2021-2022学年高一数学下学期期末考试好题汇编：02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法（解析版）.pdf

专题0 2 七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积题型二：利用I坐标运算法求平面向量数量积题型三：利用转化法求平面向量数量积题型四：坐标法求平面向量夹角题型五：数量积和模求平面向量夹角题型六：坐标公式法求平面向量的模题型七：转化法求平面向量的模经典基础题题型一：利用定义法求平面向量数量积一、单选题1.（2021江西省铜鼓中学高一期末（理）已知向量,看满足问=1,B卜 半，且 与囚的夹角为著，则（；+3）=（）【答案】D【分析】根据向量的运算性质展开可得R+斗 3 ）=2a+力一Z?,再代入向量的数量枳公式即可得解.【详解】根据向量运算性质,/F r/r r 1*2 r r r2+=+a-b-b=2问2+同.料*同=2+lx争（1）一 净2 =2-2-|=3 故选：D2.（2021云南高一期末）已知|可=6,|同=2,且向量与向量5的夹角为60。，则5的值 为（）A.6 拒 B.12 C.6 D.6百【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由|可=6,问=2,且向量与向量5的夹角为60。，a b=|cos=6 x 2 x l=62故选：C3.（2 0 2 1 辽宁抚顺高一期末）在R/AA B C中，C =9 0。,4 c =4,则福（）A.-2 5 B.2 5 C.-1 6 D.1 6【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解.【详解】解：B G 4=|A f i|-|G 4|c o s（-A）=-|G 4|S|c o sA =-|C A|：!=-1 6.故选：C.4.（2 0 2 1 湖南张家界 高一期末）己知向量1 与6的夹角。=1 2 0?,同=3,忖=4,则a-b-（）A.-6&B.-6 C.6 D.6旧【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得觞=|训年8$1 2 0 =3X4XM=-6,故选：B.二、多选题5.（2 0 2 1 福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量 和石，下列命题中正确的是（）A.若公，各满足W W，且 与各同向，则 加B.B+.第+欠c邛年丽D.p-科|第【答案】B C【分析】向量不能比较大小可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B、D：根据向量数量积的定义可判断选项C；进而可得正确选项.【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：根据向量的加法运算的几何意义可知归+国 第+W，当且仅当向量和区同向时等号成立；对于选项C：L4=WWcos 伍琳因为卜o s（,今卜1,所以,可 4琲|,故选项C正确；对于选项D：由向量减法的几何意义可知同-欠 4 忖-耳，故选项D不正确；故选：B C.6.（202。辽宁高一期末）在 RtA8c中，8。为斜边AC上的高，下列结论中正确的是M2.I|2 一 一 ，=A8?4c B.|BC|=CB?ACC.|Xc|2=AB2BD D.|珂=丽?而 BC?BD【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于 A,AB-AC=AB-AC-COS A=AB府.黑=|Xfi|2.故 A 正确；对于 B,CB-AC=CB-|C|-cos（j i -C）=-CB AC-cosC=-CB|4C|=14clT函 2,故 B错误；对于 c,AB-BD=AB-BD cos（7 T -4 B。）=-AB BD cos N4BD=一|荏|I而 I,黑=T 前 ，故 C错误;对于 D,BA-BD=BA|BD|cos NABD=BA BD 黑=|丽 ，BC BD=BC-BD cos NCBD=BC BD 曾=|丽广，故 D 正确.18cl故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.三、填空题7.（2021广东江门高一期末）已知向量、石满足问=3,忖=4,、石的夹角为60。,则|从卜.【答案】4 3【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量2、B满足同=3,忖=4,入B的夹角为60。，则卜-0 =J/+万-2 a=9+16-2x3x4x=/13.故答案为：/13.8.（2021江西九江高一期末）已知向量），B夹角的余弦值是乂曳，且同=内，65 1 1W=石，则数量积75=.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】斗 国cos（,B）=i.故答案为：1.9.（2021吉林 长春市第二十中学高一期末）在（3ABC中，C=90。，|通|=51而 卜4,则BA-BC=.【答案 式【分析】由已知条件可得cosZCBA=（,根据瓦？瓦=|瓦孙玩|c o s/C B 4即可求值.【详解】在EMBC中，C=90。，旦|而|=5|而|=4,41回|AB|=4,|B C|=-,故cosNC&4=g,：.B A B C =|5X|BC|cos ZCBA=4 x g x g =|.故答案为：四、解答题10.（2021北京丰台高一期末）已知向量2=（-1,3）,5=（1,2）.（1）求（2）求 与B夹角的大小；（3）求 忸 一 可.【答案】5,（2）y,（3）54【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出工-石的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为3=（-1,3）出=（1,2）,所以 a-石=-lx l+3x2=5，（2）设公与各夹角为。，则na b 5 夜因为。可0,加，所以。=工，41 T所以与石夹角的大小为,4（3）因为 =（-1,3）石=（1,2）,所以 2 力=2（7,3）-（1,2）=（-3,4）,所 以 忸-*正3 尸+4 2 =5题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积一、单选题I.（2 0 2 0 天津市红桥区教师发展中心高一期末）己知 石是非零向量，且 石不共线，同=3 烟=4,若向量 +以 与 1 历互相垂直，则实数%的值为（）A.2B.-24 3C.-D.-3 4【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为向量+右 与 比互相垂直,一 *2 c 3所以有（a +%另）（“一%）=0na-k b=0=9-1 6 K =。=%=二，4故选：D二、多选题2.（2 0 2 1 黑龙江绥化市第二中学高一期末）已知G =（-2,6）石=（1,-3）,下列选项中正确的 是（）A.a b=-2 0 B.与方同向的单位向量是C.a l l b D.卜 +同=2 后【答案】A BC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项.【详解】对于A,4 石=-2-1 8 =-2 0，故 A正确，对于B,与5同向的单位向 量 端=（凉，-扁卜（喀-3Ml1 01,故 B 正确.对于C,因为-2 x(-3)=6 x l,故/区，故 C正确.对于 D,a +b =-)*2+32=7 1 0 ,故 D 错误.【答案】y,-6)u(-6,|【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解:因 为 1 =(2,f),1 =(-1,3)的夹角为钝角,所以 石=一2+3，0,且T x 2 x 3,解得且f x-6,所以/的范围为(-巴-6)u(-6,故答案为：(-8,-6)U1-6,力5.(2 0 2 1 云南玉溪高一期末)已知=(2,6)3=(-1,3),若 _ 1 _ ，则加=.【答案】j2【分析】由两向量垂直，可得数量积为0,从而可列方程求得答案【详解】解：因为Z =(2,M 石=(一1,3),a b,_ _ _2所以。石=一2 +3 帆=0，解得加=，故答案为：四、解答题故选：A BC.三、填空题3.(2 0 2 1 浙江宁波高一期末)已知向量=(1,-2),5=(3/)，则2 石=.【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可.【详解】解：向量 1 =(1,-2),5=(3/)，贝 I a-5=l x 3-2 x l =l .故答案为：1.4.(2 0 2 1 山东淄博高一期末)向量a =(2,f),否=(1,3)的夹角为钝角，则/的范围是6.（2019,湖南邵阳高一期末）已知向量旭=/,不J,=（sinx,cosx）,x e 0,5）.（1）若正J _ 3 求 tanx的值；若 向 量=求cos（2 x-笄）的值.7【答案】囱；【分析】（1）由 碗 可 得 正 工=0,利用数量积的坐标运算列方程求解；由而i 可得sin（x-g）=：,将cos（2 x Y）变形为l-2sin2（x-9）,代入计算可得结果.【详解】由m _L 口 J得m =0，BPsin x-co sx =0,2 2则tan x=石；由题意可得 s in x-cos 即sin（x-f）=?，2 2 3 3 3Elcos（2 x-专）=l-2 sin2（x-y）,=-2X（I）24-【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1.（2021 四川成都.高一期末）已 知 向 量 另 满 足 忖-q=3,则 的 最 小 值 为（）9 9 9A.-B.C.9 D.4 4 2【答案】B【分析】3 两边平方得9+2 7 兆 2府气时，再利用 又 邮，上）可得答案.【详解】设 与石的夹角为6，6e0,句，由卜一 =3 得（一 分）=R）+（可-2-5 =9,所以0+仰=9+2/况 2购 三 时,当且仅当自=M等号成立，又2 耐时=2 耶 2-2 7 坂，9所以。-,41%2 J当且仅当e=万时等号成立,故选：B.二、多选题2.(2 0 2 1 江苏金陵中学高一期末)下列说法正确的是()A.己知4=(-1,2),B=(x,x-1),若0-2 a)a,则x =-lB.在AABC中，若 而=!而+!/，则点。是边B C的中点C.已知正方形A 8 C D 的边长为1,若点M 满 足 的=；砒，则 A M-A C =D.若前共线,则|+目=向+问【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量积的运算可判断选项C,举反例可判断选项D,进而可得正确选项.【详解】对于 A：=(-1,2),h=(x,x-l),可得2 =(x+2,x 5),若0-24 则(x+2)(x-l)=x(x-5),即6 x=2,所以x =g,故选项 A 不正确；对 于 B：取3 c的中点E，则;而+=g(而+/)=荏=而，即。点与E点重合,所以点。是边3 c的中点，故选项B 正确；对于C：而./=(而+丽)(而+网=(而+g反)(而+网=AD2+-DC2+-AD DC=I+-=-,故选项 C 正确；3 3 3 3对于D：当3石反向时不成立，故选项D不正确，故选：BC.三、填空题3.(2 0 2 1 北京东城高一期末)已知回。中弦4?=6,则无。而二【答案】1 8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点。作OC_LAB于点C,则点C 为A 8的中点，AC=A B,2所 以 加,而=|亚,福 os（而，而）=|通 口 而 卜/祠 2 =1X62=18,故答案为：18.4.（2021陕西安康高一期末）如图，矩形A8C3中，AB=2,AD=2上,AC与5。交于点0,过点A作垂足为E,则 通.比=.【答案】3【分析】先求得A E,cosN R4E,然后利用向量运算求 得 通.而【详解】AB=2,AD=2y/3,BD=sj4+2=4,-xA B xA D =-xBD xAE=AE=y/3,2 2所以 cos NBAE=4 =正，AB 2AEBC=A E(BD+DC)=A ECBD+AB)=AEBD+AAB=AA8=|AE|AB|COSZBAE=A/3X2X-=3.故答案为：3四、解答题5.(2021广东高一期末)已知|吊=4,历|=万,=150。.求(1)(a-b)-b i(2)求|a+B|.【答案】(1)-9；(2)币.【分析】(1)由已知求无5,结合向量数量积的运算律，即可求 一 份 0；(2)由卜+司=收+5)2,利用向量数量积的运算律求值即可.【详解】(1).同=4,同=。,=1 5 0/.a b =同 网 cos=4 x 6 x(-/-0)=-62-A 1 *I 回(之 一 5 5 =4 五一|可=-6-3 =-9.(2)卜 +司=(6+6)2 =桐 2 +2 无5+问2=J 1 6-1 2 +3 =a.6.(2 0 2 1 广东揭阳高一期末)AASC中，已知 AB =2,AC =5,Z B A C =60 .M、N分别是 3 C、A C的中点，设 痛=d，A C =b (1)分别用q、B表示A M和 8 N ;(2)设 A M与 3N交于点P,求 NM/W 的余弦值.【答案】(1)AM=(a +b)；BN =-a +b.(2).【分析】(1)利用平面向量加法法则能求出结果.|UUW|、|用 7 卜 褊.前，再根据_ _ _ AM .BNco sN MPN=co s=.由此能求出NM P N的余弦值.|AM|BN|【详解】解：解：(1),*AB=a A C =b A M =A B+B M =AB+-BC=AB+-(AC-AB)=d +h,BN =BA+AN =BA+-AC=-AB+-AC=-a +-b .2 2 2(2)因为 A8 =2,A C =5,Z B A C-60 所以4-6=|4阴 8$60。=2*5*；=5AM 2=(d+*)2=(a2+2 d-*+P)=i(|a|2+2 a-f e+|2)=|(22+2 x 5 +52)=y ,BN2=(-a +-b)2=a2-ci b+-b2=|o|2-a-*+-|Z f =22-5 +-x 52=,2 4 1 1 41 1 4 4所以|击 卜 当，网=与AM-BN=(a+b)(-a+-b)=-a2-a b+b2=-laf a-fo+Ifel=-x22 x5+x52=3,21 1 4 41 1 2 4 4cosNMPN=cos=4M 例=迪AM BN 91 7 517.(2021山西朔州高一期末)已知z 是复数，z-3 i为实数，h一 为纯虚数(i 为虚数单2-1位).(1)求复数z；(2)在复平面中，若复数三对应向量入 且向量同=2,求向量B 的坐标.1-11 1【答案】(1)z=l+3i；(2)b(275 4。“(26 4。【分析】(1)设2=。+抗,由己知条件化简计算求得匕即可求复数z；(2)由 得 三=-2+i,得出2=(-2,1),设向量B=(x,y),根据已知列出方程组求1 1解即可.【详解】(1)z =a+hi(a,beR ),由 z 3i=a+(b 3)i为实数，可得b 3=0,即6=3.团2-i 2-i(2-i)(2+i)zj+2 +(“-4)i 为纯虚数,5团 2a+2=0,一 4 w 0,即。=1,0z=-l+3iz-l+3i(-14-3i)(l+i)-4+2i.，_/一、=F=(1一般=丁i 则=(-2,1)-2x+y=0 x2+y2=4设向量5=(x,y),因为且W=2,所以田,0 2J5 cr-,r(2石 4 5 1.(2/5 4石)解得x=詈 所 以 分=1医一,飞 一J 或=一 堂,J题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1.(2021北京西城高一期末)向量Z=(cos50,sin50)与B=(cosl0,sinl0)的夹角为()A.30 B.40 C.60 D.90【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式宜接求解即可.【详解】设向量 =(cos 50,sin 50,)与 5=(cos 10 sin 10)的夹角为。(6 0,180),八 a b cos 50 cos 10+sin 50 sin 10/八。所以有 cos。.I,=I /,=cos 40,忖忖 Vcos2 50+sin2 50 A/COS2 10 4-sin210因为。0,180,所以。=40。,故选：B2.(2021湖南宁乡市教育研究中心高一期末)已知向量2=(6,1),B=则 与B的夹角为()71兀27CA.-B.-C.6 3 3【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可【详解】因为向量=(6，1)，=(73,-1),所以侬/_9 r)=丽ab=用3k-1 NR1又因为 5”0，所以G，5)=(,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题,二4b 厂中2 J 吵3.(2021北京市八一中学高一期末)已知点 A(0,6),8(0,0),C(l,0),MCOS=()A 石 R 1 r 1 n石A.-D.C.U.2 2 2 2【答案】C【分析】先求 出 宓=(L0)，衣=(1，-6)，再用向量的夹角公式求解即可【详解】.”(),6),8(0,0),C(l,0),.-.BC=(l,0),AC=(l,-x/3)则cos=前.亚RR1 _ 1U 2-2故选：C二、填空题4.（2021广东惠州高一期末）已知向量0=（2,1）,力=（1,-1）,。为向量 与B的夹角，则cos 9=_【答案】叵10【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cose的值.【详解】由题意得,n a bcos 0=.2xl+lx(-l)V22+l2x l2+(-l)21 Vio710 lo-故答案为：叵.105.（2021北京汇文中学高一期末）已知向量 =（2,0）,b=则其夹角G，W=【答案】y【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为向量万=（2,0）,5=（-1,G）,所以 Z.5=2x（_l）+0 x 6=-2：H（i,b 2 1所以囱石Z76 0,n,Oa,bD=-.2兀故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.（2021北京顺义高一期末）向量：，了在正方形网格中的位置如图所示，则 cos=-【答案】一也2【分析】建立平面宜角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1,如图建立坐标系，故|a|=J 9+1 =V 1 0，I b|=+4 =5/5，a-b =-32=5 1,一；a b /2故 co s v a,b =-_=-；2故答案为：-克.27.(2 0 2 1安徽黄山高一期末)已知向量。=(1,，石=(3,-2),S.(a +b)lb,则向量方与向量B的夹角余弦值为.【答案】-好5【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由5 =(1,，石=(3,-2),则 a +/?=(4,小一2),若伍+B)_ L 1,贝|(。+=3乂4 +(_ 2)乂(机-2)=0,解得“2 =8 .向量2与向量5的夹角余弦值R=丽ab=加+1 x 3-2 x 8 66 4.弧77 二 一丁-故答案为：5三、解答题uU、一 一 一 一一一8.(2 0 2 1四川乐山高一期末)已知q=(l,0),e2=(0,1)a =2e+X e2,b =e i e?,且al lb-(1)求义的值；(2)求向量 与向量二冢+2 互夹角的余弦.【答案】(1)-2；(2)叵.1 0【分析】(1)先求出出的坐标，再利用2/4列方程可求出久的值；(2)直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】解：(I)由题知2=(2,0)+(0,=(2,2),=(1,0)-(0,1)=(1,-1),-A -10 a/&.回 5=丁，团/1 =-2,(2)由(1)知“=(2,2),c=(l,2),令 与 2 的夹角为氏1 3 co s。=4 方H-|cl(2,-2)-(1,2)7 22+(-2)2-V l2+22-2 V i o-2 夜 x 正-1 0 9.(2 0 2 1 云南玉溪高一期末)已知诲|=3 如 出=(1,2),且万=.(1)求万的坐标；(2)当40时，若d =(3,-4),求1 与5 的夹角的正弦值.【答案】(1)彳=(3,6)或口=(-3,-6)；(2)手.【分析】(1)由万=又5 可得&=(4 2 团，再由|初=36，可求出4的值，从而可求出 的坐标；(2)直接利用向量的夹角公式求解【详解】解(1)J =2 f t =2(1,2)=(2,2 2),|J|=V 22+4/l2=|A|=3A/5,A=3,团值=(3,6)或5=(-3,-6),(2)当4 0,M =(3,6),co s伍 弓 二9+(-24)_-15 _ _ 5 _0+36的+16-15指一 T因为伍d)e0,所以 s i n=即1 与E 的夹角的正弦值 为 竽1 0.(2 0 2 1 江苏常州高一期末)已知0是坐标原点，向量。印=(2,3),0 月=(6,1),0 户=(苍0),(1)若 西，而，求实数x 的值；(2)当 中.而 取最小值时，求BP的面积.【答案】(1)3 或5；(2)4.【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示即可求解.(2)根据向量数量积的坐标表示得出当x=4 时，丽.丽 取 最小值-1,再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)因 为 函=(2,3),0 B =(6,l),O P=(x,0),所 以 丽=(2-x,3),P B =(6-x,l),又 因 为 丽，所以丽 丽=0,g|J(2-x)(6-x)+3 =0也即d-8x+1 5=0,解得x =3 或x =5,则所求实数”的值为3 或5.(2)由(1)知 可.丽=(2-x)(6-勇)+3=/-8 尢+1 5=0-4)2-1,当x=4 时，肉.丽 取 最小值-1,此 时 雨=(-2,3),方=(2,1),可 笳 P A P B-1 病则2同丽=而访后，又在a A B 尸中，丽，方 e(0,乃)，则si n 丽，方=(7 =噜，A 8P 的面积为S=g x|卜|而卜si n 丙，丽 =；x/x 石 xp=41 1.(2 0 2 1 山西吕梁高一期末)已知平面向量 =(3,-2),B =(l,-y)且万-与之=(2,1)共线.(1)求 的 值；(2)若w?=2 a +B,n=a-c求向量机与向量所夹角的余弦值.【答案】(1)3；(2)半.【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示求出石-，再根据石 _ 勺 =(2,1)共线即可求得)的值；(2)根据向量线性运算的坐标衣示求出 疝 心 再根据c os(而 外=/勺 即可求得向量而与|相|川向量 所夹角的余弦值.【详解】解：(1)由题意得：b-a=(-2,2-y),3 =(2 1)，因为与 共线，所以(-2)x l-2(2-y)=0,解得y=3.(2)由(1)可知 1 =(1,一 3),于是，=2 a +B =(7,7),n=a c=(1,-3),设向量正与向量 夹角为。，则 c os 0=mnI w II/?I2 8 2 石7&加-5题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题1.(2 0 2 1 山东泰安高一期末)已知向量。=(1,0),B =(-2,2),则1 与B的夹角为()n n _ 2 一 3 nA.-B.-C.D.4 3 3 4【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据c osG =曲 即 可 求解.【详解】解：同=咽=2 也,a-b =-2,R=丽a-b=一V丁2又因GW o,句,所以1 与5 的夹角为邛3 九.4故选：D.2.(2 0 2 2 陕西长安一中高一期 末)若 两 个 非 零 向 量 B 满足|+川=|-引，则 与否的夹角 为()【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到4 =0,即可得解；【详解】解:因 为|+加*3,所以G+町=（力,即？+与+抹 工2 _ 与+1,1 IT T即4a-b=0，所以，J_5，即a与B的夹角为彳：故选：C二、多选题3.（2021吉林汪清县汪清第四中学高一期末）点P是AA 3C所在平面内一点，满足PB-PC-PB+P C-2 P A =0,则 AA BC的形状不可能是（）A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】ACD【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可 得 衣.通=0,进而可求.【详解】解：因为|而丽+1-2而|=0,PB+PC-2PA=PB-PA+PC-PA=AB+AC，所以|行|=|而+*|=|而-相|,两边同时平方 得 前.丽=0，77故 A 3 L A C,即 4=一，2则AA BC的形状为直角三角形.故选：ACD.三、填空题4.（2021 湖南高一期末）若 向 量5满足同=屈，M=6,鼠5 =-5,则与5的夹角为.【答案】v【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】COSM,I=a 2=5=一也,a b V10-V5 2夹角 为 不，4故答案为：.45 .（2022,内蒙古包头高一期末）已知向量|在3,防|=2,0 +2&（2-B）=l,则3 与B 的夹角为.【答案】y【分析】对（+2力.（2-母=1化简计算可求出7B，再利用向量的夹角公式可求得结果【详解】由（a +2b）（2a _ B）=I,得 2a 2 +3 b -2b1=1因为|=3,|昨 2,所以18 +3 7 5 8 =1，解得 石=-3,设 与B 的夹角为。，则na h-3 1co s（7=；_.,=-=诽|3 x 2 2,因为6e 0,划，所以。=受27 r，故答案为：四、解答题6.（2020云南罗平县第二中学高一期末）已知平面向量心5满足同=2,|5 卜3,侬-5）.（1+3 5）=-3 4.（1）求向量1 与B 的夹角。；（2）当实数x为何值时，立-5与5+3 1 垂直.【答案】（1）6=看24 ；（2）X-24.【分析】（1）由（2口一孙（&+3 石）=-3 4 化简再结合同=2,忖=3 可求出向量作与石的夹角；（2）要 助 一区与。+3 方垂直，只需（您一5）（万+3 5）=。，化简可求出x的值.【详解】（1）由-3 4 =（2万 一 B）（co s 6 =-,0 （9 设 与Z+B 的夹角为a,则9。=鬻 2=兽兽=卢=|a|a+b|a|-|a+Z?|3 x V 5 5与Z+B 的夹角的余弦值为手.题型六：坐标公式法求平面向量的模一、单选题1.(2021吉林长春市第二十九中学高一期末)已知向量 =(-1,2),B=(X,4),S.a l b,则|*|=()A.2A/5 B.4 万 C.4 6 D.8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x的值，得到向量5的坐标，进而计算其模.【详解】由题意，。.力=-x+2x 4=0,解得x =8,所以各=(8,4),所以=J R=46，故选：C.二、双空题2.(2021北京通州高一期末)已知点A (1,1),点 8 (5,3),将 向 量 而 绕 点 A逆时针r r旋转彳，得 到 向 量 抚，则点c 坐标为;BC=【答案】(T 5)2痴【分析】由于向量而 绕 点 A逆时针旋转，得到向量 衣，结合旋转用两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C坐标，再结合向量的模长公式，即可求解【详解】解：设点C的坐标为&,y),因为点 A (1,1),点 8 (5,3),所 以 血=(4,2),/=(x-l,y-l),因为向量而 绕 点 A逆 时 针 旋 转 得 到 向 量 玩，所 以 福.恁=0，|同=|北|，所以4(x-l)+2(y-l)=0,J i(x-l)2+(y-l)2=2 0,因为逆时针旋转，所以点C的坐标为(T,5),所 以 配=(-6,2),所以|阮 卜 J(-6尸+2?=2回,故答案为：(一 1,5),2 M三、填空题3.(2 0 2 2 青海海东高一期末)已知向量a =(-4,x),B=(3,2),若则卜卜.【答案】2 9【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出x 的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为 九 人 所以 4x 3+2 x =0,得x =6,故同=J(-4+62 =2 后.故答案为：2回.4.(2 0 2 1.北京市育英学校高一期 末)已知向量 =(1,G),%=(6/)则|+病|为【答案】2币【分析】先求出2 +6 行的坐标，再利用模长公式即可求解.【详解】因为向量Z =(l，6),U(A/3,1)所以 +6 另=。,6)+(3,6)=(4,2 6)，所以,+6 6 =42+(2 6=2不,故答案为：2不.5.（2 0 2 1 新疆克拉玛依市第一中学高二期末）已知1 =（苍2）,5=（24 ，若（0-5），瓦，则B+涕卜.【答案】5&【分析】由数量积公式得出x =l，再由模长公式求卜+2 bl.【详解】由（5）j.万得（x-2,j ,2）=0,BPX2-2X+1=0.解得x =l由万+2 行=（5,5）得卜+2/?|=5/2故答案为：5&.四、解答题6.（2 0 2 1 北京昌平高一期末）已知向量二=（1,2）,=（3,-2）.（1）求 卜q；（2）求向量 与向量坂的夹角e 的余弦值；（3）若p|=J 访，且（2 公+0小，求向量 与向量工的夹角.【答案】2 石；伍 丹=亨.65 /4【分析】（1）先求出-3 的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由 百+。，乙 得（2 +。工=0 化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为。=（1,2）,心（3,-2）,所以 2 1=（一 2,4）.所以根一目=小（-2）2+42 =2 石.（2）因为%=1X3+2X（-2）=-1 ,什=A/12+22=A/5,忖3+（-2）2 =g,所以c o s。=-1 N/65|加 逐 x 布 一 65（3）因为（2 a +c）_ L c,所以（2 +2 =0.W2a.c+c=0.所以 2KMeos(“,c)+H=0.即2x&x/i5xcos(a,c)+10=0,所以 cos(a,c)=-因为 e 0,句,所以 词=与.题型七：转化法求平面向量的模一、单选题1.(2021,湖南局一期 末)己知向量a，B的夹角为i，“=(3,4),a-b=l0 AC=c，下列说法正确的是()A.a+b=c B./在 上的投影向量为C.a-hc=ah-c D.|a+c|=/5【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A；根据向量投影的定义，可判断B；分别计r r I*r 1.广，r*一算左、右两边，可判断C；由自+c|12a+q=J(2a+力2 ,计算可判断D.【详解】CDB丁如图，可知 +石=通+册=正=，故 A 正确；由图可知 公 在 3 上的投影向量为,故 B 正确；因为aM,所以 4 =0,所以（/=0 =6,又反 4.0+历=2 历+片=1，所 以 诙 ）=,所 以 酝 声 丽 q,故 c错误；因 为+c|=|2 a +b|=J（2d+b）z=V4 a*2 *4 5+4a -b +b2=,4+1 =V5,故 D 正确.故选：A B D【答案】布【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案.【详解】由题意得，内-q=J（2 Z-历2 =-4 .万+=4|a|-4 p/|-|f e|-c o s 0+|代入计算，得原式=J 4 x I-4 x l x l x-+l =币,故答案为：百4.（2 0 2 1 湖北孝感 高一期末）已知向量,B 满足忖=2 同=2,且向量 与3的夹角为6 0,则检+力卜.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：因为向量九办满足忖=2 同=2,目 句量 与加的夹角为6 0。，所以|2 d +万|=yl 4a +4a-b +h=4+4xl x2x；+4=2 8 .故答案为：2 G.四、解答题5.（2 0 2 1 浙江嘉兴高一期末）已知平面向量入加满足1 菊=2,|=1,alb，若三、填空题3.（2 0 2 1 四川资阳高一期末）已知向量 与B的夹角为苧，且用=1|=1，则 悔 叫=fh=d-2b f n=-3 d +b （团）求 正;（0）求卜机+【答案】（0）-1 0；（0）聒.【分析】（必）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解沅为 即可；（团）首先求出2 痢+五，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解1 2,方+，”.【详解】解：（回）平面向量万，5满足团=2,|5|=1,&,m =a +2b ,n=-3a+b .mn =（a +2b）（-3a +b）=-3a2+2 Z?2-5 a =3 x 4+2 x l =-1 0.（回）因为庆=值+，n=-3d+b .所以 2m +n=2 a +2b -3a +b =-a+5 5 ,.所以1 2 比 +”|=|一 万 +5 b|=yl a2-0a-h+25 b2=,4+25 =屈6.（2 0 2 1 高 一期末）已知口=2,忖=3,（2 a +B）.（-2 坂）二 一 1 9.（1）求向量与 的夹角；（2）求,+2 a【答案】（1）；（2）2-13.【分析】若向量 与5的夹角 为 氏 由已知条件可 得 明2-3 同 卡 际 8-2 印=7 9,即可求向量7与坂的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有归+2 邛=/+4$+4 片，即可求模.【详解】（1）由题意，2/_ 3 不 _2=-1 9,若向量5与加的夹角为。，1 3 2 M-3 p/|-|/?|c o s 0-2|i|=-1 9 ,B P 8-1 8 c o s（9-1 8 =-1 9,得c o s 9 =；,皿=生；3（2）卜+2 囚=a +4a-b +4b =|a|+4 p z|-|/?|c o s y+4|2=5 2,邛+2+夜=2 危优选提升题一、单选题1.（2 0 2 1 重庆高一期末）已知；是单位向量，；与族的夹角是?，且.力=4,则卜()A.g B.1 C.7 2 D.2【答案】D【分析】把a+b=近 的 两边同时平方化简即得解.T T I -1 T【详解】解：由题 a+L=7 得 a +2a.b+b=7,.-.l +2 x|i|x-+|f t|2=72所以|讦+向-6 =0,.1 1|=2 或|1|=一 3 （舍去）故选：D2.（2 0 2 0 天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形A B C D 中，A B =2,Z D A B =6 0,E为CD的中点，则 而.荏 的 值 是（）A.4B.-4C.2D.-2【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出Z g n A f i +gAg,然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得：A E=A D +D E=A D +A B ,-1 -1 -2A B A E=A B（A D +-A B）=A B A D +-A B2 2=2 x 2 x c o s 6 0 +x 4 =4 ,2故选：AI *1 UUU uuu3.（2 0 2 1 河南南阳高一期末）在锐角AABC中，B=6 0 ,AB-AC=2,则A B AC 的取值范围为（）A.（0,1 2）B.-;.1 2 1 C.（0,4 D.（0,2【答案】A【分析】以8为原点，5 4 所在直线为x 轴建立坐标系，得 到 找 出 三 角 形 为 锐 角三角形的A的位置，得到所求范围.【详解】解：以8为原点，8 4所在直线为*轴建立坐标系,V B=60,AB-AC=CB=2,：.c（l,百），设 A（x,o）1 AABC是锐角三角形，A+C=120。，.30A 0.当彳=|时等号成立，所以,苏+3福+2前 2 主展,【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5.（2020 浙江温州高一期末）已知平面向量;，%且满足H=，=W=2,若；为平面单位向量，则 G e+1.e 的最大值（）A.3 B.25/3 C.4【答案】BD.3 g【分析】先根据平面向量的数量积公式求出:与 的夹角，根据条件，可设a=（2,0）,/?=（1,6），再设e=（cosa,sina），根据平I郁向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出归电+目=2W sin（c +。），即可求出结果.【详解】解：17=4=川=2,设；与1 的夹角为6,T/.a-h=a-h-cos0=2x2xcos