中学数学 《对称图形–圆》解答题 教案.pdf

对称图形一圆解答题专练1.(2019秋常熟市期中)如图，4 5 是。的直径，P、C 是圆周上的点，PA=P C.弦 PC交 A B 于点D.(1)求证：Z A Z C；(2)若求乙4 的度数.2.(2019秋相城区期中)如图，四边形A3CD是。O 的内接四边形，点 E 在前上，连接AE,D E,延长5 4 到点F,若/砌。=2 N E.求证：AB=AD.3.(2018秋张家港市期末)如图，是。的直径，AC是。的弦，NACB的平分线交。0 于点 ,若 4 8=1 0,求 BO的长.4.(2019越秀区校级二模)如图，A 8是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，且 0。/BC,0。与 AC交于点E.(1)若N B=7 0。,求/。的度数；(2)若 AB=8,A C=6,求。E 的长.AB5.(2018秋吴江区期中)如图，弦 A 8与 CQ相交于。内一点P,PO PD.(1)试说明：(2)设 以=4,PB=3,C=8,求 PC、P 的长.6.(2018秋丹阳市校级月考)如图，在。中，直径AB与 弦 CQ相交于点P,ZCAB=40,/APO=65(1)求 的 大 小；(2)己知圆心。到 8。的距离为3,求 4。的长.7.(2018秋吴江区校级月考)如图，AB是。的直径，C 是区4 延长线上一点，点 力在上，且 CD=O8,CO的延长线交。于点E.若NC=19,求NBOE的度数.8.(2017秋苏州期中)如图，已知。中直径A 8和弦AC交于点A,点。，E 分别是半圆和众的中点，连接。E 分别交AB,4 c 于点F,G.(1)求证：AF=AG(2)连接 C E,若 A尸=4,BF=6,ZA=30,求弦 CE 的长.9.(2017秋相城区期中)如图，尸是。外一点，C 是。上一点，求证：ZACBZAPB.p10.(2017秋吴江区校级月考)如图，点 A、E、B、C 在所给圆上,A CE=N B CD.求证：CE是所给圆的直径.11.(2017秋苏州期中)已知A 8是。的直径，C 是 A 4延长线上的一点，点。在上。上，且 C=OA,的延长线交0 0 于点E,若/C=2 0 .(1)求/C E O 的度数.(2)求/8 0 E 的度数.12.(2016秋太仓市期末)如图，已知圆O,弦 AB、CD相交于点(1)求证：AMMB=C MMD；(2)若 M 为 CO 中点，且圆O 的半径为3,O M=2,求的值.13.(2016秋工业园区期末)已知：如图，8 c 是半。的直径，点。在半圆O 上，点 A是弧8。的中点.AE BC,垂足为E,8。分别交AC于点F,G.(1)求证：AF=B尸；(2)点。在何处时，有 A G=FG?指出点。的位置并加以证明.1 4.(2 0 1 7 东莞市校级模拟)如图，。的内接四边形A B CD两组对边的延长线分别交于点 E、F.(1)当时，则 N AQ C=；(2)当/A=55，Z E=3 0 时，求NF的度数；(3)若/E=a,ZF=p,且 aW0.请你用含有a、0的代数式表示/A 的大小.1 5.(2 0 1 6 秋工业园区校级月考)如图，A A B C是。0的内接三角形，A E是。的直径,A F是。O 的弦，AF BC,垂足为D(1)求证：Z B A E Z C A D.(2)若。的半径为 4,AC=5,CD=2,求 C F.1 6.(2 0 1 5秋吴江区期末)如图，点。是等腰 ABC 底边的中点，过点A、B、。作。.(1)求证：A B 是 的 直 径；(2)延 长 CB 交。于点E,连结QE,求证：D C=D E.1 7.(2 0 1 5秋太仓市期末)如图，A B 是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且N B A C=2 0 ,而=而.求 四 边 形 A B C D 各内角的度数.A o B18.(2015秋张家港市校级月考)如图，A、B 为。上的两个定点，P 是。上的动点(P不与A、8 重合)，我们称/A P 8 为。上关于点A、B 的滑动角.已知/A P 8 是。上关于点A、B 的滑动角，(1)若 4B 为。的直径，则/APB=；(2)若 半 径 为 1,AB=近,求/4 P B 的度数；(3)若。半径为1,AB=42,AC=百，求NBAC的度数.19.(2017秋张家港市期末)如图，在O O 中，两条弦4C,8 0 垂直相交于点E,等腰CFG内接于。，FH为。直径，且 AB=6,CD=8.(1)求。的半径；(2)若 C F=C G=9,求图中四边形CFG”的面积.20.(2017秋工业园区校级月考)已知：如图，BD、CE是ABC的高，M 为 BC的中点.试说明点8.C.D.E 在以点M 为圆心的同一个圆上.写出经过A、B、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：(，)2 2.(2 0 0 9茂名)已知：如图，直径为0 4的O M与x轴交于点0、A,点B、C把0 分为三等份，连接MC并延长交y轴于点。(0,3)(1)求证：OM Z)名8 4 0；(2)若直线/：把 的 面 积 分 为 二 等 份，求证：扬+=0.2(0,3)2 3.(2 0 1 9秋常熟市期中)如图，在矩形480中，AB Sc m,A =6 c m,点P从点A出发沿A B以2c mis的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿B C以lc m/s的速度向终点C匀速运动，P、。中有一点到达终点时，另一点随之停止运动.(1)几秒后，点 尸、。的距离是点P、。的距离的2倍；(2)几秒后，OP。是直角三角形；(3)在运动过程中，经过 秒，以P为圆心，A P为半径的。尸 与 对 角 线 相 切.2 4.(2 0 1 9秋苏州月考)如图，X A B C外切于。，切点分别为D、E、F,BC=7,0。的半径为我，(1)Z A=6 0 ,求ABC 的周长.(2)若乙4 =7 0 ,点M为。0上异于F、E的动点，则N F M E的度数为 .EoB D C2 5.(2 0 1 9秋苏州月考)如图，在平面直角坐标系中，O P切x轴、y轴于C、D 两 点,直线交犬轴、了轴的正半轴于A、B两点，且与。尸相切于点E.若AC=4,BD=6.(1)求0P的半径；(2)求切点E的坐标.2 6.(2 0 1 9姑苏区校级二模)如图，AC B内接于圆O,4 B为直径，C D L A B 与 点 D,E为圆外一点，E O L A B,与B C交于点G,与圆。交于点尸，连接E C,且E G=E C.(1)求证：E C是圆。的切线；(2)当/ABC=2 2.5 时，连接 C F,求证：AC-CF-,若A O=1,求线段F G的长.2 7.(2 0 1 8秋太仓市期末)如图，A 8是。的直径，A F是0。的弦，A E平分N 8 A F,交。于点E,过点E作直线交A尸的延长线于点。，交4 B的延长线于点C.(1)求证：C D是。的切线；(2)若 AB=1 0,A F=6,求 AE 的长.2 8.(2 0 1 9东丽区一模)在。中，A 8为直径，C为。上一点.(1)如图，过点C作。的切线，与A 8的延长线相交于点P,若/C 4 B=2 8 ,求N尸的大小；(2)如图，。为众的中点，连接。交4 c于点E,连接O C并延长，与A B的延长线相交于点P,若N C 4 B=1 2 ,求/P的大小.图图2 9.(2 0 1 9沈丘县一模)如图，钝角 ABC中，ABAC,B C=2如,O是边4 8上一点，以。为圆心，0 8为半径作。O,交边4 B于点D,交边B C于点、E,过E作。的切线交边A C于点F.(1)求证：EFLAC.(2)连结。F,若N ABC=3 0 ,且。尸B C,求。0的半径长.3 0.(2 0 1 8秋常熟市期中)如图，。的直径A B的长为2,点C在圆周上，Z C A B=3 0Q.点。是圆上一动点，OE /交C 4的延长线于点E,连接 8,交A B于点F.(1)如 图1,当Q E与。0相切时，求N CF B的度数;(2)如图2,当点F是C 的中点时，求 C OE的面积.3 1.(2 0 1 8抚顺)如图，R t/XA B C中，ZA B C=9 0 ,以A B为直径作。0,点。为。上一点，且CZ)=C8,连接。并延长交C B的延长线于点E.(1)判断直线C。与。的位置关系，并说明理由；(2)若 BE=4,DE=8,求 A C 的长.32.(2 0 1 8苏州)如图，A 8是。的直径，点C在。上，A O垂直于过点C的切线，垂足为力，C E垂直A B,垂足为E.延长D 4交。于点F,连接F C,F C与A 8相交于点G,连接OC.(1)求证：C D=C E；(2)若A E=GE,求证：CE。是等腰直角三角形.33.(2 0 1 7秋吴中区期末)如图，A B是。的直径，弦 平 分N 5 4 C,过点。作。EJ _A C 于 E.(1)求证：E C是00的切线；(2)若ED,A B的延长线相交于F,且A E=5,E F=12,求B尸的长.34.(2 0 1 8秋吴中区月考)如图，A B是。的直径，点C在。0上，过点C作射线C M且满足/A C M=ZABC.(1)判断C M与。的位置关系，并证明；(2)延长B C到 ,使B C=C ,连接AO与C M交于点E,若。的半径为3,ED=2,求的外接圆的半径.35.(2 0 1 8秋丹阳市期中)如图，4 3为。的直径，点C在。上，延长B C至点。，使DC=CB,延 长 与。0的另一个交点为E,连接A C,C E.(1)求证：Z=Z D；(2)若 4 B=4,B C-A C=2,求 CE 的长.E36.(2 0 1 8秋姑苏区期中)如图，已知直线外交。于A、8两点，A E是。的直径，点C为。上一点，且A C平分NHE,过C作垂足为D.(1)求证：C Q为。的切线；(2)若C =4,。的直径为1 0,求8。的长度.37.(2 0 1 7秋张家港市校级月考)如图，A B是。的直径，。过BC的中点。，且。EL A C于点E.(1)求证：Q E是。的切线；(2)若N C=30 ,CD=y/s，求。的半径.38.(2 0 1 7秋相城区期中)如图。0是A A B C的外接圆，/A B C=4 5,延长8 C于O,连接A Q,使得A OOC,A B交O C于E.(1)求证：A O与00相切；(2)若A E=2遥，C E=2.求。的半径和A B的长度.39.(2 0 1 7秋苏州期中)如图，/是 A 8 C的内心，4的延长线交a A B C的外接圆于点).(1)求证：N B A D=N C B D；(2)试判断B D与1 D相等吗？请证明.A4 0.(2 0 1 7 虎丘区校级二模)如图，在 A B C中，/C=9 0 ,点。在 AC 上，以 O A为半径的。交 AB于点Q,BO 的垂直平分线交BC 于点E,交 于 点 F,连接。E.(1)求证：直线O E 是。的切线；(2)若 A C=6,B C=8,O A=2,求线段 A Q 和。E 的长.4 1.(2 0 1 7 工业园区校级二模)如图，在 A B C中，ZA=4 5.以4B为直径的。与 B C相切于8,交 AC 于点。，C O 的延长线交。于点E,过点作弦E F L A 8,垂足为点G.(1)求证：EF CB,A D=C D；(2)若 A B=1 0,求 E F的长.4 2.(2 0 1 7 姑苏区校级二 模)如图，在 R t ZV I B C中，N C=9 0 ,点。、E、F分别在A C、B C、AB边上，以AF为直径的。0恰好经过。、E,且 DE=EF.(1)求证：8C 为。的切线；(2)若/8=4 0 ,求/C E 的度数；(3)若 CD=2,C E=4,求。的半径及线段B E 的长.AOB答案与解析1.(2019秋常熟市期中)如图，A 5是。的直径，P、C 是圆周上的点，PA=PC.弦 PC交AB于点D.(1)求证：/4=/C；(2)若OD=D C,求乙4 的度数.【分析】(1)连 接OP,构造全等三角形(PO AZiPO C),由该全等三角形的性质证得结论；(2)设/A=/C=x ,利用圆周角定理和三角形内角和定理列出方程，由方程思想解答.【解答】Q)证明：如图，连接OP.,P A=P C：.PA=PC.在尸OA与P OC中，P A=P C=N B C Q,再利用/以。=2NE,NAC）=/E 得到N A C B=N 4C =/E,从而得到结论.【解答】证明：连 接 C 4,如图，V Z M）+ZBAD=180o,ZBAD+ZBCD=S00,:.N F A D=N B C D,:N F A D=2 N E,：.N B C D=2 N E,而 NAC=/E,，Z A C B=Z A C D=NE,.窟=俞，【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆心角、弧、弦的关系.3.（2018秋张家港市期末）如图，4 8 是0 0 的直径，AC是。的弦，NAC8的平分线交。于点O,若 A B=1 0,求 8。的长.D【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=NAQB=90,再根据角平分线的定义可得/OCA=NBC,然后求出A O=B O,再根据等腰直角三角形的性质其解即可.【解答】解：如图，连接A。，是。的直径，.NACB=NAQB=90,V Z A CB的平分线交。0 于点D,：.Z D C A=Z B C D,A D=B D-：.AD=BD,.在 Rt/XABO 中，A D=B D=A B=X 0=5&,2 2即 B D=5-/2-【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是得出ABQ是等腰直角三角形.4.（2019越秀区校级二模）如图，A 8是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，且/BC,。与 AC交于点E.（1）若NB=70,求的度数；【分析】（1）根据圆周角定理可得/ACB=90,则/C A B 的度数即可求得，在等腰A。中，根据等边对等角求得NZM。的度数，则NCA。即可求得；（2）易证0 E 是AABC的中位线，利用中位线定理求得0 E 的长，则 OE即可求得.【解答】解：（1）二 AB是半圆。的直径，.NAC8=90,又，：0D BC,.NAOO=/B=70,：.ZC AB=W-ZB=90-70=20,：OA=OD,N ZM 0=N A O0=8 0。_ N A 0 D=1 8 0。TO。=55。,2 2：.Z C A D=Z D A 0-ZC AB=55 -20=35；(2)在直角 A B C 中，B C=梯 2 _AC2=$2 一 6 2=2 救,?OELAC,：.AE=EC,又：040B,又：O O=LB=4,2_:.D E=0 D-0 E=4 -R【点评】本题主要考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明0 E 是A A B C的中位线是解答此题的关键.5.(2 0 1 8 秋吴江区期中)如图，弦 AB与 C Q相交于。O 内一点尸，P O P D.(1)试说明：以Cs z p/；(2)设 以=4,PB=3,CD=S,求 P C、P 的长.b-/【分析】(1)由圆周角定理得到N A=N Q,N C=N B,根据相似三角形的判定定理证明；(2)根据相交弦定理得到【解答】(1)证明：由圆周角定理得，Z A=Z D,N C=N B,:Z k Cs X P DB；(2)解：由相交弦定理得到，PAPB=P G P D,即 3 X 4=P C X (8 -PC),解得，P C=2 或 6,则P D=6或 2,:P O P D,：.PC=6,PD=2.【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相交弦定理，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.6.(2 0 1 8 秋丹阳市校级月考)如图，在。中，直径A B 与 弦 C 相交于点P,N C A B=4 0 ,ZAPD=65(1)求 的 大 小；(2)已知圆心。到 8。的距离为3,求 A O的长.PAD【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得NCAB=NCQB=40,然后根据平角是180求得/BPD=115；最后在BP。中依据三角形内角和定理求N B 即可；（2）过 点 O 作于点E,则 O E=3.根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OEA；又 由0是直径A B的半径可以判定O 是 A 8 的中点，由此可以判定O E是 的 中 位 线；最后根据三角形的中位线定理计算A D的长度.【解答】解：（1）./C ABn/C O B（同弧所对的圆周角相等），NC4B=40,A ZCDB=40 ；又./AP=65,：.ZBPD=l5；.在ABP力中，.,.ZB=180-Z C D B-ZBPD=25；（2）过点O 作O E L B D于点E,则OE=3.：AB是直径，.-.AD LBD（直径所对的圆周角是直角）；J.OE/AD-,又是AB的中点，是AB。的中位线，.AD=2OE=6.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、圆周角定理.解答（1）时，还可以利用外角定理来求N B 的度数.7.（2018秋吴江区校级月考）如图，AB是。的直径，C 是 BA延长线上一点，点。在。0上，且 C=OB,CQ的延长线交。于点E.若NC=19,求NBOE的度数.【分析】连 接。，利用半径相等和等腰三角形的性质求得/E D O,从而利用三角形的外角的性质求解.【解答】解：连 接。,：C D=O A=O D,ZC=19,.NOZ）E=2/C=38,:O D=O E,.NE=NE0=38,；./E O B=/C+N E=38+19=57.【点评】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，作出恰当的辅助线是解答此题的关键.8.(2 0 1 7秋苏州期中)如图，己知。0中直径A B和弦A C交于点A,点。，E分别是半圆A 8和众的中点，连接。E分别交A8,A C于点F,G.(1)求证：A F=A G；(2)连接 C E,若 4尸=4,BF=6,Z A=3 0 ,求弦 C E 的长.【分析】(1)证明：连接O D,OE,O E 交 A C 于 H,如图，利用垂径定理得到O E L A C,然后证明 N A F G=Z A G F 得至U A F=A G；(2)先确定。的半径为5,在Rt Z XA。”中利用含3 0度的直角三角形三边的关系得到OH=LOA=-,则 利 用 垂 径 定 理 得 到A H=C”=殳 应，然后利2 2 2 2 2用勾股定理计算CE.【解答】(1)证明：连 接。),OE,O E交A C于H,如图，:点。，E分别是半圆A B和众的中点，：.ODAB,OE1.AC,.N O O F+N O F Q=9 0 ,ZHEG+ZHGE=90 ,：Z O D F Z H E G,：.N O F D=N E G H,：Z O F D ZAFG,N E G H=N A G F,：.Z A F G=ZAGF,.Af=AG；(2)解：T AB 为直径，AF=4,BF=6,二。的半径为5,在 Rt AO/7 中，：ZA=3 0,:.OH=LOA=-,2 2 2：.HE=5 -2 2,：OHrAC,:.AH=CH=3.,2在 R dCEH中,C E=【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和勾股定理.9.（2 0 1 7 秋相城区期中）如图，P是。外一点，C是。上一点，求证：Z A C B Z A P B.【分析】连接4 M 根 据 圆 周 角 定 理 得 再 由 外 角 的 性 质 可 得 出：N A C B NAPB.【解答】证明：如图，连接4 N,N A N B=ZACB,：N A N B=ZAPB+ZNAC,：.N A N B NAPB,：.Z A C B Z A P B.【点评】本题考查了圆周角定理，以及外角的性质，外角大于和它不相邻的任何一个内角.1 0.（2 0 1 7 秋吴江区校级月考）如图，点 A、E、B、C在所给圆上，C 是 4 8 C 的高，ZA C E=N B C D.求证：C E是所给圆的直径.【分析】连 接A E,根据圆周角定理得到N E=N B,根据题意证明/C 4E=90,根据9 0 的圆周角所对的弦是直径证明即可.【解答】证明：连接AE,：C是AABC的高，.,.ZBCD+ZB=90,NACE=NBCD,：.ZACE+ZB=90a,由圆周角定理得，NE=NB,：.ZACE+ZE=90,SPZCAE=90,；.C E 是所给圆的直径.【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握9 0 的圆周角所对的弦是直径是解题的关键.11.（2017秋苏州期中）已知AB是。的直径，C 是 BA延长线上的一点，点。在上0。上，且 C=OA,CZ）的延长线交0 0 于点E,若NC=20.（1）求/C E。的度数.（2）求/B O E 的度数.【分析】（1）连接。，利用半径相等和等腰三角形的性质求得N E D O,从而可得到/E的度数；（2）依据三角形的外角的性质可知/E O 8=/C+/【解答】解：（1）连 接OD,：C D=O A=O D,Z C=2 0 ,.Z(9 Z)=2 Z C=4 0o,：O D=O E,：.ZC EO=ZED O=AO .(2)/E O B=N C+N E=4 0 +2 0 =6 0 .【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.1 2.(2 0 1 6秋太仓市期末)如图，已知圆。，弦A8、C C相交于点(1)求证：(2)若 例 为CQ中点，且圆。的半径为3,O M=2,求的值.【分析】(1)连接A。、B C,利用同弧所对的圆周角相等，证明(2)连 接O M、O C,由于M是C。的中点，由垂径定理得O A/_ L C L),利用勾股定理可求出CM的值，根 据(1)的结论，求出【解答】解：(1)连接A。、BC.V Z A=Z C,Z D=Z B,A A DM s /C BM AM 二 DM即 A M-M B=C M-M D.(2)连接 O M、OC.为CD中点，A O M I C D在 Rt Z XO M C 中，V OC=3,O M=2CD=C=7OC2-OH2=V32-22=V5由（1）知=5.BB【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目.（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了 A M 与 8 M 的积.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等13.（2016秋工业园区期末）已知：如图，8 c 是半。的直径，点。在半圆。上，点 A是弧8。的中点.A E V B C,垂足为E,8。分别交AE,AC于点F,G.（1）求证：A F=B F；（2）点。在何处时，有 AG=FG?指出点。的位置并加以证明.【分析】（1）连接A B,由 BC是半。的直径，得到NBAC=90,根据余角的性质得到/5 4 E=N C,根据圆周角定理得到N A B O=N C,等量代换得到/ABZ）=/8 A E,于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到N C=N E 8 F,根据余角的性质得到N B A E=N C,等量代换得到N AFG=N G AF,于是得到结论.【解答】（1）证明：连接A8,是半。的直径，A ZBAC=90,：.ZC+ZABC=90 ,：AE1 BC,：.ZBAE+ZABE=90 ,:.N B A E=N C,点A 是弧BO的中点，*.AB=AD，/A B D=/C,N A B D=N B A E,：.AF=BF；（2）解：当 定=量 寸，有 AG=FG,：.Z C=Z E B F,；NB4C=/AEC=90,A Z G A F+Z B A E=Z E A C+Z C=9 0Q,:.N B A E=N C,:.NEBF=N B A E,N A F G=NBFE,：.Z A F G+Z F B E=ZBAF+ZFAG=90 ,：.N A F G=N G A F,：.AG=FG.【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键.14.(2017东莞市校级模拟)如图，Q O的内接四边形A B CD两组对边的延长线分别交于点 E、F.(1)当尸时，则 N 4 D C=9 0 ；(2)当乙4=5 5 ,Z =3 0时，求NF的度数；(3)若N E=a,且a W 0.请你用含有a、。的代 数 式 表 示 的 大 小.【分析】(1)由NE=NF,易得N A Q C=N A B C,又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；(2)由N A=5 5 ,Z =3 0,首先可求得N A 8C的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得N A O C的度数，则可求得答案；(3)由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即 可 求 得18 0 -Z A -ZF+18 O0-Z A-Z E=18 0,继而求得答案.【解答】解：(1),:N E=N F,Z D C E=Z B C F,Z A D C=Z E+Z D C E,Z A B C=ZBC F+NF,：.N A D C=ZABC,/四边形A B C D是。O的内接四边形，A ZAD C+ZABC=1SO ,/.Z A D C=9 0a.故答案为：9 0 ；(2).,在a A B E 中，N A=5 5 ,Z E=3 0,./A B E=18 0-Z A -Z E=9 5 ,Z A D F=18 0 -ZABE=S5 ,在 A O F 中，N/=18 0-Z A D F-Z A=4 0；(3)V Z A D C=18 0 -Z A -Z F,N 4 8 C=18 00-N A -N E,V ZADC+ZABC=ISO ,.*.18 00-NA-N尸+18 0-Z A-Z E=18 0,.,.2Z A+Z E+Z F=18 0,Z A=9 0-NE+NF=9 0。_ +J.2 2【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆的内接四边形的性质.注意圆内接四边形的对角互补.15.(2016 秋工业园区校级月考)如图，A B C 是。的内接三角形，A E是。的直径，AF是。的弦，A F L B C,垂足为。.(1)求证：Z B A E Z C A D.(2)若。0 的半径为 4,AC=5,C D=2,求 C F.【分析】（1）由圆周角定理得出N A B E=9 0,得出/8 A E+N B E A=9 0 ,由A F L B C得出乙4 C ）+/C 4 O=9 0 ,由圆周角定理得出N B E 4=N A C ）,即可得出结论；证 明A B ESAVJC,得出对应边成比例BE=AE,求出B E,由圆周角定理熊二静,C D A C得 出C F=B E=2 g即可.5【解答】（1）证明：AE是。的直径，./A B E=9 0,ZBAE+ZBEA=90 ,：AF1 BC,：.ZADC=90 ,Z/1C D+Z C A D=9 0 ,又,./B E A=N A C O,：.Z B A E Z C A D；（2）解：,./A B E=N A C=9 0,N B E A =NACD,：.A B E s&O C,B E _ A E pn B E _ 8C D -A C 2 5解得：B E=也，5由（1）得：Z B A E=Z C A D,B E =C F.：.C F=BE=1-.5【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似求出8E是解决问题的关键.16.(2015秋吴江区期末)如图，点。是等腰ABC底边的中点，过点A、B、。作。0.(1)求证：AB是。的直径；(2)延长CB交。于点E,连结Q E,求证：D C=D E.【分析】(1)连接8 0,根据等腰三角形的三线合一得到8O LA C,根据圆周角定理证明结论；(2)根据等腰三角形的性质、圆周角定理以及等量代换证明即可.【解答】(1)证明：连接8。，：BA=BC,A D=D C,：.BD AC,：.ZAD B=9Q ,.AB是。的直径；(2)证明：；BA=BC,Z A=Z C,由圆周角定理得，NA=NE,?.Z C=Z,：.D C=D E.【点评】本题考查的是圆周角定理和等腰三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半以及等腰三角形的三线合一是解题的关键.17.(2015秋太仓市期末)如图，AB是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且20,AD=CD.求四边形ABC。各内角的度数.【分析】连 结B C,如图，根据圆周角定理得NACB=90,则利用互余可计算出NB=70,再根据圆内接四边形的性质计算出/力=180。-ZB=11O0,接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧人。=弧 8 得到N D 4 C=/O C A=3 5 ,然后计算N D 4 8=/Z M C+/B 4 C=5 5 ,Z D C B Z D C A+Z A C B=125 .【解答】解：连结BC,如图，是半圆的直径，A Z A C B=9 0,V ZBAC=20 ,A Z B=7 0,:四边形A 8 C 是 圆。的内接四边形，.Z D=18 0-Z B=110,.弧 40=弧 C ,：.Z D A C=Z D C A=1-(18 0-110 )=3 5 ,2A Z D A B=ZDAC+ZBAC=5 5 ,Z D C B=ZDCA+ZACB=25 ,即四边形A B C O 各内角的度数发你为5 5 ,7 0 ,125 ,110 .【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，9 0的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆内接四边形的性质.18.(2015 秋张家港市校级月考)如图，A、8为。上的两个定点，P 是。上的动点(P不与A、8重合)，我们称N AP B为。上关于点A、B的滑动角.已知N A P B 是。上关于点A、8的滑动角，(1)若 A8为。的直径，则N A P B=9 0 ；(2)若。半径为1,AB=&,求/4 P B 的度数；(3)若。半径为1,AB=4 2,AC=J&,求乙B A C 的度数.【分析】(1)由AB为。0 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案；(2)由。半径为1,A B=可求得NAO8的度数，又由圆周角定理即可求得N A P 8的度数；(3)根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与 A B在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论.【解答】解：(1)为。0 的直径，A ZAPB=90.故答案为：9 0 ；(2)连接 O A,OB,AB,；OO 半径为 1,A B=&,：.OA=OB=,A B=H:,OA2+OB2AB2,，NAOB=90,当点 P 在优弧 A8 上时，Z A P B=L z A O B=4 5Q,2当点 P 在劣弧 AB 上时，NAPB=180-45=135,.NAPB 的度数为：45 或 135；(3)解：分别作0D_LA8,0 E 1A C,垂足分别是、E.：OEVAC,ODAB,:.AE=1AC=-,AO=LB=返，2 2 2 2 _sin ZAOE=AE_如,sin Z A O D=9=返,AO 2 AO 2NAOE=60,ZAOD=45,：.ZBAO=4 5：.Z B A C=4 5a：.ZBAC=5,Z C A O=()0o-60=30,+30=75,或N8AC=45-30=15.或 75.【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理及直角三角形的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.19.(2017秋张家港市期末)如图，在。0 中，两条弦AC,8。垂直相交于点E,等腰CFG 内接于。，FH 为。O 直径，且 AB=6,C=8.(1)求。0 的半径；(2)若 C F=C G=9,求图中四边形CFG”的面积.【分析】（1）如图作。M=A B,连接C M.则AB=DM，只要证明CM是直径即可解决问题；（2）设直径C M交F G于N,设FN=x,O N=y,构建方程组求出x、y即可解决问题；【解答】解：（1）如图作连接C M.则 篇=谕，A D=B N-：.NABD=NMDB,V ZABD+ZBAE=90,NBAE=NBDC,：.ZMDB+ZBDC=90 ,：.NCDM=90,.CM是直径，*,CM=VCD2+D M2=V82+62=10,二。的半径为5.(2).FH是直径,：.ZFCH=90,*,C H=N 02_g2=A/T9设直径CM交 FG于 N,设 FN=x,ON=y,f o 2则有 x+y =2 5 ,x2+(5+y)2=8 1 9 V 19x-io解得，3 1IF可得 GH=2ON=骂，FG=2FN=Hi.,5 5S 四边形 CFGH=5ACFH+SAFGW=2 5 2 V 192 5BEHAK/1 v y N 1 /M【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型.2 0.(2 0 17 秋工业园区校级月考)已知：如图，B Z)、C E 是 A 8 C 的高，M 为 BC的中点.试说明点8.C.D.E 在以点M 为圆心的同一个圆上.【分析】分别连接ME、M F,根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到M E=M D=M C=M B,可证得结论.【解答】证明：连接ME、MD,:B D、C E 分别是 4 B C 的高，M 为 BC的中点，：.M E=M D=M C=M B=l j i C,2.点B、C、D、E 在以点“为圆心的同一圆上.【点评】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到M E=M F=M C=M B是解题的关键.2 1.(2 0 10 秋苏州期中)如图，已知直角坐标系中，A (0,4)、B(4,4)、C(6,2),写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：(2 ,0 )【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦A8和 8C的垂直平分线，交点即为圆心.【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,可 以 作 弦 和B C的垂直平分线，交点即为圆心.如图所示，则圆心是(2,0).故答案为：2,0.【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置.2 2.(2 0 0 9茂名)已知：如图，直径为0 4的。例与x轴交于点。、A,点8、C把也分为三等份，连接MC并延长交y轴于点力(0,3)(1)求证：O M Q且B A O；(2)若直线/：把0M的面积分为二等份，求证：后+6=0.【分析】题目涉及的范围包括三角形，圆形和直线等知识，范围比较广，要细心分析,认真领会题目意思.【解答】证明：(1)连接,:B、C把也三等分，N 1=N 5=6 O ,1分又，/2=工/5=3 0 ,2 分2又：0 A 为0M 直径，A ZABO=90 ,：.A B=L o A=O M,Z 3=6 0 ,3 分2：.Z1 =Z3,N Q O M=/A B O=9 0 ,4 分/1=N 3在 O M O 和 B A O 中，.O M=A B 5 分,ZD0M=ZAB0：./OMD/BAO(A S A).6 分(2)若直线/把。”的面积分为二等份，则直线/必过圆心M,7分VD(0,3),Z l=6 0 ,0D 3 广M(6，o),8 分 _把 M(V 3 0)代入 y=A x+6 得：f3 k+b=0.【点评】这种题目是在中考大题经常出现的综合性题，平时要多做类似的题目，练习多了也不算难.23.(2019 秋常熟市期中)如图，在矩形A B C。中，A B=8 c?，A D b c m,点尸从点A出发沿A B以2c m/s的速度向终点B匀速运动，同时点。从点B出发沿B C以 Ic r o/s 的速度向