电磁感应微元法中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

电磁感应微元法 作者:日期:的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。1什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑 用微元法解题。2.关于微元法。在时间t很短或位移 X很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以 V t X，lv t lx s。微元法体现了微分思 想。3.关于求和。许多小的梯形加起来为大的梯形，即 s S，（注意：前面的s 为小写，后面的S为大写），并且 V v v0，当末速度v 0时，有 V v0，或初 速度vo 0时，有 v v,这个求和的方法体现了积分思想。4.无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理，都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用 哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内 容移到了选修 3-5，如果不选修 3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。电磁感应中的微元法 一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割 BLv 磁感线运动，产生感应电动势为 E BLv，感应电流为I，受安培力为 R 1只受安培力的情况 例 1.如图所示，宽度为 L的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有 竖直向上、磁感应强度为 B的匀强磁场中。质量为 m、电阻为 r 的导体棒从高度为 h的斜轨 上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为 S而停下。（1）求导体棒刚滑到水平面时的速度 v0；（2）写出导体棒在水平导轨上滑行的速度 v与在水平导轨上滑行的距离 x的函数关 系，并画出v X关系草图。（3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为 S/4、S/2 时的速度v1、v2；F BIL B2L2 v，因为是变力问题，所以可以用微元法 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为 磁场的磁感应强度随竖直向下的 z 轴按B B0 kz得规律均匀增大，已知重力加速度为 g,求：（1）线框竖直方向速度为 时，线框中瞬时电流的大小；（2）线框在复合场中运动的最大电功率；（3）若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达 v2所经历的时间为t，那么，线框在时间t内 的总位移大小为多少？X X X X B X K V#X X M 0 S/4 例题图 S/2 解：（1）根据机械能守恒定律，有 mgh mv：，得 v0.2gh。（2）设导体棒在水平导轨上滑行的速度为 v时，受到的安培力为 BIL B2L2 安培力的方向与速度 用微元法，安培力是变力,v方向相反。设在一段很短的时间 t 内,速度变化很小，可以认为没有变化,所以安培力可以看做恒力,根据牛顿第二定律，加速度为 匹v，很短的时间 mR t内速度的变化为 at B2L2 v mR x，那么在时间t内速度的变化为 v vo 2 2 BL)(mR V v。B2L2 因为，所以 B 2|2 B-)x，速度 mR x mR 2既受安培力又受重力的情况 例2.2010 年南京市高考模拟题 如图所示，竖直平面内有一边长为 L、质量为 m、电阻为 R的正方形线框在竖直向下的匀强 重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度 v0水平抛出，磁场方向与线框平面垂直,的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为X X X X XXX X X X K X X X X X X 解：（1）因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为 B1)Lv1（2）当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大 在时间 t 内由于安培力的作用而增加的速度（因为增加量为负，所以实际是减小）为 从例题可以看出，所谓微元法是数学上的微积分理念在解物理题中的应用 3.重力和安培力不在一条直线上的情况 例 3.2008年高考江苏省物理卷第 15题 如图所示，间距为 L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为 导轨光滑且电阻 忽略不计.场强为 B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为 di,间距为 d2.两 根质量均为 m、有效电阻均为 R的导体棒 a和 b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度 为 g）mg(B2 Bi)IL 2 2(B2 Bi)L vm k2L4vm R 所以 mgR vm FT Pm mgVm 2R k2L4(3)线框受重力和安培力两个力，其中重力 mg为恒力，安培力 2 2 2 4(B2 Bi)L vz k L vz 为变力，我们把线框的运动分解为在重力作用下的运 R 动和在安培力作用下的运动。在重力作用下，在时间 t 内增加的速度为（v）1 gt，求 在安培力作用下在时间 t 内增加的速度为（v）2 用微元法，设在微小时间 t内，变力可以看做恒力，变加速运动可以看做匀加速运动,k2 L4v k2 L4 v 速度为a z，则在t内速度的增加为 v z mR mR t，而 vz t z，所以(v)2 心 mR z，所以（v）2 k2L4 z mR 再根据运动的合成，时间 t 内总的增加的速度为 k2L4(v)i(vb=gt z。mR 从宏观看速度的增加为 v2 V；,所以gt mR，得线框在时间 t内的总 位移大小为 mR(gt,v；v2)z 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为若 a进入第 2个磁场区域时，b以与 a同样的速度进入第 1个磁场区域，求 b穿过第 1 个磁场区域过程中增加的动能 Ek；若 a进入第 2个磁场区域时，b恰好离开第 1个磁场区域；此后 a离开第 2个磁场区域 时，b又恰好进入第 2个磁场区域.且 a.b在任意一个磁场区域或无磁场区域的 运动时间均相等.求 b穿过第 2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热 Q;对于第问所述的运动情况，求 a穿出第 k 个磁场区域时的速率 v.磁场区域 1 磁场区域 2 棒 2 磁场区域 3 磁场区域 4 磁场区域 5 d2 解：因为 a和 b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为 和 b均不受安培力作用，由机械能守恒得 Ek mgd1 sin 设导体棒刚进入无磁场区时的速度为 v1,刚离开无磁场区时的速度为 v2，即导体棒刚 进入磁场区时的速度为 V2,刚离开磁场区时的速度为 V1，由能量守恒得:解得：Q mg(d1 d2)sin 用微元法 设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为 在无磁场区域有：v2 v1 gtsi n 且平均速度：v V2 生 2 t 在有磁场区域，对 a棒:F mg sin BIl di 0，所以 a 在磁场区域有:在无磁场区域:1 2 mv1 2 1 2 mv2 2 Q 一 mv；2 1 2 mv1 2 mgd-i sin mgd2 sin 2R 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为 因为速度v是变量，用微元法 根据牛顿第二定律,在一段很短的时间 t内 F v t m v v1 v2,v t d1，t t a.b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以 a穿出任一个磁场区 域时的速率 v 就等于vi.所以 2 2 4mgRd2 B l di v sin B2l2di 8mR（注意：由于 a.b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以 a穿出任一 个磁场区域时的速率 v 都相等，所以所谓“第 K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）练习题 练习题 1.2007 年高考江苏省物理卷第 18题 如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应 d-tf J.d _ M d 强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形 1M M*N A|w X.4 1 1 1 磁场区域的间距均为 d-0.5m，现有一边长 l-0.2m、质 A 1 V 1；M M：；:*-X K A I I 1 i 1 4 1 七*1 X 1 M 1 l I:M I 1 1 1 1 M K i 1 i 1 b JE M 电 1 富 M b 1 i K M 1 I 1*1 Fl X V X I 1 K 1 +得：2 2 4mgRd2 B l d1 v1 2 2 sin。）B2l2d1 8mR vi 2 2 B l di 解得：F mgsin 2 2 B l v 2R 则有 v gsin B2l2v 2mR 因为导体棒刚进入磁场区时的速度为 V2,刚离开磁场区时的速度为 Vi,所以 所以：v1 v2 gtsin B2l2 di 2mR 联立式，得vi 4mgR sin B2l2di B2|2di 8mR（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程:代入得：t 2 2 B l dj 4mgRsi n v 8mgd2Rs in 代入得:的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为vo=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F。(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q。(3)线框能穿过的完整条形磁场区域的个数 n。(3)用“微元法”解 B 2|2v 受到安培力的大小 F=BIl，得F R t时间内，由牛顿定律：F t m 数为 4。练习题 2.2009 年高考江苏省物理卷第 15题 如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 L、足够长且 电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。长度为 2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成解：(1)线框MN边刚进入磁场时，感应电动势 E Blvo 1.4V，感应电流 I R14A，受到安培力的大小F=BI1 2.8N(2)水平方向速度为 0,Q Imvo 2 2.45J 线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻,感应电动势 E Blvo，感应电流I 求和，B212 B2l2 v,mR x V。解得 mv0R 2 2 1.75m,线框能穿过的完整条形磁场区域的个数 B2l2 1 75“百 4.375，取整(1)(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间 1；(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离 xm。的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为 mg sin【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,做功为 W 由动能定理mgsin 4d W BILd 0 作用在线框的安培力 解得 Q 4mgd sin BILd（1）设线框刚离开磁场下边界时的速度为 V!，则接着向下运动 1 2 由动能定理mgsin 2d BILd 0 mw 2 装置在磁场中运动的合力 2d F mg sin F 感应电动势 Bdv 感应电流I R 安培力F BId 由牛顿第二定律，在t到t t时间内，有 v F t m 贝V v=(g sin B2d 2v mR)t 2B2d3 mR.2m(BILd 2mgd sin)2B2d（第15题图 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为（2）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离 xm之间往复运动,由动能定理 mg sin xm BIL（xm d）0 BILd -o BILd mg sin 解：（本人研究的另外解法：用“牛顿第四定律”解）第（1问，同原解答 第（2）问：设线框刚离开磁场下边界时的速度为 Vi,则接着向下运动2d,速度变为 0,根据动能定理 2d BILd 0-mv，所以 Vi J2BILd 4gd sin 2 m 注意：导体棒在磁场中运动的位移是 d，而不是2d，且因为是恒流，所以安培力是恒 力。度V成正比的力，所以把线框在磁场中的运动分解为在重力的分力作用下的速度随时间均匀 变化的匀变速直线运动和在安培力作用下的速度随位移均匀变化的匀变速直线运动两种运 动，前者速度的变化与时间成正比，后者速度的变化与位移成正比，有 2,2 t1 2d v1 mR 注意：因为线框下边进磁场和上边出磁场，掠过的距离共 2d o 第（3）问，同原解答，不重复。I 1”型装置。总质量为 m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为 I 的电流(由外接恒流 源产生，图中未画出)。线框的边长为d(d L),电阻为 R,下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始 终与导轨垂直。重力加解得Xm mg sin 因为线框在磁场中的运动时受到的合力 F mg sin F安，而F安 B2d2 v是与速 gsin Vi 所以t1 2,3 2B d mR 2 2mBILd 4m gd sin 2B2d g sin mg sin 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为速度为 g。求：装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热 的一种方法什么情况下用微元法解题在变力作用下做变变速运动非匀变速运动时可考虑用微元法解题关于微元法在时间很短或位移很小时非匀变速运动可以看作匀变速运动运动图象中的梯形可以看作矩形所以微元法体现了微分思想求和的方法体现了积分思想量定理或动能定理无论物理规律用牛顿定律还是动都可以用微元法如果既可以用动量定理也可以用动能定理解对于使用老教科书的地区这两种解法用哪一种都行但对于使用课标准教科书的地区就不同了因分和积分的思想考查学生学习的潜能和独创能力电磁感应中的微元法一些以电磁感应为题材的题目可以用微元法解因为在电磁感应中如导体切割磁感线运动产生感应电动势为感应电流为因为是变力问题所以可以用微元法受安培力为