小学奥数整数裂项小学教育小学_小学教育-小学考试.pdf

学习必备 欢迎下载 小学奥数-整数裂项 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。后延减前伸 差数除以 N 例 1、计算 12233445989999100 分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列 1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1，因数个数为 2。1 2=（1 2 3-0 1 2）（1 3）2 3=（2 3 4-1 2 3）（1 3）3 4=（3 4 5-2 3 4）（1 3）4 5=（4 5 6-3 4 5）（1 3）98 99=（98 99 100-97 98 99）（1 3）99 100=（99 100 101-98 99 100）（1 3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99 100 101-0 1 2）3。解：12+23+34+45+9899+99100 =（99 100 101-0 1 2）3 =333300 例 2、计算 355779979999101 分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列 3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 2，因数个数为 2。3 5=（3 5 7-1 3 5）（2 3）5 7=（5 7 9-3 5 7）（2 3）学习必备 欢迎下载 7 9=（7 9 11-5 7 9）（2 3）97 99=（97 99 101-95 97 99）（2 3）99 101=（99 101 103-97 99 101）（2 3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：35+57+79+9799+99101 =（99 101 103-1 3 5）（2 3）=10298826 =171647 例 3、计算 123234345969798979899 分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列 1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1，因数个数为 3。1 2 3=（1 2 3 4-0 1 2 3）（1 4）2 3 4=（2 3 4 5-1 2 3 4）（1 4）3 4 5=（3 4 5 6-2 3 4 5）（1 4）96 97 98=（96 97 98 99-95 96 97 98）（1 4）97 98 99=（97 98 99 100-96 97 98 99）（1 4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97 98 99 100-0 1 2 3）（1 4）。解：123+234+345+969798+979899 =（97 98 99 100-0 1 2 3）（1 4）=23527350 例 4、计算 101622162228707682768288 分析：算式的特点为：数列公差为 6，因数个数为 3。解：101622+162228+707682+768288 果算式中每一项的排列都是有规律的那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法通常的做法是把算式中的每一项裂变成两项的差而且是每个裂变的后项或前项恰好与上个裂变的前项或后记的口诀后延减前伸差数除以例计算分析这个算式实际上可以看作是差数列先将所有的相邻两项分别相乘再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为将以上算式的号左边和右边分别累加左边即为所求的算式右边括号再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为学习必备欢迎下载将等号左右两边分别累加左边即为所求算式右边括号里面许多项可以相互抵消解例计算分析这个算式实际上可以看作是等差数列先将所有的相邻三项分别学习必备 欢迎下载 =（76 82 88 94-4 10 16 22）（6 4）=2147376 通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以 N。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例 5、计算 11+22+33+9999+100100 分析：n n=(n-1)n+n 解：11+22+33+9999+100100 =1+（1 2+2）+（2 3+3）+（98 99+99）+（99 100+100）=（12+23+9899+99100）+（1+2+3+99+100）=99 100 101 3+（1+100）100 2 =333300+5050 =338350 例 6、计算 12+34+56+9798+99100 分析：(n-1)n=(n-2)n+n 解：12+34+56+78+9798+99100 =2+（2 4+4）+（4 6+6）+（6 8+8）+（96 98+98）+（98 100+100）=（24+46+68+9698+98100）+（2+4+6+8+98+100）=98 100 102 6+（2+100）50 2 =169150 例 7、计算 111+222+333+999999+100100100 分析：n n n=(n-1)n(n+1)+n 果算式中每一项的排列都是有规律的那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法通常的做法是把算式中的每一项裂变成两项的差而且是每个裂变的后项或前项恰好与上个裂变的前项或后记的口诀后延减前伸差数除以例计算分析这个算式实际上可以看作是差数列先将所有的相邻两项分别相乘再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为将以上算式的号左边和右边分别累加左边即为所求的算式右边括号再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为学习必备欢迎下载将等号左右两边分别累加左边即为所求算式右边括号里面许多项可以相互抵消解例计算分析这个算式实际上可以看作是等差数列先将所有的相邻三项分别学习必备 欢迎下载 解：1 1 1+2 2 2+3 33+999999+100100100 =1+（1 2 3+2）+（2 3 4+3）+（98 99 100+99）+（99 100 101+100）=（123+234+9899100+99100101）+（1+2+3+99+100）=99 100 101 102 4+（1+100）100 2 =25492400 例 8、计算 13+24+35+46+98100+99101 解：13+24+35+46+98 100+99101 =（13+35+99101）+（24+46+98100）=（99 101 103-1 3 5）6+1 3+98 100 102 6=171650+166600=338250 例 9、计算 1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=122+232+342+1001012 =（12+23+34+100 101）2 =（100 101 102 3）2 =171700 将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。练习题：1、计算 14+47+710+9497+97100 2、计算 246+468+949698+9698100 3、计算 555+666+777+656565 4、计算 3+（3+6）+（3+6+9）+（3+6+9+12+300 果算式中每一项的排列都是有规律的那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法通常的做法是把算式中的每一项裂变成两项的差而且是每个裂变的后项或前项恰好与上个裂变的前项或后记的口诀后延减前伸差数除以例计算分析这个算式实际上可以看作是差数列先将所有的相邻两项分别相乘再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为将以上算式的号左边和右边分别累加左边即为所求的算式右边括号再求所有乘积的和算式的特点概括为数列公差为因数个数为学习必备欢迎下载将等号左右两边分别累加左边即为所求算式右边括号里面许多项可以相互抵消解例计算分析这个算式实际上可以看作是等差数列先将所有的相邻三项分别