安庆一中高一上学期末数学试卷及答案试题_-试题.pdf

2015-2016 学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 5分，共 60分）1函数 f（x）=lg是（）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为 2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为 2的偶函数 2已知，且与垂直，则实数的值为（）A B C D1 3 若、均为锐角，且 2sin=sin cos+cossin，则与的大小关系为（）A B C D不确定 4设 a=cos6 sin6，b=，c=，则有（）Aabc Babc Cbca Dacb 5已知函数 y=的定义域为 A，集合 B=x|x3|a，a0，若 AB中的最小元素为 2，则实数 a 的取值范围是（）A（0，4 B（0，4）C（1，4 D（1，4）6已知函数 f（x）=sin（x+）（0）的图象如图所示，则f（）=（）A B C D 7若 x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）A，B（0，C（1，D（，8 已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间0，+）上是增函数 令 a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）Abac Bcba Cbca Dabc 9 已知|=1，|=2，AOB=150，点 C在AOB的内部且AOC=30，设=m+n，则=（）A B2 C D1 10已知函数则关于 x 的方程 ff（x）+k=0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 1 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 3 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同实根；其中假命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 11已知函数 f（x）=的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（）A B C D 12函数的一个单调增区间是（）A B C D 二、填空题（每小题 5分，共 20分）13若，且 tanx=3tany，则 xy 的最大值为 14已知 O为ABC的外心，|=16，|=10，若，且 32x+25y=25，则|=15已知函数 f（x）对任意的 xR满足 f（x）=f（x），且当 x0 时，f（x）=x2ax+1，若 f（x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 16已知函数 y=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线 x=1 对称，则 sin2 三、解答题（本大题共 6小题，70分.）17已知函数 f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（1）求函数 f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心；（2）求函数 f（x）在区间，上的值域 18已知=（2sin（x+），），=（cos（x+），2cos2（x+），且 0，f（x）=，且 f（x）为偶函数（1）求；（2）求满足 f（x）=1，x，的 x 的集合 19在OAB的边 OA，OB上分别有一点 P，Q，已知 OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连接AQ，BP，设它们交于点 R，若=，=（1）用 与 表示；（2）若|=1，|=2，与 夹角为 60，过 R作 RH AB交 AB于点 H，用，表示 20已知函数（1）若函数 y=f（x）的图象关于直线x=a（a0）对称，求 a 的最小值；（2）若存在，使 mf（x0）2=0成立，求实数 m的取值范围 21已知=（cos，sin），且（I）求的最值；（II）是否存在 k 的值使？22定义在 D上的函数 f（x），如果满足：对任意xD，存在常数 M 0，都有|f（x）|M成立，则称 f（x）是 D上的有界函数，其中M称为函数 f（x）的上界 已知函数 f（x）=1+a+，（1）当 a=时，求函数 f（x）在（，0）上的值域，并判断函数 f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数 f（x）在0，+）上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围 庆一中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 y=|sinx|的周期为，所以函数 f（x）=lg是最小正周期为的偶函数，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，三角函数的周期性及求法，体现了转化的数学思想，属于基础题 2已知，且与垂直，则实数的值为（）A B C D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于 0 可求解的值【解答】解：因为，所以，又，且与垂直，所以=1218=0，所以 故选 C【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题 3 若、均为锐角，且 2sin=sin cos+cossin，则与的大小关系为（）A B C D不确定【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意和不等式的放缩法可知sin cos sin，cos sin sin，代入已知式子可得 sin sin，再由正弦函数的单调性质可得【解答】解：2sin=sin cos+cossin，又、是锐角，0cos 1，0cos 1，sin cos sin，cos sin sin，2sin=sin cos+cossin sin+sin，即 2sin sin+sin，sin sin，、为锐角，故选：A【点评】本题考查两角和与差的正弦，考查正弦函数的单调性质和不等式的放缩法，属中档题 4设 a=cos6 sin6，b=，c=，则有（）Aabc Babc Cbca Dacb【考点】三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】由三角函数恒等变换化简可得 a=sin24，b=sin26，c=sin25 根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小 【解答】解：a=cos6 sin6=sin30 cos6 cos30 sin6=sin24，b=sin26，c=sin25 024252690 sin26 sin25 sin24，即有：acb，故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查 5已知函数 y=的定义域为 A，集合 B=x|x3|a，a0，若 AB中的最小元素为 2，则实数 a 的取值范围是（）A（0，4 B（0，4）C（1，4 D（1，4）【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求出函数的定义域确定出A，表示出绝对值不等式的解集确定出B，根据 A与 B的交集中最小元素为2，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围【解答】解：由函数 y=，得到 x2x20，即（x2）（x+1）0，解得：x1 或 x2，即 A=（，1 2，+），由 B中不等式变形得：ax3a，即 3axa+3，即 B=（3a，a+3），AB中的最小元素为 2，13a2，即 1a4，则 a 的范围为（1，4 故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 6已知函数 f（x）=sin（x+）（0）的图象如图所示，则f（）=（）A B C D【考点】正弦函数的图象【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质【分析】由图象可知：T=，解得=且 f=1，取=即可得出 【解答】解：由图象可知：T=，解得=且 f=1，取=f（x）=，f（）=故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7若 x 为三角形中的最小内角，则函数 y=sinx+cosx的值域是（）A，B（0，C（1，D（，【考点】正弦函数的定义域和值域【专题】计算题【分析】由 x 为三角形中的最小内角，可得 0 x而 y=sinx+cosx=，结合已知所求的 x 的范围可求 y 的范围【解答】解：因为 x 为三角形中的最小内角，所以 0 x y=sinx+cosx=故选 C【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的部分图象的性质，属于基础试题 8 已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间0，+）上是增函数 令 a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）Abac Bcba Cbca Dabc【考点】偶函数；不等式比较大小【专题】压轴题【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较 a、b、c 的大小 【解答】解：，因为，又由函数在区间0，+）上是增函数，所以，所以 bac，故选 A【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小 （2）培养数形结合的思想方法 9 已知|=1，|=2，AOB=150，点 C在AOB的内部且AOC=30，设=m+n，则=（）A B2 C D1【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于 m，n 的等式，从而可以求出 【解答】解：如图，由的两边分别乘以得：；得：；故选：B【点评】考查向量夹角的概念，向量的数量积的运算及其计算公式 10已知函数则关于 x 的方程 ff（x）+k=0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 1 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 3 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同实根；其中假命题的个数是（）A0 B1 C2 D3【考点】根的存在性及根的个数判断；命题的真假判断与应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】计算题【分析】由题意求出函数 ff（x）的表达式，画出它的图象，利用单调性，判断方程零点的个数即可【解答】解：因为，所以 ff（x）=，关于 x 的方程 ff（x）+k=0，令 g（x）=，ff（x）的图象大致如图：x0 是减函数，x0 是增函数 方程 ff（x）+k=0，：存在实数 k，使得方程恰有 1 个不同实根；正确 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同实根；正确 存在实数 k，使得方程恰有 3 个不同实根；不正确 存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同实根；不正确 正确结果只有 故选 C 【点评】本题考查函数的零点与方程的根的问题，求出函数的表达式画出图象是解题的关键 11已知函数 f（x）=的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（）A B C D【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用 【分析】求出函数 f（x）=sin（）1，（x0）关于 y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论 【解答】解：若 x0，则x0，x0 时，f（x）=sin（）1，f（x）=sin（）1=sin（）1，则若 f（x）=sin（）1，（x0）关于 y 轴对称，则 f（x）=sin（）1=f（x），即 y=sin（）1，x0，设 g（x）=sin（）1，x0 作出函数 g（x）的图象，要使 y=sin（）1，x0 与 f（x）=logax，x0 的图象至少有 3 个交点，则 0a1 且满足 g（5）f（5），即2loga5，即 loga5，则 5，解得 0a，故选：A 【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y 对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 12函数的一个单调增区间是（）A B C D【考点】复合三角函数的单调性【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法【分析】化简函数为关于 cosx 的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos2xcosx 1，原函数看作 g（t）=t2t 1，t=cosx，对于 g（t）=t2t 1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx 减函数，且，原函数此时是单调增，故选 A【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，把最简单结果填在题后的横线上）13若，且 tanx=3tany，则 xy 的最大值为 【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】先用两角差的正切公式，求一下 tan（xy）的值，然后再由已知代换，利用均值不等式求得 tan（xy）的最大值，从而得到结果【解答】解：因为，xy（0，），且 tanx=3tany，所以 tan（xy）=tan，当且仅当 3tan2y=1 时取等号，xy 的最大值为：故答案为：【点评】本题是中档题，考查两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力 14已知 O为ABC的外心，|=16，|=10，若，且 32x+25y=25，则|=10 【考点】三角形五心；向量的模；平面向量的基本定理及其意义【专题】计算题；压轴题【分析】若，则，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于 x，y 的代数式，利用 32x+25y=25 整体求解【解答】解：如图 若，则，O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线=|（|cos DAO）=|AD=|=16 8=128 同样地，=|2=100 所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100|=10 故答案为：10【点评】本题考查三角形外心的性质，向量数量积的运算、向量模的求解本题中进行了合理的转化，并根据外心的性质化简求解 15已知函数 f（x）对任意的 xR满足 f（x）=f（x），且当 x0 时，f（x）=x2ax+1，若 f（x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由 f（x）=f（x），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当 x0 时函数 f（x）有 2 个零点，即可得到结论【解答】解：f（x）=f（x），函数 f（x）是偶函数，f（0）=10，根据偶函数的对称轴可得当 x0 时函数 f（x）有 2 个零点，即，解得 a2，即实数 a 的取值范围（2，+），故答案为：（2，+）【点评】本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键 16已知函数 y=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线 x=1 对称，则 sin2 【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可【解答】解：y=sin（x+）2cos（x+）=sin（x+），其中 sin=，cos=函数的图象关于直线 x=1 对称，+=+k，即=+k，则 sin2=sin2（+k）=sin（2+2k）=sin（2）=sin2=2sincos =2=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键 三、解答题（本大题共 6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数 f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（1）求函数 f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心；（2）求函数 f（x）在区间，上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【专题】计算题【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出 f（x）=sin（2x）将 2x看作整体（1）借助于正弦函数的对称轴方程及对称中心求解（2）先求出 2x的范围，再求出值域【解答】解：=cos2x+sin2x+sin（2x）=cos2x+sin2x cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x）最小正周期 T=，由 2x=k+，kZ得图象的对称轴方程 x=，kZ 由 2x=k，kZ得 x=，对称中心（，0），kZ（2）当 x时，2x，由正弦函数的性质得值域为 【点评】本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法 18已知=（2sin（x+），），=（cos（x+），2cos2（x+），且 0，f（x）=，且 f（x）为偶函数（1）求；（2）求满足 f（x）=1，x，的 x 的集合【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用平面向量的数量积化简 f（x），由 f（x）是偶函数，且 0求出的值；（2）由（1）得 f（x）的解析式，f（x）=1 时，求出 x，时，x 的取值即可 【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）=sin（2x+）+（cos（2x+）+1）=2sin（2x+），且 f（x）为偶函数，0；+=，解得=；（2）f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，当 f（x）=1 时，2cos2x=1，cos2x=；2x=+2k，kZ，x=+k，kZ；在 x，时，x 的取值是，；x，【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，是综合题 19在OAB的边 OA，OB上分别有一点 P，Q，已知 OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连接AQ，BP，设它们交于点 R，若=，=（1）用 与 表示；（2）若|=1，|=2，与 夹角为 60，过 R作 RH AB交 AB于点 H，用，表示 【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）由题意知=，=，从而由 A，R，Q三点共线可得=+=+m（）=（1m）+m，同理化简可得=+（1n），从而解得；（2）由 A，H，B三点共线可得=+（1），=（）+（），结合=0解得即可【解答】解：（1）=，=，由 A，R，Q三点共线，可设=m 故=+=+m=+m（）=+m（）=（1m）+m 同理，由 B，R，P三点共线，可设=n 故=+=+n（）=+（1n）由于 与 不共线，则有解得=+（2）由 A，H，B三点共线，可设=，则=+（1），=（）+（）又，=0 （）+（）（）=0 又=|cos 60=1，=，=+【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及线性运算的应用，20已知函数（1）若函数 y=f（x）的图象关于直线 x=a（a0）对称，求 a 的最小值；（2）若存在，使 mf（x0）2=0 成立，求实数 m的取值范围【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的定义域和值域【专题】计算题【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将 f（x）化成，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出 a 的最小值即可；（2）根据的范围求出 2x0+的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出 m的范围【解答】解：（1）因为=所以函数 f（x）的图象的对称轴由下式确定：从而由题可知当 k=0 时，a 有最小值；（2）当时，从而，则 f（x0）1，2 由 mf（x0）2=0 可知：m 1 或 m 2【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题 21已知=（cos，sin），且（I）求的最值；（II）是否存在 k 的值使？【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数【专题】平面向量及应用【分析】（I）由数量积的定义可得=cos，下面换元后由函数的最值可得；（II）假设存在 k 的值满足题设，即，然后由三角函数的值域解关于 k 的不等式组可得 k 的范围【解答】解：（I）由已知得：=2cos=cos 令 cos=t，（t）=1+0 t 为增函数，其最大值为，最小值为 的最大值为，最小值为 （II）假设存在 k 的值满足题设，即，cos2=，cos2 1 2k2+或 k=1 故存在 k 的值使【点评】本题为向量的综合应用，涉及向量的模长和导数法求最值，属中档题 22定义在 D上的函数 f（x），如果满足：对任意 xD，存在常数 M 0，都有|f（x）|M成立，则称 f（x）是 D上的有界函数，其中 M称为函数 f（x）的上界 已知函数 f（x）=1+a+，（1）当 a=时，求函数 f（x）在（，0）上的值域，并判断函数 f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数 f（x）在0，+）上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围【考点】函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】（1）把 a=代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，|f（x）|4 对 x0，+）恒成立 令，对 t（0，1 恒成立，设，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出 a 的值【解答】解：（1）当时，令，x0，t 1，；在（1，+）上单调递增，即 f（x）在（，1）的值域为，故不存在常数 M 0，使|f（x）|M成立，函数 f（x）在（，0）上不是有界函数；（2）由题意知，|f（x）|4 对 x0，+）恒成立 即：4f（x）4，令，x0，t（0，1 对 t（0，1 恒成立，设，由 t（0，1，由于 h（t）在 t（0，1 上递增，P（t）在 t（0，1 上递减，H（t）在 t（0，1 上的最大值为 h（1）=6，P（t）在1，+）上的最小值为 p（1）=2 实数 a 的取值范围为 6，2 【点评】本题考查了函数的值域问题，考查了新定义问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道综合题