全国中考数学试题分类汇编—勾股定理中学教育中考_中学教育-中考.pdf

学习好资料 欢迎下载（2013 湘西州）如图，RtABC 中，C=90，AD 平分CAB，DEAB 于 E，若 AC=6，BC=8，CD=3（1）求 DE 的长；（2）求ADB 的面积 考点：角平分线的性质；勾股定理 分析：（1）根据角平分线性质得出 CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出 AB 的长，然后计算ADB 的面积 解答：解：（1）AD 平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE，CD=3，DE=3；（2）在 RtABC 中，由勾股定理得：AB=10，ADB 的面积为 SADB=AB DE=10 3=15 点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等（2013 株洲）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求 CE 的长 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得 AO=CO，对边平行可得 ADBC，再利用两直线平行，内错角相等可得OAE=OCF，然后利用“角边角”证明AOE 和COF 全等；学习好资料 欢迎下载（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出DAO=30 ，然后求出AEF=90，然后求出 AO 的长，再求出 EF 的长，然后在 RtCEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE 和COF 中，AOECOF（ASA）；（2）解：BAD=60 ，DAO=BAD=60=30，EOD=30，AOE=90 30=60，AEF=180 BODAOE=180 30 60=90，菱形的边长为 2，DAO=30 ，OD=AD=2=1，AO=，AE=CF=，菱形的边长为 2，BAD=60，高 EF=2=，在 RtCEF 中，CE=点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出CEF 是直角三角形是解题的关键，也是难点（2013 巴中）若直角三角形的两直角边长为 a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 5 考点：勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 分析：根据非负数的性质求得 a、b 的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长 解答：解：，a26a+9=0，b4=0，解得 a=3，b=4，得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 直角三角形的两直角边长为 a、b，该直角三角形的斜边长=5 故答案是：5（2013 达州）如图，在 Rt ABC中，B=90，AB=3，BC=4，点 D在 BC上，以 AC为对角线的所有ADCE 中，DE最小的值是（）A2 B3 C4 D5 答案：B 解析：由勾股定理，得 AC5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE一定经过 AC中点 O，当 DEBC时，DE最小，此时OD32，所以最小值 DE3（2013 达州）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B点落在 AD上一点 E处，折痕的两端点分别在 AB、BC上（含端点），且 AB=6，BC=10。设 AE=x，则 x 的取值范围是 .答案：2x6 解析：如图，设 AGy，则 BG6y，在 RtGAE中，x2y2（6y）2，即36 12xy（8(0)3y，当 y0 时，x 取最大值为 6；当 y83时,x 取最小值 2，故有 2x6 2013 雅安）在平面直角坐标系中，已知点 A（，0），B（，0），点 C 在坐标轴上，且 AC+BC=6，写出满足条件的所有点 C 的坐标（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）考点：勾股定理；坐标与图形性质 专题：分类讨论 分析：需要分类讨论：当点 C 位于 x 轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点 C 的坐标；当点 C 位于 y 轴上时，根据勾股定理求点 C 的坐标 解答：解：如图，当点 C 位于 y 轴上时，设 C（0，b）则+=6，解得，b=2 或 b=2，此时 C（0，2），或 C（0，2）如图，当点 C 位于 x 轴上时，设 C（a，0）则|a|+|a|=6，即 2a=6 或2a=6，解得 a=3 或 a=3，此时 C（3，0），或 C（3，0）综上所述，点 C 的坐标是：（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 故答案是：（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）点评：本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质解题时，要分类讨论，以防漏解另外，当点 C 在 y 轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点 C 的坐标（2013 资阳）如图1，点E在正方形ABCD内，满足90AEB，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 C A48 B60 C76 D80 （2013 鞍山）ABC 中，C=90，AB=8，cosA=，则 BC 的长 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理 分析：首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长，然后利用勾股定理即可求得 BC 的长 解答：解：cosA=，AC=AB cosA=8=6，BC=2 故答案是：2 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 （2013 鞍山）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 图 1 得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 考点：三角形中位线定理；勾股定理 分析：利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解 解答：解：BDCD，BD=4，CD=3，BC=5，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，EH=FG=AD，EF=GH=BC，四边形 EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又AD=6，四边形 EFGH 的周长=6+5=11 故答案为：11 点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键 （2013 鄂州）如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB=试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（）A 6 B 8 C 10 D 12 考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离 分析：MN 表示直线 a 与直线 b 之间的距离，是定值，只要满足 AM+NB 的值最小即可，作点 A 关于直线 a 的对称点 A，连接 A B 交直线 b 与点 N，过点 N 作 NM直线 a，连接 AM，则可判断四边形 AA NM 是平行四边形，得出 AM=A N，由两点之间线段最短，可得此时 AM+NB 的值最小过点 B 作 BEAA，交 AA 于点 E，在 RtABE中求出 BE，在 RtA BE 中求出 A B 即可得出 AM+NB 解答：解：作点 A 关于直线 a 的对称点 A，连接 A B 交直线 b 与点 N，过点 N 作 NM直线 a，连接 AM，得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 A 到直线 a 的距离为 2，a 与 b 之间的距离为 4，AA=MN=4，四边形 AA NM 是平行四边形，AM+NB=A N+NB=A B，过点 B 作 BEAA，交 AA 于点 E，易得 AE=2+4+3=9，AB=2，A E=2+3=5，在 RtAEB 中，BE=，在 RtA EB 中，A B=8 故选 B 点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点 M、点 N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短（2013 鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高小明说：“这楼起码 20 层！”小华却不以为然：“20 层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选 A、B 两点，测量数据如图，其中矩形 CDEF 表示楼体，AB=150 米，CD=10 米，A=30，B=45，（A、C、D、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按 3 米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由（参考数据：1.73，1.41，2.24）考点：勾股定理的应用 专题：应用题 分析：（1）设楼高为 x，则 CF=DE=x，在 RtACF 和 RtDEB 中分别用 x 表示 AC、BD的值，然后根据 AC+CD+BD=150，求出 x 的值即可；（2）根据（1）求出的楼高 x，然后求出 20 层楼的高度，比较 x 和 20 层楼高的大小即可判断谁的观点正确 解答：解：（1）设楼高为 x 米，则 CF=DE=x 米，得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 A=30，B=45，ACF=BDE=90，AC=x 米，BD=x 米，x+x=15010，解得 x=70（1）（米），楼高 70（1）米 （2）x=70（1）70（1.731）=70 0.73=51.1 米3 20 米，我支持小华的观点，这楼不到 20 层 点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般 （2013 襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 6或 2 考点：图形的剪拼；勾股定理 分析：先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长 解答：解：如图所示：，连接 CD，CD=，D 为 AB 中点，AB=2CD=2；如图所示：得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载，连接 EF，EF=3，E 为 AB 中点，AB=2EF=6，故答案为：6或 2 点评：此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解 （2013 莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2则最大的正方形 E 的面积是 10 考点：勾股定理 分析：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积和即为最大正方形的面积 解答：解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是 S3=S1+S2，即 S3=2+5+1+2=10 故答案是：10 得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 点评：本题考查了勾股定理的应用能够发现正方形 A，B，C，D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C，D 的面积和即是最大正方形的面积（2013 吉林省）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为（6，0）、（0，8）.以点 A为圆心，以 AB长为半径画弧，交x正半轴于点 C，则点 C的坐标为 .（2013 包头）如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接 AE、BE、CE，将ABE 绕点B 顺时针旋转 90 到CBE 的位置若 AE=1，BE=2，CE=3，则BE C=135 度 考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质 分析：首先根据旋转的性质得出EBE=90，BE=BE=2，AE=E C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出EE C 是直角三角形，进而得出答案 解答：解：连接 EE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 到CBE 的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90，BE=BE=2，AE=E C=1，EE=2，BE E=45，E E2+E C2=8+1=9，EC2=9，E E2+E C2=EC2，EE C 是直角三角形，EE C=90，CBAxyO得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 BE C=135 故答案为：135 点评：此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出EE C 是直角三角形是解题关键(2013山东滨州，14，4 分)在ABC 中，C=90，AB=7，BC=5，则边 AC 的长为_【答案】2 6（2013 东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m（容器厚度忽略不计）.2013 绍兴）在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是 x 轴上的点，将射线 OA 绕点 O 旋转，使点 A 与双曲线 y=上的点B 重合，若点 B 的纵坐标是1，则点A 的横坐标是 2或2 考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：根据反比例函数的性质得出 B 点坐标，进而得出 A 点坐标 解答：解：如图所示：点 A 与双曲线 y=上的点 B 重合，点 B 的纵坐标是 1，点 B 的横坐标是，OB=2，得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 A 点可能在 x 轴的正半轴也可能在负半轴，A 点坐标为：（2，0），（2，0）故答案为：2 或2 点评：此题主要考查了勾股定理以及反比例函数的性质等知识，根据已知得出 BO 的长是解题关键（2013 黔西南州）一直角三角形的两边长分别为 3 和 4.则第三边的长为 A、5 B、7 C、5 D、5 或7（2013 柳州）在ABC 中，BAC=90 ，AB=3，AC=4AD 平分BAC 交 BC 于 D，则BD 的长为（）A B C D 考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理 分析：根据勾股定理列式求出 BC，再利用三角形的面积求出点 A 到 BC 上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点 D 到 AB、AC 上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点 D 到 AB 的长，再利用ABD 的面积列式计算即可得解 解答：解：BAC=90，AB=3，AC=4，BC=5，BC 边上的高=3 4 5=，AD 平分BAC，点 D 到 AB、AC 上的距离相等，设为 h，则 SABC=3h+4h=5，解得 h=，得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股学习好资料 欢迎下载 SABD=3=BD，解得 BD=故选 A 点评：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键 得出代入求出即可利用勾股定理求出的长然后计算的面积解答解平分在中由勾股定理得的面积为点评本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用注意角平分线上的点到角两边的距离相等株洲已知四边形是边长为的菱形对角线与交于角的直角三角形勾股定理分析根据菱形的对角线互相平分可得对边平行可得再利用两直线平行内错角相等可得然后利用角边角证明和全等学习好资料欢迎下载根据菱形的对角线平分一组对角求出然后求出然后求出的长再求出的长然题考查了菱形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质勾股定理的应用求出是直角三角形是解题的关键也是难点巴中若直角三角形的两直角边长为且满足则该直角三角形的斜边长为考点勾股