人教版重点高中数学选修212223课后习题参考参考答案中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

精心整理 新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答 第一章 导数及其应用 31 变化率与导数 练习（P6）在第 3 h和 5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和 3.它说明在第 3 h附近，原油温度大约以 1 h的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 h的速率上升.练习（P8）函数()h t在3tt附近单调递增，在4tt附近单调递增.并且，函数()h t在4t附近比在3t附近增加得慢.说明：体会“以直代曲”1的思想.练习（P9）函数33()4Vr V(05)V 的图象为 根据图象，估算出(0.6)0.3r，(1.2)0.2r.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题 1.1 A组（P10）1、在0t处，虽然1020()()W tW t，然而10102020()()()()W tW ttW tW tttt .所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1)4.93.3hhthttt ，所以，(1)3.3h .这说明运动员在1t s 附近以 3.3 ms 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数()s t在5t 时的导数.精心整理 (5)(5)10sststtt ，所以，(5)10s.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m s，它在第 5 s 的动能213 101502kE J.4、设车轮转动的角度为，时间为t，则2(0)ktt.由题意可知，当0.8t 时，2.所以258k，于是2258t.车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t在3.2t 时的导数.(3.2)(3.2)25208tttt ，所以(3.2)20.因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为201s.说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x在5x 处切线的斜率大于零，所以函数在5x 附近单调递增.同理可得，函数()f x在4x ，2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()fx的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()fx恒大于零，并且随着x的增加，()fx的值也在增加；对于第三个函数，当x小于零时，()fx小于零，当x大于零时，()fx大于零，并且随着x的增加，()fx的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 2、说明：由给出的()v t的信息获得()s t的相关信息，并据此画出()s t的图象的大致形状.这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x的图象在点(1,5)处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.本题的答案不唯一.12 导数的计算 练习（P18）1、()27fxx，所以，(2)3f ，(6)5f .2、（1）1ln2yx；（2）2xye；（3）4106yxx；（4）3sin4cosyxx ；（5）1sin33xy ；（6）121yx.习题 1.2 A组（P18）1、()()2SS rrS rrrrr ，所以，0()lim(2)2rS rrrr .2、()9.86.5h tt .分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 3、3213()34r VV.4、（1）213ln2yxx；（2）1nxnxynxex e；（3）2323sincoscossinxxxxxyx；（4）9899(1)yx；（5）2xye ；（6）2sin(25)4 cos(25)yxxx .5、()82 2fxx .由0()4fx有 0482 2x，解得03 2x.6、（1）ln1yx；（2）1yx.7、1xy .8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834tA t.（2）(7)25.5A ，它表示氨气在第 7天左右时，以 25.5 克天的速率减少.习题 1.2 B组（P19）1、（1）（2）当h越来越小时，sin()sinxhxyh 就越来越逼近函数cosyx.（3）sinyx的导数为cosyx.2、当0y 时，0 x.所以函数图象与x轴交于点(0,0)P.xye ，所以01xy .所以，曲线在点P处的切线的方程为yx.2、()4sind tt .所以，上午 6:00 时潮水的速度为0.42m h；上午 9:00 时潮水的速度为0.63mh；中午 12:00 时潮水的速度为0.83m h；下午 6:00 时潮水的速度为1.24m h.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 13 导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f xxx，所以()22fxx.当()0fx，即1x 时，函数2()24f xxx单调递增；当()0fx，即1x 时，函数2()24f xxx单调递减.（2）因为()xf xex，所以()1xfxe.当()0fx，即0 x 时，函数()xf xex单调递增；当()0fx，即0 x 时，函数()xf xex单调递减.（3）因为3()3f xxx，所以2()33fxx .当()0fx，即11x 时，函数3()3f xxx单调递增；当()0fx，即1x 或1x 时，函数3()3f xxx单调递减.（4）因为32()f xxxx，所以2()321fxxx.当()0fx，即13x 或1x 时，函数32()f xxxx单调递增；当()0fx，即113x 时，函数32()f xxxx单调递减.2、3、因为2()(0)f xaxbxc a，所以()2fxaxb.（1）当0a 时，()0fx，即2bxa 时，函数2()(0)f xaxbxc a单调递增；()0fx，即2bxa 时，函数2()(0)f xaxbxc a单调递减.（2）当0a 时，()0fx，即2bxa 时，函数2()(0)f xaxbxc a单调递增；注：图分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理()0fx，即2bxa 时，函数2()(0)f xaxbxc a单调递减.4、证明：因为32()267f xxx，所以2()612fxxx.当(0,2)x时，2()6120fxxx，因此函数32()267f xxx在(0,2)内是减函数.练习（P29）1、24,xx是函数()yf x的极值点，其中2xx是函数()yf x的极大值点，4xx是函数()yf x的极小值点.2、（1）因为2()62f xxx，所以()121fxx.令()1210fxx ，得112x.当112x 时，()0fx，()f x单调递增；当112x 时，()0fx，()f x单调递减.所以，当112x 时，()f x有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f .（2）因为3()27f xxx，所以2()327fxx.令2()3270fxx，得3x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即3x 或3x 时；当()0fx，即33x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,)()fx 0 0 ()f x 单调递增 54 单调递减 54 单调递增 因此，当3x 时，()f x有极大值，并且极大值为 54；当3x 时，()f x有极小值，并且极小值为54.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 （3）因为3()612f xxx，所以2()123fxx.令2()1230fxx，得2x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即22x 时；当()0fx，即2x 或2x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx 0 0 ()f x 单调递减 10 单调递增 22 单调递减 因此，当2x 时，()f x有极小值，并且极小值为10；当2x 时，()f x有极大值，并且极大值为 22 （4）因为3()3f xxx，所以2()33fxx .令2()330fxx ，得1x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即11x 时；当()0fx，即1x 或1x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,1)1(1,1)1(1,)()fx 0 0 ()f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减 因此，当1x 时，()f x有极小值，并且极小值为2；当1x 时，()f x有极大值，并且极大值为 2 练习（P31）（1）在0,2上，当112x 时，2()62f xxx 有极小值，并且极小值为149()1224f.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 又由于(0)2f，(2)20f.因此，函数2()62f xxx 在0,2上的最大值是 20、最小值是4924.（2）在 4,4上，当3x 时，3()27f xxx有极大值，并且极大值为(3)54f ；当3x 时，3()27f xxx有极小值，并且极小值为(3)54f；又由于(4)44f ，(4)44f.因此，函数3()27f xxx在 4,4上的最大值是 54、最小值是54.（3）在1,33上，当2x 时，3()612f xxx 有极大值，并且极大值为(2)22f.又由于155()327f，(3)15f.因此，函数3()612f xxx 在1,33上的最大值是 22、最小值是5527.（4）在2,3上，函数3()3f xxx无极值.因为(2)2f，(3)18f.因此，函数3()3f xxx在2,3上的最大值是2、最小值是18.习题 1.3 A组（P31）1、（1）因为()21f xx ，所以()20fx .因此，函数()21f xx 是单调递减函数.（2）因为()cosf xxx，(0,)2x，所以()1 sin0fxx ，(0,)2x.因此，函数()cosf xxx 在(0,)2上是单调递增函数.（3）因为()24f xx ，所以()20fx .因此，函数()24f xx是单调递减函数.（4）因为3()24f xxx，所以2()640fxx .因此，函数3()24f xxx是单调递增函数.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 2、（1）因为2()24f xxx，所以()22fxx.当()0fx，即1x 时，函数2()24f xxx单调递增.当()0fx，即1x 时，函数2()24f xxx单调递减.（2）因为2()233f xxx，所以()43fxx.当()0fx，即34x 时，函数2()233f xxx单调递增.当()0fx，即34x 时，函数2()233f xxx单调递减.（3）因为3()3f xxx，所以2()330fxx .因此，函数3()3f xxx是单调递增函数.（4）因为32()f xxxx，所以2()321fxxx.当()0fx，即1x 或13x 时，函数32()f xxxx单调递增.当()0fx，即113x 时，函数32()f xxxx单调递减.3、（1）图略.（2）加速度等于 0.4、（1）在2xx处，导函数()yfx有极大值；（2）在1xx和4xx处，导函数()yfx有极小值；（3）在3xx处，函数()yf x有极大值；（4）在5xx处，函数()yf x有极小值.5、（1）因为2()62f xxx，所以()121fxx.令()1210fxx ，得112x .当112x 时，()0fx，()f x单调递增；当112x 时，()0fx，()f x单调递减.所以，112x 时，()f x有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f .分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 （2）因为3()12f xxx，所以2()312fxx.令2()3120fxx，得2x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即2x 或2x 时；当()0fx，即22x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx 0 0 ()f x 单调递增 16 单调递减 16 单调递增 因此，当2x 时，()f x有极大值，并且极大值为 16；当2x 时，()f x有极小值，并且极小值为16.（3）因为3()6 12f xxx，所以2()123fxx .令2()1230fxx ，得2x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即2x 或2x 时；当()0fx，即22x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx 0 0 ()f x 单调递增 22 单调递减 10 单调递增 因此，当2x 时，()f x有极大值，并且极大值为 22；当2x 时，()f x有极小值，并且极小值为10.（4）因为3()48f xxx，所以2()483fxx.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 令2()4830fxx，得4x .下面分两种情况讨论：当()0fx，即2x 或2x 时；当()0fx，即22x 时.当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：x(,4)4(4,4)4(4,)()fx 0 0 ()f x 单调递减 128 单调递增 128 单调递减 因此，当4x 时，()f x有极小值，并且极小值为128；当4x 时，()f x有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在 1,1上，当112x 时，函数2()62f xxx 有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f ，(1)9f，所以，函数2()62f xxx 在 1,1上的最大值和最小值分别为 9，4724.（2）在 3,3上，当2x 时，函数3()12f xxx有极大值，并且极大值为 16；当2x 时，函数3()12f xxx有极小值，并且极小值为16.由于(3)9f ，(3)9f，所以，函数3()12f xxx在 3,3上的最大值和最小值分别为 16，16.（3）在1,13上，函数3()6 12f xxx 在1,13上无极值.由于1269()327f，(1)5f，所以，函数3()6 12f xxx 在1,13上的最大值和最小值分别为26927，5.（4）当4x 时，()f x有极大值，并且极大值为 128.由于(3)117f ，(5)115f，分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 所以，函数3()48f xxx在 3,5上的最大值和最小值分别为 128，117.习题 3.3 B组（P32）1、（1）证明：设()sinf xxx，(0,)x.因为()cos10fxx ，(0,)x 所以()sinf xxx在(0,)内单调递减 因此()sin(0)0f xxxf，(0,)x，即sin xx，(0,)x.图略（2）证明：设2()f xxx，(0,1)x.因为()12fxx ，(0,1)x 所以，当1(0,)2x时，()120fxx ，()f x单调递增，2()(0)0f xxxf；当1(,1)2x时，()120fxx ，()f x单调递减，2()(1)0f xxxf；又11()024f.因此，20 xx，(0,1)x.图略（3）证明：设()1xf xex，0 x.因为()1xfxe，0 x 所以，当0 x 时，()10 xfxe ，()f x单调递增，()1(0)0 xf xexf ；当0 x 时，()10 xfxe ，()f x单调递减，()1(0)0 xf xexf ；综上，1xex，0 x.图略（4）证明：设()lnf xxx，0 x.分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 因为1()1fxx ，0 x 所以，当01x 时，1()10fxx ，()f x单调递增，()ln(1)10f xxxf ；当1x 时，1()10fxx ，()f x单调递减，()ln(1)10f xxxf ；当1x 时，显然ln11.因此，ln xx.由（3）可知，1xexx ，0 x.综上，lnxxxe，0 x 图略 2、（1）函数32()f xaxbxcxd的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f xaxbxcxd，所以2()32fxaxbxc.下面分类讨论：当0a 时，分0a 和0a 两种情形：当0a，且230bac时，设方程2()320fxaxbxc 的两根分别为12,x x，且12xx，当2()320fxaxbxc ，即1xx或2xx时，函数32()f xaxbxcxd单调递增；当2()320fxaxbxc ，即12xxx 时，函数32()f xaxbxcxd单调递减.当0a，且230bac时，此时2()320fxaxbxc ，函数32()f xaxbxcxd单调递增.当0a，且230bac时，设方程2()320fxaxbxc 的两根分别为12,x x，且12xx，当2()320fxaxbxc ，即12xxx 时，函数32()f xaxbxcxd单调递增；分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 当2()320fxaxbxc ，即1xx或2xx时，函数32()f xaxbxcxd单调递减.当0a，且230bac时，此时2()320fxaxbxc ，函数32()f xaxbxcxd单调递减 14 生活中的优化问题举例 习题 1.4 A组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x，lx，则这两个正方形的边长分别为4x，4lx，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416xlxSf xxlxl，0 xl.令()0fx，即420 xl，2lx.当(0,)2lx时，()0fx；当(,)2lxl时，()0fx.因此，2lx 是函数()f x的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2ax，高为x.（1）无盖方盒的容积2()(2)V xaxx，02ax.（2）因为322()44V xxaxa x，所以22()128V xxaxa.令()0V x，得2ax（舍去），或6ax.当(0,)6ax时，()0V x；当(,)6 2a ax时，()0V x.因此，6ax 是函数()V x的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax 时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积222SRhR xa（Rh分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 由2VR h，得2VhR.因此，2222()222VVS RRRRRR，0R.令2()40VS RRR，解得32VR.当3(0,)2VR时，()0S R；当3(,)2VR时，()0S R.因此，32VR是函数()S R的极小值点，也是最小值点.此时，32222VVhRR.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()niif xxan，所以12()()niifxxan.令()0fx，得11niixan，可以得到，11niixan是函数()f x的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n个数据的平均值11niian表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为2xm，半圆的面积为28x2m，矩形的面积为28xa2m，矩形的另一边长为()8axxm 因此铁丝的长为22()(1)244xaxal xxxxx ，80ax 分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 令22()104al xx ，得84ax（负值舍去）.当8(0,)4ax时，()0l x；当88(,)4aax时，()0l x.因此，84ax是函数()l x的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为84am时，所用材料最省.6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588Rq pqqqq ，利润2211(25)(1004)2110088LRCqqqqq ，0200q.求导得1214Lq 令0L，即12104q，84q.当(0,q时，0L；当(84,q时，0L；因此，84q 是函数L的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84时，利润L最分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 大,习题 1.4 B组（P37）1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010 xL xxxx，180680 x.令1()7005L xx ，解得350 x.当(180,350)x时，()0L x；当(350,680)x时，()0L x.因此，350 x 是函数()L x的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为x元件时，利润4()()(4)()(5)bxL xxa ccc xaxbb ，54bax.令845()0cacbcL xxbb ，解得458abx.当45(,)8abxa时，()0L x；当455(,)84abbx时，()0L x.当458abx是函数()L x的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458ab元件时，可获得最大利润.15 定积分的概念 练习（P42）83.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()()2()iiiiissvtnnnnnn ，1,2,in.于是 111()nnniiiiiisssvtn 2112()niinnn 分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 22211111()()()2nnnnnnnn 2231122nn 31(1)(21)26n nnn 111(1)(1)232nn 取极值，得 1111115lim()lim(1)(1)2323nnnniiisvnnnn 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx.说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3yx与直线0 x，2x，0y 所围成的曲边梯形的面积4S.习题 1.5 A组（P50）1、（1）10021111(1)(1)10.495100100iixdx；（2）50021111(1)(1)10.499500500iixdx；（3）100021111(1)(1)10.499510001000iixdx.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18 1 12 1 7 1 3 1 0 140 （m）；距离的过剩近似值为：27 1 18 1 12 1 7 1 3 167 （m）.3、证明：令()1f x.用分点 011iinaxxxxxb 将区间,a b等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点(1,2,)iin 作和式 11()nniiibafxban ，分别为和它说明在第附近原油温度大约以的速度下降在第时原油温度大约以的速率上升练习函数在附近单调递增在附近单调递增并且函数在附近比在附近增加得慢说明体会以直代曲的思想练习函数的图象为根据图象估算出说明如果然而所以企业甲比企业乙治理的效率高说明平均变化率的应用体会平均变化率的涵这说明运动员在附近以的速度下降所以物体在第的瞬时速度就是函数在时的导数精心整理所以因此物体在第时的瞬时速度为它在第的动能设车轮转动在开始转动后第时的瞬时角速度为说明第题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固由图可知函数在处切线的斜率大于零所以函数在附近单调递增同理可得函数在附近分别单调递增几乎没有变化单调递减单调递减说明以直代曲思 精心整理 从而 11limnbanibadxban，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，1201x dx表示由直线0 x，1x，0y 以及曲线21yx所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此12014x dx.5、（1）03114x dx.由于在区间 1,0上30 x，所以定积分031x dx表示由直线0 x，1x ，0y 和曲线3yx所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dxx dxx dx .由于在区间 1,0上30 x，在区间0,1上30 x，所以定积分131x dx等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形