圆有关定理中学教育中学_中学教育-中学课件.pdf

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，切线长”是切线上一条线段的长，具有 数量的特征，而切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理 如图 1 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆 上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外 一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引 的两条切线所夹的角。3.弦切角（如图 2）:顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。图 1 图 2 直线 AB 切O O 于 P,PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）.APC,.APD,.BPD,.BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中.APC=.CDP等 证明：如图 2，连接 CD、OC、OP，因为 ZCPOPCO,所以乙 COP=180-2/CPO 而/CPO=90-EAPC,故.COP=2.APC,即.CDP=.APC。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6 遇到圆的切线，可联想 角”弦切角，线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交 弦定 理 A O O 中，AB、CD 为弦，交 于 P.PA PB=PC PD 连结 AC、BD，/C=NB,NA=ND,所以 APC DPB 相交 弦定 理的 推论 O O O 中，AB 为直 径，CD 丄 AB 于 P.PC2=PA PB 用相交弦定理 切割 线定 理 O 0 中，PT 切 O 0 于 T,割线 PB 交 O 0 于 A PT2=PA PB 连结 TA、TB，则/PTA=/B（弦 切角等于同弧圆周角）所以 PTA PBT，所以 PT2=PA PB 切割 线定 理推 论 PB、PD 为O 0 的 两条割 线，交 O 0 于 A、C PA PB=PC PD 过 P 作 PT 切O 0 于 T,用两次 切割线定理 圆幕 定理 1 O 0 中，割线 PB 交O 0 于 A,CD 为 弦 PC PD=r2 0P2 PA PB=0P2 r2 r 为O 0 的半径 延长 P0 交O 0 于 M，延长 0P 交O 0 于 N，用相交弦定理证；过 P 作切线用切割线定理勾股定 理证 8.圆幕定理：过一定点 P 向O O 作任一直线，交O O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数|-|（R 为圆半径），因为 二/.叫做点对于O O 的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。例 1.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 0,过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE:AE 的值。D E 0 C 例 2.O 0 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm，求 CE。例 3.已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则 AB2：AC2=PB：_。的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以例 4.如图 3,P 是O0 外一点，PC 切O 0 于点 C,PAB 是O 0 的割线，交O0 于 A、B 两点，如果 PA:PB=1:4,的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以PC=12cm,O O 的半径为 10cm，则圆心 0 到 AB 的距离是 _ cm。例 7.如图 6,PA、PC BO 0 于 A、C,PDB 为割线。求证：AD BC=CD AB 例 8.如图 7,在直角三角形 ABC 中，/A=90 以 AB 边为直径作 O 0,交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 0 的切线交 AC 于 E。求证：BC=20E。例 6.如图 5,AB 为O 0 的直径，弦 CD/AB,AE 切O0 于 A，交 CD 的延长线于 E。求证:BC AB*DE B 的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以A.20/3 B.25/3 C.5 D.8 2.下列图形一定有内切圆的是（A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 3.已知：如图 1 直线 MN 与OO 相切于 A.50 B.40 C.60 D.55 4.圆内两弦相交，一弦长 8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为 1:4，则另一弦长为（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在厶 ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD=2i2cm,BD=3cm,DC=4cm，如果 E 是 AD 的延长线与 ABC 的外 接圆的交点，那么 DE 长等于（）A.2U3cm B.312 cm C.2 2 cm D.3：3 cm 6.PT 切O O 于 T,CT 为直径，D 为 OC 上一点,直线 PD 交O O 于 B 和 A,B 在线段 PD 上,若 CD=2,AD=3,c 例 9 如图 8，在正方形 ABCD 中，AB=1,AC是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任 意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作AC所在圆的切线，交边 DC 于点 F,G 为切点。当/DEF=45。时，求证:点 G 为线段 EF 的中点;【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一、选择题 1.已知：PA、PB 切O O 于点 A、B，连结 AB，若 AB=8，弦 AB 的弦心距 3,贝U PA=（D.梯形 C,则/MCA 的度数（的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以7.AB、CD 是O O 切线，AB/CD,EF 是O O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则/EOF=_ 度。8.已知：O O 和不在O O 上的一点 P，过 P 的直线交O O 于 A、B 两点，若 PA PB=24,OP=5，则O O 的半径长 为 _。9.若 PA 为OO 的切线，A 为切点，PBC 割线交O O 于 B、C,若 BC=20,PA=10J3，则 PC 的长为。10.正厶 ABC 内接于O O,M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O O 于点 D，连结 BD 交 AC 于 P,贝U PC -=。PA 三、解答题 11.如图 2,ABC 中，AC=2cm,周长为 8cm,F、K、N 是厶 ABC 与内切圆的切点，DE BOO 于点 M，且 DE/AC,求DE 的长。/F B E N C 图 2 PC BO O 于 C,CD 丄 AB 于 D，求证：CB 平分/DCP。AB 延长线上一点,的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以13.如图 4，已知 AD 为O O 的直径，AB 是O O 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C,且 BM=MN=NC,图 4 的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以Welcome To Download!欢迎您的下载，资料仅供参考！例 5.如图 4,AB 为O 0 的直径，过 B 点作O 0 的切线 BC,0C 交O 0 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D,求证：(1)2 CE*2=CD CB;(2)若 AB=BC=2 厘米，求 CE、CD 的长。的切线上这点和切点之间的线段的长度切线长是切线上一条线段的长具有数量的特征而切线是一条直线它不可以度量长度切线长定理如图对于切线长定理应明确若已知圆的两条切线相交则切线长相等若已知两条切线平行则圆上两个线切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹的角弦切角如图顶点在圆上一边和圆相交另一边和圆相切的角图图直线切于为弦图中几个弦切角呢四个上图中弦切角定理弦切角角圆外角遇到圆的切线可联想角弦切角线切线的性质定理及切线长定理与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理相交弦定理的推论结论已知中为弦交证法连结所以于中为直径丄于用相交弦定理连结则弦切角等于同弧圆周角所以所以