立体几何证明题定理推论汇总中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

立体几何公理、定理推论汇总、公理及其推论 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：A-l,B-|,A_8.,B-3 一 lus 作用：用来验证直线在平面内；用来说明平面是无限延展的。公理2如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个 公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P-aRPn apP=1且PG 作用：用来证明两个平面是相交矢系；用来证明多点共线，多线共点。公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：A,B,C不共线二A,B,C确定一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：Aa=有且只有一个平面使A-a 作用：用来证明线线平行。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：acb=P=有且只有一个平面a,使aua 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：a/b=有且只有一个平面3,使au,bu a 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。a/bl 符号语言：c/bj MC 图形语言:bu a 这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行。平行矢系 公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）a/b 符号语言：W/bQ/c（1）图形语言:1线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行。（2）符号语言：big a/b a/a 图形语言:线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行。（3）a/a 符号语言：au P匕a/b a n P b 图形语言:2面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）(aU a,b 匚 a),ab=0 符号语言：a/P b/P!面面平行的判定 如杲两个平命垂直于同一条点线 a丄00 符号语言：P丄o6 p 图形语書:(6)图形语言:a/P 图形语言:那么这两个平血平行。这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直符号语言：a pp a/b Pgb 面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的直线平行于另一个平面。这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 a/M符号语 言0广 图形语言:这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 面面平行的性质2如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。符号语言：a丄P a L a 面面平行的性质3平行于同一个平面的两个平面平行。(9)a/P 1 符号语言：垂直尖系 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。(10)PA a 1 符号语言：POg=0=a I.PA au a H a.AO 垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 图形语言:图形语言:图形语言:这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 射影垂直.(11)PA丄a 符号语言：p o门GO f=a丄AO mu a且a丄PO 图形语言:A o 这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 1线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平 面。（12）符号语言:(mu J,n 匚 a),mPI n=B 线面垂直的判定如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于这个平面。a/b 符号语言：aMr bH 图形语言:图形语言:线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。a I=a/b ot I 图形语言:符号语言：bu 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平 图形语言:b(14)a U5)b 2面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。AB丄 符号语言:ABU Pa 图形语言:(16)面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(仃)符号语言:a丄P apl P=CD H AB CD J 图形语言:ABU a 且 AB|最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有 COS日=cos 90S日2（其中日，旺巧如图中所 示）图形语言:这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直 这个平面内符号语言一作用用来验证直线在平面内用来说明平面是无限延展的公理如果两个平面有个公共点那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共有且只有一个平面符号语言不共线二确定一个平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条相交直线有且只有一个平面符号语言有且只有一个平面使推论经过两条平行直线条直线的两条直线平行平行公理符号语言作用用来证明线线平行图形语言平行矢系公理平行于同一条直线的两条直线平行平行公理符号语言图形语言线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直