研修任务高中数学教学设计作业中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

研修任务高中数学教学设计作业 1/13 教学设计 基本信息 名称 正弦定理 执教者 刘爱 课时 1 所属教材目录 必修5第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 教材分析 本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 5（人教 A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角知识之后，对三角知识的深入应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对解直角三角形内容的直接延伸。根据自己的实际教学，正弦定理这部分内容共分为三个步骤；第一步：教师通过引导学生对实际问题的探索，大胆提出猜想；第二步：由猜想入手，带着疑问，联系特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三步：利用正弦定理解决引例，并进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考与勇于求真的精神。学情分析 对于高中二年级的学生来说，已经学过平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，具备了一定的观察问题、研修任务高中数学教学设计作业 2/13 分析问题、解决问题的能力，但是把前后知识联系起来，加以理解并合理应用还有一定难度，而且思维灵活性受到制约。根据以上特点，自己（教师）恰当引导，提高学生的学习主动性，加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝应用成果的喜悦。教学目标 知识与能力目标 让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、实验、猜想、验证和证明；由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容与其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。过程与方法目标 通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题以与解决问题的能力；增强学生协作能力和交流能力；发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。情感态度与价值观目标 通过学生间的自主探索与合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于观察、不畏艰辛的创新理念，增强学习的成功意识，激发对学习数学的兴趣。余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 3/13 培养学生探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量等知识间的联系,来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重难点 重点 正弦定理的发现与证明、正弦定理的简单应用 难点 正弦定理的猜想提出过程 教学策略与 设计说明 教学策略：授课时采用探究式课堂教学模式：即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和师生合作交流为前提，以问题为导向来设计教学情境；以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、提出质疑、进行探究、加强讨论问题的机会，让学生通过个人或集体来尝试多种解难释疑的活动；在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力 设计说明：首先学生在不知正弦定理的内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法，发现并证明定理。让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。教学过程 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 4/13 A B C 教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动 学生活动 设计 意图 一、结合实例，激发动机:1 教师：展示情景图如图 1，船从港口 B 航行到港口 C，测得BC的距离为600m，船在港口 C卸货后继续向港口 A 航行，由于船员的疏忽没有测得 CA 距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？2教师：若已知测得75BAC，图 1 45ACB，要计算 A、B 两地 1 学生：思考提出测量角A，C 2学生：思考交流，画一个三角形AB C，使得B C为6cm，75B AC ，45AC B ，量得AB距 离 约 为4.9cm，利用三角形相似性质可知 AB约为 490m。一、设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 5/13 距离，你 有办法解决吗？3 老师：对，很好，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？4 教师：引导，ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算 AB呢？3 师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边与两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边与第三个角。4学生：思考，交流，得出过A作ADBC于D如图 2，把ABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。解：过A作ADBC于D,在Rt ACD中，sinADACBAC 2sin600300 22ADACACBm45ACB，中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 6/13 5教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若ACb，ABc，能否用B、b、C表示c呢？并引导学生再观察刚才解题过程。6教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？7教师：引导 sinsincaCAsinsinbCcB，sinsinaCcA，sinsinbAaB，75BAC 18060ABCACBACB 在Rt ABD中，sinADABCAB 300 2200 6sin32ADABmABC A 图 2 5学生：发 现sinADCb，sinADBc sinsinADbCcB sinsinbCcB 6学生：发现即然有sinsinbCcB，那么也有sinsinaCcA，sinsinbAaB。性的结论猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。B C D 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 7/13 我们习惯写成对称形式:sinsincbCB，sinsinabAB 因此我们可以发现：sinsinabABsincC 是否任意三角形都有这种边角关系呢？二、数学实验，验证猜想 1教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验：sinsinabABsincC是否成立，举出特例。（1）在ABC中，A，B，C 分别为60，60，60，对应的边长 a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值分别为23，23，23，引导学生考察Aasin，Bbsin，Ccsin的关系。（学生回答它们相等）（2）、在ABC中，A，B，C分别为45，45，90，1学生：思考交流得出，如 图 4，在RtABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,则sinsinsinabccABC 从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC 图 4 B a A C c b 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 8/13 对应的边长 a：b：c 为 1：1：2，对应角的正弦值分别为22，22，1；（学生回答它们相等）（3）、在ABC中，A，B，C分别为30，60，90，对应的边长 a：b：c 为 1：3：2，对应角的正弦值分别为21，23，1。（学生回答它们相等）（图 3）603090454590606060bccaabCBCABABCA 图 3 教师问对于Rt ABC呢？2教师：那么任意三角形是否有sinsinsinabcABC呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地 2学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数 据 计 算，比 较sinaA、sinbB、sincC的近似值。二、设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 9/13 方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算）3教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，sinaA、sinbB、sincC值仍然保持相等。我们猜想：Aasin=Bbsin=Ccsin 三、证明猜想，得出定理 1教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方 法 证 明sinsinsinabcABC呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）1学生：思考得出 在Rt ABC中，成立，如前面检验。在锐角三角形中，如图 5 设BCa，CAb，ABc 作：ADBC，垂足为D 在Rt ABD中，sinADBAB sinsinADABBcB 在Rt ADC中 sinADCAC sinsinADACCbC sinsincbCB 同理，在ABC中 sinsinacAC sinsinsinabcABC 图 5 三、设计意图：经A B C D 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 10/13 课堂小结 2 分钟 小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师与时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（2sinsinsinabcRABC）与其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角与一边，求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类讨论的数学思想。布置作业 1 分钟 作业：第 11 页 习题 1.2B 组第 1、2 题。思考题：例 2：在ABC中，已知2 2a，2 3b，45A，解三角形。例 2 中2 3b 分别改为2 6b，5b 并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。板书设计 板书设计：1、结合实例，激发动机 数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 11/13 学生在观察、实验、猜想、验证、推理等 活动中，逐步形成创新意识。2、数学实验，验证猜想 通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳 和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理 引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开 思维，培养推理的意识。4、利用定理，解决引例 合理利用正弦定理，重新解决引例，体会用新的知识，新的定理，使得解决问题更方便、更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。5、了解解三角形概念 6、运用定理，解决例题 提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变要我学为我要学，我要研究的主动学习。7、尝试小结 余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 12/13 通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。8、作业 教学反思 本节定理教学课，我把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用以前学过的相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了“在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应研修任务高中数学教学设计作业 13/13 直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。如果让我重新上这节课，我会完善这些不足，做的更好。总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察实验猜想证明应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。余所属教材目录弦定理本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版第一章正弦定理第一课时是在高二学生学习了三角知识之后对三角知识的深入应用同时作为三角形中的一个定理也是对解直角三角形内容的直接延分析提出猜想第二步由猜想入手带着疑问联系特殊三角形中边角的关系的验证通过作高法等积法外接圆法向量法等多种方法证明正弦定理验证猜想的正确性并得到三角形面积公式第三步利用正弦定理解决引例并进行简单的应用学生与勇于求真的精神对于高中二年级的学生来说已经学过平面几何解直角三角形三角函数向量等知识具备了一定的观察问题学情分析研修任务高中数学教学设计作业分析问题解决问题的能力但是把前后知识联系起来加以理解并合理应