多个函数，而 立积分J/?/(x)cLr是一个确泄的数值.a 2.定积分的计算 由牛顿一一莱布尼茨公式知，泄积分在计算上是完全依赖于不泄积分的.在泄积分计算 中也有换元积分法和分部积分法，它们与不左积分中的换元积分法和分部积分法的区别在 于：(1)在使用左积分的换元积分法时，换元一泄要换限，枳分变量必须与自己的积分上、下限相对应.换元换限后，对新的积分变量求得的原函数，可直接代入新变戢的上、下限求 值，而不必两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积再还原到原来的变量在求值.(2)泄积分的分部积分法所处理的函数类型与，di，的选择与不左积分完全相同只是 在泄积分中每一项都必须带积分上、下限.(六)关于无穷限积分 无穷限积分的处理方法是将英转化为有限区间积分的极限，计算时先求有限区间积分(即定积分)得到一个新变量的函数(仍=了(人他 在令bn 由lun 0(/7)的存在与否，确JX/(x)cLv是否收敛.若收敛则积分值等 于极限值.典型例题 例1验证FM=-(+nx)2和GM=-n2x+In x是同一个函数的原函数.并说明 2 2 两个函数的关系.分析 依原函数的走义，若F(x)和G(x)的导数都是某个函数/G)的原函数.即有 F=Gx)=/(A),则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.所以，只需验证F(A)和 G(x)的导数是否为同一个函数即可.解因为 F(x)=(1+In x)丄=叮 X X 所以F(x)=1(1+In x)2和G(x)=丄In 2 x+In x是同一个函数巴上的两个原函数.2 2 A 且有 F(x)=(l+hi x)2=ln2x+hix+=G(x)4-2 2 2 2 说明两个原函数之间仅相差一个常数.两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积(1)d f,.-dr=dx 分析 例2已知某曲线戸/U)在点x处的切线斜率为亠，且曲线过点(4,3),试求曲线方程.2y/x 分析根据不走积分的几何意义，所求曲线方程为过点(43),斜率是/(%)=L的积 2jx 分曲线.且曲线过点(4,3),即3=p叼+s得出c=3 JJ=l 于是所求曲线方程为 y=yx+例3判断下列等式是否正确.(2)(1),(2)根据不定积分的性质逬行判断；(3)根据走积分的走义进行判断.解(1)依照不定积分的性质 d J f(x)dx=/(x)dv 所以 等式d f丄=亏山=亠山成立.J VI-X2 Vl-X2(2)依照不定积分的性质f/Wv=/(X)+C 所以 等式J(sinx)dr=-cosx+c不成立.正确的应为|(sin xd.x=sinx+c b(3)由走积分定义.j fMdx=F(b)-F()是一个确走的数值.因此，对函数先求解 y=fWdx=(1V=x+C 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积正确的结果应为2且dr cLvx=0.走积分再求导数等于对一个数值求导数，所以结果应该为零.即等式2 dx 例4计算下列积分:（1）J（石+亠）2 血(2)er(3x+-)dx sin x 分析对于（1）（2）利用基本积分公式 积分运算性质逬行积分，注意在计算时、对 被积函数要进行适当的变形；对于（3）,注意到被积函数带有绝对值符号.而在积分时.绝 对值符号是一定要打开的，且在积分区间0,2刃上有 sin x=利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为 j(Vx+1=)2 cLv=J(x+4-4)cLr=J xdx+J*dv+J-dx 冷宀2呻|一去+c.（2）将被积函数变形为 ex 1 J(3”+)=(3”+丄 sm x sin x 再利用积分公式和积分运算性质得 feT(3v+-)dx=f(3e)Adx+f J sin x J J sin x 詁错误,两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积_(3e)一 ln3+l-cotx+c =_ cos.v|；+cos.x =T _1 _ 1+1 _(_1)=4 说明：本例在求积分的方法直接积分法.这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积 分运算性质，或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目.在解题中 应该注意：1.熟悉基本积分公式；2.在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开:（2）中将J乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开），变形的目的是使被积函数为积分基 本公式中的函数或它们的线性组合.这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3.如果连续试探几次，进行不同的变形后仍无法达到目的，则应考虑其它积分方法求 解.例5计算下列积分:(2)J(1+旳2 分析注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微 分法（第一换元积分法），在计算中要明确被积函数中的中间变星=（P（x）,设法将对X求 积分转化为对=0（对求积分.对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点.即 换元变限：（1）将被积函数 厂V 看成亠,其中U=1-X29且du=-2xdr,于是,Vl-x2 (3)|sin A|CL =J sinxdx+j-sinxdx(4)两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积(2为各被积函解丿廿匸却廿。2 冷(H=l-X2)(2)(“=1+ex)4(13-3)4 X I 严一帀”这时对于变野可以利用公式求积分-看成其中=l+e,且d=edx,于是二(1 =竺(I+er)2 ir ir ir 这样对于变呈=1+J可以利用积分公式求积分.(3)将被积函数也工看成伫，其中=lnx,fid =-dx,于是伫山=“2血,X X X 这样对于变呈“=In A可以利用积分公式求积分.(4)积函数sin 分解成sin xsinx=(1-cos2 x)sinx=sinx-cos2 xsinx即 分成两个函数积分的和，第一个积分可以由NL公式直接得到，第二个积分中被积函数视为/sinx,具中=cosx,du=-sinACLV 二 _ y/U+C=J _ 牙-+C 1 1 _ +(?=_-+c u l+er(3)方法1换元换限.令”=lnx,贝!jdM=ch-.且当兀=1 时.u=0,x=c时.“=1,于是有 x.f1.1 3 dr=iron=-u x J。3 方法2只凑微分不换元.不换积分限.f c In2 X f e 7 -CLY=lrT.vd(lnx)I 1 1 1=-(1BA)3=-(lne)3-(lnl)3=-D D wZ 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积xsin ACLV=-zrdw=uy 2 1 对于积分 2 sin xdx=-COSAIT=1 Jo 10 对于积分JJcos2 xsinxdx用凑微分法，方法 1令=cosx,贝ijdz/=sinxdx.且当x=0时.“=1.x=u=0.于 方法2只凑微分不换元.不换积分限.说明：第一换元积分法是积分运算的重点，也是难点.一般地.第一换元积分法所处理 的函数是复合函数，故此法的实质是复合函数求导数的逆运算.在运算中始终要记住换元的 应用第一换元积分法时，首先要牢记积分基本公式，明了基本公式中的变量X换成X的 函数时公式仍然成立.同时还要熟悉微分学中的微分基本公式，复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式.具体解题时，“凑微分”要朝着J/()d容易求积分的方向进行.在左积分计算中，因为积分限是积分变量的变化范囤，当积分变量发生改变，相应的积 分限一左要随之变化，所以，在应用换元积分法解题时，如果积分变量不变(例如(3)(4)中的方法2).则积分限不变.而且在换元换限时，新积分变量的上限对应于旧积分变量的上 限，新积分变量的下限对应于旧积分变虽:的下限，当以新的变疑求得原函数时可直接代入新 变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值(例如(3)(4)中的方法2)由于积分方法是灵活多样的，技巧性较强，一些“凑”的方法是要靠一泄量的练习来积 累的(例如(4)因此，我们只有通过练习摸索规律，提高解题能力.两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积例6计算下列积分：(1)f(x+1)siii2vdv；(2)J(j xe2cLv:两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积(3)11|hujdx 分析注意到这些积分都不能用换元积分法.所以要考虑分部积分对于分部积分法适用 的函数及,的选择可以参照表3-1,具体步骤是：1.凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为vdx,即$cU=d_使积分变为卜“；iiv-vdw,计算出 d=ufdx 3.计算积分j vdu 在定积分的分部积分公式是=wv|-vd ,它与不走积分的区别在于每一项 都带有积分上、下限.注意公式中是一个常数在计算中应随时确走下来.在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号.这时需要根据绝对值的性质适当的利用走积 分对区间的可加性质.(x+l)cos2x+sin 2x+c 设u=x5vr=e则v=2e2,由定积分分部积分公式有 xe2d.v=2xe2(3)因为|lnx|=利用积分区间的可加性得到 解（1）设u=x+l,v*=sin2x,则=cos2x,由分部积分公式有 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积f lnidv=1-+1=d(lnx)=lim ln(ln x)=+s 第二个积分为 J IrLvdv=xhi x|,一 cLv=e-e+1=L 最后结果为 J|lnA-|d.v=-J*lnxdv+例7计算下列无穷限积分：r+00 I(1)I -7iX:J】(x+1)3 f+x a-+J o 3 bTP 3 r y 1(3)-dv=lim Jc xlnx Ze 说明此无穷积分发散.注意：正如34中提到的，上述无穷限积分的讣算过程也可以写成下而的形式(1)一=-l(x+l)_ Ji(x+lf 2(2)+Xe_3xdx=-le_3x =-Jo 3 0 3/+1 2 1,4，x 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积(3)f -dx=|d(lav)=lii(Inx)=+s.Je xln.v Jc lnx 2 两个不同的概念它们又是紧密相连的对于泄义在某区间上的函数若存在函数使得该区间上的每一个点处都有成立则称是的一个原函数而为任意常数称为的不定积分如果有原函数则有无穷多个而且任意两个原函数之间仅相差一个常数积分是个体与全体的关系代的不泄积分中隐含着积分常数在计算的结果中一定要有积分常数如果被积函数是由几个函数的代数和构成时计算中要利用积分的性质将其分为几个积分的代数和但是不必每个积分都加积分常数当积分号消质可以知道对一个函数若先求导数或微分再求积分等于该函数加上任意常数若先求积分再求导数或微分则两种运算相互抵消结果等于被枳函数或被积表达式例如教材中的性质和性质是不泄积分的运算性质将它们结合起来有三不定积
