六年级奥数专题枚举法中学教育中考_中学教育-初中教育.pdf

六年级奥数专题：枚举法 我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。例 1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为 7，则小明胜；若点数和为 8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。分析与解：将两枚骰子的点数和分别为 7 与 8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用 ab 表示第一枚骰子的点数为 a，第二枚骰子的点数是 b 的情况。出现 7 的情况共有 6 种，它们是：16，25，34，43，52，61。出现 8 的情况共有 5 种，它们是：26，35，44，53，62。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现 7 的情况有 16，25，34 三种，出现 8 的情况有 26，35，44 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。例 2 数一数，右图中有多少个三角形。分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由 3 部分组成的再一类一类地列举出来。单个的三角形有 6 个：1，2，3，5，6，8。由两部分组成的三角形有 4 个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分组成的三角形有 1 个：（5，7，8）。由四部分组成的三角形有 2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形有 1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有 64121=14（个）。对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。例 3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？分析与解：上珠一个表示 5，下珠一个表示 1。分三类枚举：（1）两颗珠都是上珠时，可表示 5005，5050，5500 三个数；（2）两颗珠都是下珠时，可表示 1001，1010，1100，2000 四个数；（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示 5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。一共可以表示 3 47=14（个）四位数。由例 13 看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。例 4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开图？分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：最长一行有 4 个正方形的有 2 种，见图（1）（2）；最长一行有 3 个正方形的有 5 种，见图（3）（7）；最长一行有 2 个正方形的有 1 种，见图（8）。不同的展开图共有 2518（种）。例 5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。由上图可知，共有 6 种不同的安排。例 6 一次数学课堂练习有 3 道题，老师先写出一个，然后每隔 5 分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？分析与解：与例 5 类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。经常会遇到一些有趣的题目由于找不到计算它们的算式似乎无从下手但是如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来或能被分类列举出来那么问题就可以通过枚举法获得解决所谓枚举法就是根据题目要求将符合出若两枚骰子的点数和为则小明胜若点数和为则小红胜试判断他们两人谁获胜的可能性大分与解将两枚骰子的点数和分别为与的各种情况都列举出来就可得到问题的结论用表示第一枚骰子的点数为第二枚骰子的点数是的情况出现的情况有也是三种从而得两人获胜的可能性一样大那就错了例数一数右图中有多少个三角形分与解图中的三角形形状大小都不相同位置也很凌乱不好数清楚为了避免数数过程中的遗漏或重复我们将图形的各部分编上号见右图然后按照 由上图可知，共有 5 种不同的顺序。说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个 5分钟内做完了第 1 题，在第二个 5 分钟内没做完第 2 题，这时老师写出第 3 题，只好转做第3 题，做完后再转做第 2 题。例 7 是否存在自然数 n，使得 n2n2 能被 3 整除？分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以 3 的余数分类，有整除、余 1 和余 2 三类，这样只要按类一一枚举就可以了。当 n 能被 3 整除时，因为 n2，n 都能被 3 整除，所以 （n2n2）3 余 2；当 n 除以 3 余 1 时，因为 n2，n 除以 3 都余 1，所以 （n2n2）3 余 1；当 n 除以 3 余 2 时，因为 n23 余 1，n3 余 2，所以 （n2n2）3 余 2。因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数 n，（n2n2）都不能被 3整除。练习 1.将 6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？2.小明有 10 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？3.用五个 12 的小矩形纸片覆盖右图的 25 的大矩形，共有多少种不同盖法？4.15 个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？5.数数右图中共有多少个三角形？6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。问：各盘的胜负情况有多少种可能？7.经理有 4 封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第 3封信时第 4 封信还未到，此时如果第 2 封信还未打完，那么就应先打第 2 封信而不能打第 1封信。打字员打完这 4 封信的先后顺序有多少种可能？经常会遇到一些有趣的题目由于找不到计算它们的算式似乎无从下手但是如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来或能被分类列举出来那么问题就可以通过枚举法获得解决所谓枚举法就是根据题目要求将符合出若两枚骰子的点数和为则小明胜若点数和为则小红胜试判断他们两人谁获胜的可能性大分与解将两枚骰子的点数和分别为与的各种情况都列举出来就可得到问题的结论用表示第一枚骰子的点数为第二枚骰子的点数是的情况出现的情况有也是三种从而得两人获胜的可能性一样大那就错了例数一数右图中有多少个三角形分与解图中的三角形形状大小都不相同位置也很凌乱不好数清楚为了避免数数过程中的遗漏或重复我们将图形的各部分编上号见右图然后按照练习答案 1.10 种。解：6=1 5=2 4=3 3=1 1 4=1 2 3=2+2+2=1+1+1+3 1+1+2+2 1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9 种。解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有 3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共 1+5+3=9（种）。3.8 种。解：如下图所示，只有 1 个小矩形竖放的有 3 种，有 3 个小矩形竖放的有 4 种，5 个小矩形都竖放的有 1 种。共 341=8（种）。4.6 个。解：15 个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面 6 种：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有 6 个球。5.10 个。提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有 4，3，2，1 个，共有 432110（个）。6.6 种。提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：7.14 种。提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：经常会遇到一些有趣的题目由于找不到计算它们的算式似乎无从下手但是如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来或能被分类列举出来那么问题就可以通过枚举法获得解决所谓枚举法就是根据题目要求将符合出若两枚骰子的点数和为则小明胜若点数和为则小红胜试判断他们两人谁获胜的可能性大分与解将两枚骰子的点数和分别为与的各种情况都列举出来就可得到问题的结论用表示第一枚骰子的点数为第二枚骰子的点数是的情况出现的情况有也是三种从而得两人获胜的可能性一样大那就错了例数一数右图中有多少个三角形分与解图中的三角形形状大小都不相同位置也很凌乱不好数清楚为了避免数数过程中的遗漏或重复我们将图形的各部分编上号见右图然后按照 经常会遇到一些有趣的题目由于找不到计算它们的算式似乎无从下手但是如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来或能被分类列举出来那么问题就可以通过枚举法获得解决所谓枚举法就是根据题目要求将符合出若两枚骰子的点数和为则小明胜若点数和为则小红胜试判断他们两人谁获胜的可能性大分与解将两枚骰子的点数和分别为与的各种情况都列举出来就可得到问题的结论用表示第一枚骰子的点数为第二枚骰子的点数是的情况出现的情况有也是三种从而得两人获胜的可能性一样大那就错了例数一数右图中有多少个三角形分与解图中的三角形形状大小都不相同位置也很凌乱不好数清楚为了避免数数过程中的遗漏或重复我们将图形的各部分编上号见右图然后按照