2021-2022学年湖北省武汉市高一年级上册学期期末模拟（一）数学试题（解析版）.pdf

2021-2022学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟(一)数学试题一、单选题I.已知全集/=口，集合4 =卜 卜=丁+3,/?,B =x|-2x 4 ,则图中阴影部分表示的集合A.2,3 B.(2,3)C.(2,3 D.2,3)【答案】B【分析】首先求得集合A,结合图象求得正确结论.【详解】y =x2+3 3,所以A =3,小)，图象表示集合为g：A)c 3,、,A =(,3),WA)C8 =(-2,3).故选：B2.设eR,则“。培 展 是5。9的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】招-3 白=0。?=s in 0l ,但e =0,s in ：,不 满 足 但 一 与 j所以12 12 o 2 2 12 12是 充 分 不 必 要 条 件，选A.【解 析】充要条件【名师点 睛】本 题 考 查 充 要 条 件 的 判 断，若 p=q,则 夕是 夕的 充 分 条 件，若 q n p,则2是q的 必 要 条 件，若 1 口,则。是q的 充 要 条 件；从 集 合 的 角 度 看，若4右8,则A是8的 充 分 条 件，若8 =4,则A是8的 必 要 条 件，若A=8,则A是8的 充 要 条 件，若A是8的 真 子 集，则A是B的 充 分 不 必 要 条 件，若B是A的 真 子 集，则A是B的必要不充分条件.3.己知s in(a-J =,贝!Jcos(2a+g)=()A.巫 B,一 巫 C.-D.-8 8 8 8【答案】D【分析】利用诱导公式可得cos(a+与)=-：,再由二倍角余弦公式求co sb a+学.12 4 I 6 J【详解】由sin(a-=)=-cosg+(a-3)=-cos(a+)=：,即cos(a+岑)=一：,12 2 12 12 4 12 4又 cos(2a+K)=2cos2(a+K)-l=一 1.故选：D4.基函数/(x)=(/-2 a-2)x在(0,+向 上单调递增，则g(x)=b+1 0 l)过 定 点()A.(1,1)B.(1,2)C.(-3,1)D.(-3,2)【答案】D【解析】利用已知条件得到-2“-2 =1求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.【详解】由题意得：。2一 2。2=1 =。=1 或 4=3,又函数“X)在(0,+8)上单调递增，则 a=3,则 g(X)=b3+l(b l),当 x+3=0=x=3 时，g(-3)=2,则 g(x)=+“+1仅 1)过定点(-3,2).故选：D.5.已知函数 刈=1%三 等 在区间(T 3 上单调递减，则实数。的 取 值 范 围 是()A.卜 母 B.&4 C.1 豹)D.卜 契【答案】C【分析】求出函数/*)的定义域，由单调性求出a 的范围，再由函数在(-1,3上有意义，列式计算作答.【详解】函数/(X)=l ongY 4-4,-定义域为(,-3)5 3，田)./-(%)=Iog3(a+4=-=3)，x+3 x+3因a+T 在(Y，-3)，(3,c)上单调，则函数X)在(YO,-3),(3,)上单调，而函数f(x)在区间(-1,3上单调递减，必有函数f(x)在(-3,+8)上单调递减，而 y=log3X在(0,y)上递增，则 丫 =4+三 学 在(一 3,户)上4递减，于是得4 3。0,解得,匕 4 0由V x 1,3,f(x)有意义得：”,解得-“4 4,因此，-l,再利用绝对值的几何意义，去掉绝对值，再根据恒成立求解.【详解】解：令/(x)=|x-a|+k+l|-,(1)当a T 时，当 元 时，/(%)=-X+67-(X+1)-6L=-(2+6 Z)X+61-1,若-2 a -l 时，x)递减，矶 加=。)=-(/+。+1)/(a)=-(a2+a+l)/(-l)=-l,不成立；(2)当a=1 时，当 X4-1 时/(x)=-2(x+l)-依=-(2+)x-2,f(x)递减，/(x)inin=/(-!)=-1,不成立；当x 1 时，/(x)=2(x+l)-or=(2 a)x+2x)递增，/(x)/(-l)=-l,不成立；(3)当a T时,当xWT 时，/(x)=-x+a-(x+l)-or=-(2+(z)x+a-l,/(x)递减，/(x)min=/(-l)=2a+l 0,解得a 2-；,当一1cxa时，/(x)=-x+tz+(x+l)-ar=-ar4-7+l,若-l /(-l)=2+l 0,解得-*4 0,若4 0,则/(x)递减，/(x)/()-a2+a+l 0,解得当xN a时，/(x)=x-a+(x+l)-ar=(2-a)x-a+l,若一l0,解得号若a2,递减，无最小值，不成立；综上：a的取值范围是J等故选：B7.己知“X)是定义在(0,+8)上的单调函数，满足/(/21nx+2)=e 1,则函数x)的零点所在区间为()A.(0,点)B.(*)C,(%1)D.(U)【答案】C【解析】设/(X)-21nx+2=r,即/(x)=e*+21nx-2+r,f(t)=e-l再通过函数/(x)的单调性可知，即可求出 的值，得到/(x)函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.【详解】设力一/-21nx+2=f,B|J/(x)=er+21nx-2+r,f(t)=e-l,因为f(x)是定义在(0,+B)上的单调函数，所以由解析式可知，f(x)在(0,+向上单调递增.而/=e 2+f,f(f)=e-l,故 f=l,即 f(x)=e+21nx-l.因为l)=e T 0,=+21ng-l=e，-3,由于l n e：-l n 3=；-l n 3 0,即 有/3，所以，(5=+-3 0.故|1)1l n(x2-4 x+5),x 1 若关于x的不等式/(X)/(a r+1)的解集中有且仅有两个整数，则实数。的取值范围为()A.2 1 12一 号 一5)5,亏B.2 2D.(,-)3 3【答案】A【分析】首先由解析式得f(l +f)=/(lT),得出x)关于x =l对称，再得出/(x)=l n M+l)在 1,+8)上单调递增，将原不等式转化为卜-1|1 ,0 0时，/(I +Z)=I n (1 +O2+1 =I n(Z2+2 Z +2)/(I -0 =I n (1 -r)2-4(I-/)+5 =I n (r2+2 r +2),则/(l +f)=/0T),即x)关于x =l对称又当x21时，/(x)=l n f在定义域上单调递增，/=*2 +1在口,内)上单调递增，故/(2=呵/+1)在 1,+8)上单调递增，所以由/(x)/(以+1)得上一“卬+1-1|,g p|x-l|1 时，上一1|0,此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；若|a|=l,则卜-1|0,此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去;当0 时 1,且XHO时，|,得一|水？同,血 6 充分条件的是()A.|x-l|ll B.10 1000 C.2X2-3X-5 0 D.log2x 4【答案】BD【解析】分别解出选项中的集合，再根据充分条件与集合的包含关系，求参数的取值范围.【详解】2r 6=x log26,即 A=x|xkg2 6,分别解出选项中的集合：或,得x12或x 12或x1000 n x 3,即 布 3卜C.2X2-3X-5 0(X+1)(2X-5)0,得X*或X 1,即 x 或 x 4=x 16,即 x|x16,要能成为2、6 充分条件，选项中的解集需是集合 A=卜k1。826 的子集，其中只有BD符号题意.故选：BD【点睛】本题考查充分条件与集合的包含关系，重点考查计算能力，以及理解充分条件，属于基础题型.1 0.设函数/(x)=|cosx+a|+|cos2x+6|,a,b w R,则()A.的最小正周期可能为5 B./(x)为偶函数C.当4=3=0 时，x)的最小值为4 D.存a,。使/(x)在(0,口 上单调递增【答案】BCD【解析】A.分析=+是否恒成立；B.分析函数定义域，根据/(-x)J(x)的关系判断是否为偶函数；C.采用换元法，将/(x)写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D.分析a=b=-l 时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.【详解】A.因为/(x+5)=cos(x+5)+a+cos2(x+?)+=卜sinx+a|+|-cos2x+M ,所以/(O)=|a+l|+|+l|(m =|a-l|+M I,所以0)=/6)不一定成立，所以不恒成立，所 以 的 最 小 正 周 期 不 可 能 为 故 错 误；B.因为f(x)的定义域为R,关于原点对称；又因为 f =|cos(-%)+a|+|cos(-2x)+/?|=|cosx+29-8时用-T./当正2=9-8+271-49-8城，42-在2=9-8+XZHH71-4叵2/L2-9-8271-422r一y=综上可知：/(X)=|COSX|+|2COS2X-1|的最小值为孝,取最小值时，=COS X =等 ,故正确;D.取.二人二一1,所以/(x)=|c os x-l|+|c os 2 x-l|,所以/(x)=l-c os x+l-c os 2 x ,JW/(-)=-2COS2X-COSX+3,所 以/(同=-2 卜0$N+；)+/,又因为y =c os x 在 上 单 调 递 减,且 问 0e 时，c os x e(0,l),且 y =_ 2 r+；)+等 在 问 0,1)时单调递减,根据复合函数的单调性判断方法可知：）=-2 旌*+；）-+得 在（0,日上单调递增,所以存在a=b=-l使 f（x）在（。e）上单调递增，故正确，故选：B C D.【点睛】思路点睛：复合函数/（g（x）的单调性的判断方法:（I）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性;（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数;（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.下列结论正确的有（）,则 函 数 的 最 小 正 周 期 为 万；C.关于x的方程/（x）=l 在区间。2 万）上最多有4个不相等的实数解D.若函数“X）在区间 g,年）上恰有5个零点，则。的取值范围为g，3【答案】A B DB：求 出 区 间 右 端 点 x =葛 关 于 =夸 的 对 称 点 由 题 可 知/（x）在（|，,，上单调,据此可求出y（x）周期的范围，从而求出。的范围.再根据/（苧-1=/（x）知x=当 是 _/u）的对称轴,I 6 /1 2根据对称轴和对称中心距离为周期的二工一小e Z）倍即可求出s,从而求出其周期;C：根据”的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解;D：由笄）=0 知，,是函数“X）在区间2 万2r上的第1 个零点，而“X）在区间2 1 3 消则 2 7 喈音与上恰有5个零点,据此即可求。的范围.故 A正确;B,区间匕5号 J 右端点x =菅 关 于 x =g的对称点为x =5,於）在（法,端 上单STI 71 n T 1 2TT、上单调，工一万=55=5时 Q 为 小）的5 T T，则“X）的图象关于直线调，最小正周期），即1 4”3,又切 0,二。以,3.若/对称,结 合/仁）=0,得 笄 喑=（=岑、=岑七（Z）,即0 =4 Z +2（Z e Z）,故 仁 0,a=2,T =7r,故 B 正确.C,由0 0）的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：（1）单调区间的长度最长为半个周期；（2）一个完整周期内只有一个最值点；（3）对称轴和对称中心之间的距离为周期的 言 （R e Z）倍.1 2.对R,g:OfR,若兑 0,使得 V xMe，都有|/（%）一/（）|4小（%）（）|,则称f（x）在。上相对于g（x）满足-利普希兹”条件，下列说法正确的是（）A.若 x)=l o g?x,g(x)=x,则/(x)在(O,+8)上相对于g(x)满足“2-利普希兹”条件B.若/(x)=,g(x)=x,/(x)在 1,4 上相对于g(x)满足“k-利普希兹”条件，则4 的最小值为gC.若/(x)=o r,g=/,f(x)在 2,3 上相对于g(x)满足“4-利普希兹”条件，则a的最大值为2D.若“X)=x,g(x)=l o g2(4,+1)J(x)在非空数集力上相对于g(x)满足“1-利普希兹”条件，则D e (-oo,0【答案】B C【分析】利用特例可判断A,利用参变分离法求函数最值可判断B C,由 题 可 得*x)=bg2(4 +l)-x为增函数，利用复合函数单调性判断D.【详解】对于A,x)=l o g2 X 的定义域为(0,+8),1 ,1 ,l o g2-l o g,-=l,|/(xj-9)|2|g(xj -g(3|,即/(x)在(0,也)上相对于g(x)不满足2 利普希兹”条件，故 A错误;对于B,由题知七,与 e 1,4,均有(电)归 阚&)-8(巧)|成立,当王=匕时显然成立，不妨设%毛，则 人s=1工 1 -W V 玉 +X1 X j X)4,庭 2,：.26+后4,4+W,则不一 41o g2（4v,+l）k g2（4f+1）,l o g,（4,?+1x2 0,且a w l）,在 2,3上的最大值比最小值大、，则。=.a 1 -3【答案】5或【解析】分0。l两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数”的方程求解即得.【详解】若0 l,则函数f（x）=优在区间 2,3上单调递增,所以=3-5，f（x）min=a?5,由题意得/=土，23又故。=大.2所以”的值为3或;【点睛】本题考查函数的最值问题，涉及指数函数的性质，和分类讨论思想，属基础题，关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.14.已知函数/(x)=s i n(0 x+e),其中。0,0 /兀，/。)4/(今恒成立，且y =/(x)在区间(),1)上恰有3个零点，则。的取值范围是.【答案】(6,10)【分析】确定函数的/(%)_ =/(：)，由此可得*=；一 詈+2E,左e Z,再利用y =f(x)在区间上恰有3个零点得到八 兀 兀G0-+2%兀 兀2 4c 3兀 兀 兀3 分,，3兀 +-+2攵兀 4兀8 2 4求得答案.【详解】由已知得：f(x)*(a恒成立，则/(%=/(；)兀 兀 71 71+e =+2 E,k Z n e=e T+2 E/WZ,由工(0,刺 得8+9:0+9),由于y =f(x)在 区 间 上 恰 有3个零点，0 0 兀 0 -F 2 攵 兀 7 12 4故。3兀 ，则。3元 O)+(P4TI 嗔 3元。兀 neog 3兀-+-+2kn 4ni 8 2 48 k 2 69 8 k+2,keZ2O-1 6Z 04 28-1 6Z只有当=1时，不等式组有解，此时6 69 1 04 69 1 2故6 切 0)的解集为2版,2Qr+句,Z e Z,贝l j。的取值范围是【答案】(0,8【分析】令u s i n x,将原问题转化为关于r的不等式-1 4+初+c wi（a o）的解集为04 ,结合二次函数的性质，即可求出结果.【详解】令=$苗，若关于X的不等式,屈!1 2犬+64 11+。卜1（4 0）的解集为2%肛24万+旬，2,等价于若关于f的不等式M+初+d 4 1（。0）的解集为0,1 ,即关于/的不等式-1 4 +4+c wi（a o）的解集为0,1 ,若a 0,可知函数y =a+4+c的对称轴为1 =（=；,开口向上，所以函数y =K/+4+c|图象如图所示：当，=0 时，c =l,当 =1 时，+b+c =l,即力=一。最小值为 1=一时，一 b+C ,2 4 2所以;一；“+1 2-1,解得0 0）,若对任意的为0,1）,都存在9 0,2,使得x j =g 5）,则实数。的 取 值 范 围 是.【答案】拒,+8）【分析】求出函数y =/（x）在区间（0,1）上的值域为仁,1）,由题意可知，由可得出2 4,由题意知，函数“=/一 2+4 在区间 0,2 上的值域包含（2,4）,然后对4 分0“1、l a 2,心 2三种情况分类讨论，求出函数 =/-2 6+4在区间 0,2 上的值域，可得出关于实数。的不等式（组），解出即可.【详解】由 于 函 数=在（0,1）上的减函数，则 即g x)l,所以，函数 x）=S,在区间（0）上 的 值 域 为 加.对于函数g（x）=log4（x2-2a x+4）,内层函数为“=炉 _ 2办+4,外层函数为、=1 叫 .令g log4 l,得 2 0.（i）当0 a l时，函数”=f-2a x +4 在区间（0,a）上单调递减，在区间伍,2 上单调递增，则Mmi n=4-?2,“3=ma x 4,8-4 a =8-4 a,B P4-a2 8-4 a ,此时，函数“_ 2如+4 在区间 0,2 上的值域为 4-/,8 一 4 打，4 一?4（i i）当142 时，函数-Vo x+d 在区间（0,4）上单调递减，在区间（4,2 上单调递增，贝 IJ mi n=4-a2，Un m=ma x 4,8-4 =4 ,B P4-a2 4,此时，函数 =/-2 +4 在区间 0,2 上的值域为 4-4,4 ,由题意可得4-4 2,解得“4-0 或.2 0，此 时 企 4a2.综上所述，实数。的取值范围是 点【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.四、解答题1 7.设 x）Z0+福+唠8 s 2儿 求/后）的值及“X）的单调递增区间；若=求s i n（2 a+g万）的值.【答案】1,一1 +噌+万,keZ（2）1 2卡【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、三角恒等变换公式以及辅角公式可得ra）=；s i n（2 x +?）+；,由此即可求出/（专）的值，再根据正弦函数的性质可求得了（x）的单调递增区间；（2）由 可得以及 a）=g,可得s i n（2 a+?1 =；,再根据a e（0,5和同角基本关系可得【详解】（1）解：因为/（）=和两角和的正弦公式即可求出结果.0(7C 2(7t C=cos x+4-+cos cos z x =cos x-+COS COS Z JtI 1 2 j 6 I 1 2 J 624-cos cos 2x61 1 c 5乃 1 .c.5 4 7i 八=一+cos 2x cos +s i n z x s m +cos cos 2x2 26 2 6 66 1 1 1 7 3 cl.c 1 1 /a 1=cos 2 x +-s i n 2 x +-=-cos 2 x +-s i n2x+-=-s i n 2 x +4 4 2 2 1 2 2 J 2 2 y 3 J 2T T T T J T令-+2k7r 2x-S +2k 兀,k G Z,2 3 2STT 7 t所以-2+k x 0 所以+，所以 cos（2 a+g）0 ,所以 cos（2 a+=-J _ s i n 2（2 a+，因为s i n2a H T C3所以s i n的 值 上 辿O1 8.已知函数 f(x)=g(a-2)x 2 +(6-8)x +c-l(x e R).(1)如果函数/(x)为幕函数，试求实数a、b、c,的值；(2)如果a 0、b 0,且函数 x)在 区 间 1,3 上单调递减，试求油的最大值.【答案】。=5,。=8,c=1,或。=2,b=9,c=l.（2）1 8【分析】(1)根据募函数的定义得到方程组，解得即可;(2)分”=2、。2、0。2 三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得;【详解】(1)解：由函数/(x)的定义域为R知，当/(x)为幕函数时,应满足，*-2）=1八 8 =0 或，c-l=O*-2）=06 8 =1c-l=O解得，。、b、。的值分另 ij 为：a=5,b=8,c=l,或 a=2,b=9,c=l.(2)解：当a=2 时，,f(x)=(b 8)x+c l(x eR)由题意知，0 /?8,所以出?2 时，函数f(x)图象的对称轴为=方引，3(8-。)以题意得：制 323,即 为+6 4 1 22g 2)所以 1 2 2“+附 2 缶 ,ah 8.当且仅当”=3,3 =6 时取等号.当0 。2 时，3(8-6)1 1 .以题意得：4 彳，即a+3 b42 6,即0 匕 4 2 6-a2(a-2)2 3又因为0 a 2 ,所以 04；“(2 6-a)=-g(a-1 3+等-g(2-1 3)2+等 =1 6综上可得，曲的最大值为1 8.1 9.已知函数/(力 二 加+2(q-2)x+l,其中aw R.若对任意实数不W 2,4 ,恒有 x j.9 s i n 2 x 2,求4的取值范围；(2)是否存在实数%,使得数。0 和 a V O 两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.【详解】(1)X,e 2,4,2 x,e 4,8,si n 2 x2 si n 2 x2m a x=l,9 si n 2 x,n i a x=9 ,.原问题。/(x).9 对任意xe 2,4 成立，即 cvC+2(。-2)l+1之 9 对任意 x 2,4 成立，即a.2 对任意x e 2,4 成立，4 =2.XL-Jm ax故。的范围是：2,+00).(2)a 0,v ax)0,.e.x0 0,.,.2 x0-a0,=(2 x+1)(片+2 x0-1)0=(2%+1)%-(忘-1)与-(-近 一川 0,*.*x0 0,I.%-(5/2 1 j 0,不等式变为(2 x()+1)玉)一(-0 -1)0,天)e (-四-1,一；(2)0,v o()0,2 x()。0,二,/(七)=|2%)一|+2 =竭+2(。一 2)为+1 =2%一 +2O OXQ+2 0r o -4/+1 +。=2 x0+2=(片+2 x0+1)=6x0+1。4=-6-%-+-1 -/6X()+1 1 x1(),X+2 玉)4-1 6,此时无解.综上所述，存在修卜a-1,-|满足题意.2 0.如图所示，摩天轮的直径为100m,最高点距离地面高度为110m,摩天轮的圆周上均匀地安装着 2 4个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12 m i n.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动/m i n 后 距 离 地 面 的 高 度 为 求 在 转 动 一 周 的 过 程 中，H关于，的函数解析式；(2)在甲进座舱后间隔3 个座舱乙游客进座舱(如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于f的函数解析式，并 求 出 2 5时 f的取值范围.7T【答案】(l)/=-50co s-r +60,0 z 126力=50 si n兀 7 T t+6 6，?e 0,4 u 6,10【分析】（1）建立合适的坐标系，求出，关于，的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.【详解】（1）如图,以摩天轮中心。为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.2元 I T由 题 意 摩 天 轮 的 角 速 度-1 rsad/m i n所以甲所在的位置的纵坐标揖=5 0 si n 序 后贝H=5 0 si n7 1 兀t 一6 27 T+60 =-5 0 co sr +60,0 r _ 7兀1 7兀1、,11sln_?+_ 0,分析可知关于，的方程（葭-1 1 2-|4-1 =。有且只有一个正根，分 =2、a 2 三种情况讨论，在a=2 时，直接求出方程的根，验证即可；在a 2 这两种情况下，利用二次函数的零点分布可得出关于实数。的不等式组，综合可解得实数”的取值范围.【详解】（1）解：“与）+型 2”0,即/（%）2加 2-华，若V为 e R ,使得/（X）+4 为%2s o成立，只需要“X）1 n h i m-T-4 成立.因为尤）=lo g4（4 +l）-lo g4 2=lo g4 嘿=lo g4 0,+?）,由基本不等式可得2*+23.1=2,当且仅当x =0 时，等号成立，所以，x）而 n=0）=lo g 4 2 =；,则因为15，令。=,分离参数可得m W；+p,令h（p）=p+；,其中 p e；,2 ,zp L，,任取 P l、P l 6；，2 且 P l P 2 ,则P P 2 P lp 2（p 必）（2 p/l）2 P lp 2当;W P l 2 W 时,P l 2，2（2），乙乙，乙/71当 乃WPI P2 2时，回一20,不 PI20,则方程Z +有且只有一个正根，t 2 3即方程6-1）产-|。1=0有且只有一个正根，构造函数。）=仁-1 卜当a=2 时，*（/）=一$-1,令*）=0,解得”一:，不合乎题意；当。2 时，则葭-1 0,二 次 函 数 的 图 象 开 口 向 下，对称轴为直线，=3（j 2）A =（_|a）+4 仁-1）=#+2-4 =|（2/+9 4-1 8）=；（2 4-3）（4 +6）,由于以0）=-1 2 时，则A =1（2 a-3）（a +6）0,设方程，-1）产-|m-1 =0 的两根分别为乙、4 ,由韦达定理可得，一 一 0,则方程-：m-l =0 有且只有一个正根.。一 2 0,设函数/(x)=2sin2x+(a l)(sinx+cosx)+2“一l,xe-y,0g(x)=-2asin2x+(l a)sinx,x eR,当a=2时，求函数f(x)的值域;(2 记I/(x)I的最大值为M,求M；求证：|g(x)正2M.17【答案】(1)-,41OM=2一3,0。a2+6a+1 -,-a证明见解析【分析】(1)令，=sinx+cosx=5/sinAxe_$0 ,转化为y=4|1丫+-17-8J 16配方求值域即可;(2)设f=sin x+8 sx,换元得(/)=|-+6+l，分类讨论即可求解;18。利用绝对值不等式的性质求出I g(x)|W .4+1,0 1【详解】(1)当 =2日 寸，/(x)=4sin2x+(cosx+sinx)+3,xe-y,0令f=sinx+cosx=0sin(.T+?)(x w -3 0 )，所以 4sin2x=4(/1),因为4-p O ,所 以 应sin(x+?)-l ,所以生-1,1,所以 y=4(J_ l)+/+3 =4_1716因为，且1，所以y=4；r+l|2_17I -i 6G上,4,16所以力17.e 一 B 4 .(2)令f=sinx+cosx=/sin呜XG所以sin2x=T因为工 -p O ,所以&sinx+71y=2(“+=2a1 +2a+6a+l=2a2/+6 a +l8 -(f)是 对 称 轴 为 开 口 向 上 的 抛 物 线,/?(1)=,=3 2,h/+6 +11)当时，r=l,|a|Mf,所以一3)当a l 时，t=-G(l,O)4。所以M=3a 2,综上所述：M=2-3 a,0 a 4(a2 4-6tz4-1 l 八-,-a|g(x)|=卜 2。sin 2x+(1-a)sin x|-2a sin 2x|+|(1-tz)sin x|+1 1 -a|。+1,0cl=，a+l,g 1i7当时，（4+1）-2（2-3。）=7-3 4-3 l时，（3 a-l）-2（3 a-2）=-3a+3 3-3 0,所以|g（小2M,综上所述:所以|g（x）|42M.