2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷（解析版）.pdf

2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已 知 z=l（其中i 为虚数单位），则 z G+i）=（）A.-1+z B.3+i C.1 -/D.3-z2 .设集合 A=（x,y）|x+y=6 ,8=（x,y）|y=x2,则 A C B=（）A.（2,4）B.（-3,9）C.（2,4）,（-3,9）D.03 .已知a R,则是的（）aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为 4 的等边三角形A B C,如图，上边中间莲花形的两端恰好都是A 3边的四等分点（E、产点），则 而 而=（）A.9 B,1 6 C.1 25.已知函数/(x)=s i n (2 x+(p)的部分图象如图所示,IXTTA.f(x)关于点0)对称 B.f0D.1 1且经过点A（乌，返），则（）4 2JT（%）关于直线冗=勺对称C.f(X+)为偶函数 D.f(X+)为奇函数6 126.已 知 为 数 列|。的刖n项和，0=-2,C l n+=Stt9那么4 6=()A.-6 4 B.-3 2 C.-1 6 D.-82 217.已 知 椭 圆%个。=1 (a b 0)的左、右焦点分别是Ft,Fi,离心率为，点A是椭a b 2圆上位于x轴上方的一点，且|AFI|=|Q F 2|,则直线A Q的斜率为()A.近 B.J3 C.返 D.13v 28.已知 a,b,c G(0 1 1),且 a?-2 lna-1 =13,b2-2 1 nb-1=,c2-2 lnc-1 =In兀,3 e K贝|J ()A.c h a B.a c h C.a h c D.c a h二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元1 0.设正实数x,y满足2 x+y=l,则()A.xE（0,）B.x y的最大值为2c.N+W 的最小值为高5D.4，+2,的最小值为41 1.如图，已知正方体的棱长为2,E,F,G 分别为A B,A D,的中点，以下说法正确的是()A.三棱锥C -E F G 的体积为2B.A C _L平面 EFGC.异面直线E F 与 AG 所成的角的余弦值为返3D.过点E、F、G 作正方体的截面，所得截面的面积是3yx 0式xl1 2.已知f(x)是周期为4的奇函数，且 当 0W xW 2时，/(x)n J?：1 0 时，f(x)I nx+x2,则曲线y f(x)在 点(-1,/1(-1)处的切线方程是.1 6 .某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折9 (0了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边3(C 7 )和厚度X(C 7 )有关系：0)上的点尸(1,yo)(y o O)到其焦点的距离为2.(1)求点尸的坐标及抛物线C的方程；(2)若点M、N在抛物线C上，且求证：直线M N过定点.2 2.已知函数/(x)=ax+lnx.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若X l,X2(X 1 -；a(i i )X2-x1 -241+巳 一a参考答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z=l-i(其中i 为虚数单位)，则 z(z+i)=()A.-l+i B.3+i C.I-i D.3-z【分析】根据已知条件，结合共转复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解.解：,z=l+i，.*.2(z+力 (1-/)(l+2f)3+i.故选：B.2.设集合 A=(x,y)|x+y=6,B(x,y)则 A C B=()A.(2,4)B.(-3,9)C.(2,4),(-3,9)D.0【分析】利用交集定义直接求解.解：.集合 A=(x,y)|x+y=6,B=(x,y)仅=/,二API8=(x,y)|l 是“2 1”的（）aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可.运用定义来做题目.解：由上 l或 a0,a故，由 能 够 推 出 工 1,是工 1 的充分条件，a a由工 ,是,是1的充分不必要条件，a故选：A.4.小 华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形A B C,如图，上边中间莲花形的两端恰好都是A 3边的四等分点（E、尸点），则 酬，而=（）A.9 B.1 6 C.1 2 D.1 1【分析】把 而，击 都 用 温，C B来表示，即 可 求C E-C F.解：设 A B 边的中点为。，则 C E-1(C A+C D)=y C A-(C A+C B)-1 H-C B-同理 击4通 丹 以，所以CE-CF=(jCA-tCB)-CA)=|-CA-C B C A2 C B2=-|-X 4X 4XyX 42-X 42=11故选：D.5 .已知函数/X x）=si n （2 x+（p）的部分图象如图所示，且经过点A （?,返），则（）4 2TTB./（X）关于直线工=飞-对称JTC.f(x+)为偶函数6D./（x+工）为奇函数【分析】由定点的坐标求出年的值，可得函数的解析式，再利用函数y=A si n（3 x+（p）的图象和性质，得出结论.解：.函数/(x)=sin(2r+(p)的部分图象，可令pE(0,.它的经过点A(二，返)，4 2,兀工、a.sin=cos(p=-,_ 冗 b 0)的左、右焦点分别是Q,尸2,离心率为二，点 A 是椭a 2圆上位于x 轴上方的一点，且|AFI|=|FIF 2|,则直线A F|的斜率为()A.返 B.7 3 C.返 D.1【分析】题意可得s in a N A B E,进而求出ta n/A B B,即可得到直线A B 的斜率.解:由题意如图所示：|AFi|=|尸 产2|,。为 的 中 点，2 2桶 圆 七 丹=1（。人0）的左、右焦点分别是为，?2,离心率为费,所以a=2 cfsi n ZA FF2=a-,所以2N A/7尸2=工2 2c 2 2 6T T直线A F的斜率为t a n/A F F 2=t a n-=避，o8.已知 a,b,cE(0,1),且 -2 lna-1=上受，b1-2 lnb-1=,c2-line-1=兀，3 e K贝！J ()A.c b a B.a c b C.a b c D.c a b【分析】构造函数/(x)=x2-2 lnx-1,g(x)=上 星，f(a)=a2-2 lna-1,f(Z?)=xb2-llnh-1,f(c)=c2-line-1,g(3)g(e)=,g(n)=-7 ,求导3 巳 兀判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可.解：令 g (x)=应，则 g (x)=上 弊，故当(e,+8)时，g1(x)g(3)g (n),令/(x)=x2-2 lnx-1,则 1 (x)=2 x -2=?1乂 1,X X故 当 在(0,1)时，f(x)f (a)/(c),故 b a 0.5,故 C正确，对于D,估计该地农户家庭年收入的平均值为3 X 0.0 2+4 X 0.0 4+5 X 0.1+6 X 0.1 4+7 X 0.2+8 X 0.2+9 X 0.1+1 0 X 0.1+1 1 X 0.0 4+1 2 X 0.0 2+1 3X 0.0 2+1 4 X 0.0 2=7.6 8 6.5,故。错误.故选：A BC.1 0.设正实数x,y满足2 x+y=l,则()A.xe(0,方)B.肛的最大值为C.的最小值为 D.4+2),的最小值为45【分析】A.根据正实数x,y满 足2 x+y=l,可得0 2 x=1 -y 1,解得x范围即可判断出正误；B.由正实数x,)，满足2 x+y=l,利用基本不等式即可判断出正误；C.由正实数x,y满 足2 r+y=l,可 得y=l-2 x,xe(0,4),代 入N+y 2,利用二次函数的单调性即可判断出正误；D.由正实数x,y满足2 x+y=l,可得4叶2=2标+2丫，结合基本不等式即可判断出正误.解：4.,正实数 x,y 满足 2 x+y=1,.0 2 x=1 -y =2入+2 2行 通7歹=2后丽=2加,当 且仅当2 x=y=1时取等号，因此不正确.故选：A C.1 1.如图，已知正方体A B C。-AIBICQI的棱长为2,E,F,G分别为A 8,A D,8 c l的中点，以下说法正确的是()A.三棱锥C -E F G的体积为2B.4 C _ L平面 EFGC.异面直线E F与4 G所成的角的余弦值为返3D.过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3y【分析】A三棱锥C-E F G的体积=X2X SACEF.B由正方体的性质可得：AiCLEF,M C L F K,E F C F K=F.即可判断出结论.C如图所示,建立空间直角坐标系.对 于C利用c o s V而，正=E F A G局x|而即可得出异面直线E F与A G所成的角的余弦值；过点 F、G作正方体的截面为正六边形E F KNG M,K,N,M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以E F为一边的等边三角形面积的6倍.解：对于4、三棱锥C-E F G的体积gx 2X加X女 筌0=1，故A错误；对于B、由正方体的性质可得：AiClEF,ACLFK,E F Q F K=F,.A C _L平面E F G；故B正确;对于C、如图所示建立空间直角坐标系.则 F (1,0,0),(2,1,0),A (2,0,0),G (1,2,2),而=(-1,-1,0),筋=(-1,2,2),.1一 一、E F-A G _.6册A G 一扇又扇一V 2 xV l+4+4 6异面直线E F与A G所成的角的余弦值为返，故C正确；6对 于。、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形E F KNG例，K,N,M分别为棱的中点，所得的截面的面积5=亨X（V2）2X 6=3/4,因此D错误;故选：BC.1 2.已知f(x)是周期为4的奇函数，且 当0 W x W 2时，f(x)x,0 xl2-x,lx =2-2-1=-1,故A正确；对于 C,当(0.1)时，g(x)f(x)+f(%+l)x+2 -(.x+l)x+2 -x-1 1,当 xe (1,2)时，g(x)=/(x)+f(x+1)=/(x)+f(x-3)=f(x)-(3-x)=2-j c -2 -(3-x)=-2 x+3,所以g(x)单调递减，故 g(x)e (-/,1),当 xe (2,3)时，g(x)=f (x)+f(x+1 )=-f (4 -x)-/(3 -x)=-2 -(4-x)J(3-x)=-1,当 花(3,4)时，g(x)=/(x)+f(x+/)=-/(4-x)+f(x-3)=-(4-x)-(x-3)=-1,且 g(0)=/(。)(1)=0+1 =1,g=/(/)+/(2)=1+0=1,g(2)=/(2)V(3)=0+/,-1)=-/=-hg(3)=/(3)+/(4)=/(-1)+/(0)=-/=-1,g(4)=g(0)=1,所以xW0,4时,g(x)G-1,1,由于g(x)周期为4,故 g(x)的最大值为1,故 C 错误；对于O,因为f(x)是周期为4 的奇函数，所以/,(x+2)=-f(x),/(x-2)=-f(x),/(x -1)=-/(x+/),又 g(1 -X)=/(l-x)-f/(2-x)=-/(JC-1)-/(x-2)=f(x)4/(%+l)=g(x),所以函数g(x)关于x=对称，即函数.y=g(x)的图象有对称轴，因为 g(x)+g(3-x)=f(x)+f(x+/)t/(3-x)+/0 时，f (x)Inx+x1,则曲线y f (x)在 点(-1,/(-1)处的切线方程是 3x-y+2=0.【分析】由已知求得x 0 时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x=-1处的导数,再求得了 (-1)，然后利用直线方程的点斜式得答案.解：设 x 0,:于(x)为奇函数，且当x 0 时，f (x)lnx+x2,.f(x)=-/(-%)=-/?(-x)-x2,则/(x)=-2 x-(x 0),X则/(-1)=3,又/(-1)=-1,曲线(x)在 点(-1,/(-1)处的切线方程是y+l=3(x+1),即 3x-y+2=0.故答案为：3x-y+2=0.1 6.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折9 3了.在理想情况下，对折次数几与纸的长边3(B)和厚度x(51)有关系：W4k)g2士.现3 x有一张长边为30c/n,厚度为0.05a*的矩形纸，根据以上信息，当对折完4 次时，里 的x最小值为 64；该矩形纸最多能对折 6次.(参 考 数 值：妒 Q 0.3,四3 Q 0.4 8.)【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解.9(0解:*.*九 10g2-，3 x.当对折完 4 次 时,-lo g9-4,E|J lo3 4 X 4 X.3、6 4，X 国-的最小值为64,x 3 0 _ 21 A n n _ 2 vl g 6 0 0.-71O2600-2 0.3+0.4 8+2 一X-6.1 8-3 0.3矩形纸最多能对折6 次.2 vl g 2+l g 3+l g l 0 07Xl g 2=：故答案为：64,6.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知“是等差数列，7 1 =2,“2+43+04=18.(1)求 跖,的通项公式；(2)设 d=|(&)an-10001，求数列 d 的 前 15项 和“5.【分析】(1)求得等差数列 斯 的公差，利用等差数列的通项公式可求得 服 的通项公式；1 0 0 0 -2n,n 1 0,n N*式可求得数列2“的 前 15项和力5.解:(1);斯 是等差数列，02+03+04=181 “3=6,乂 ai=2,；公差”=署=2,3-1 dn=2 ；：.b=(a)an-1000|=|2-1000|=1 0 0 0 -2n,n 1 0,n N*，数列 儿 的前1 5 项和力5=(1 0 0 0-2)+.+(1 0 0 0-29)+(21 0-1 0 0 0)+(2 -1 0 0 0)+.+(21 5-1 0 0 0)=(9 0 0 0 -6 0 0 0)-(2+22+.+29)+(2|0+2 +.+21 5)=3000-22(29-1)+2,Q.2M2-1 2-1=3 0 0 0+4+6 1 X 21 0=6 5 4 6 8.1 8.某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取8 0 元，对于提供的软件服务每次1 0 元；方案二：软件服务公司每日收取2 0 0 元，若每日软件服务不超过1 5 次，不另外收费，若超 过 1 5 次，超过部分的软件服务每次收费标准为2 0 元.(1)设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y 与 x的函数关系式；(2)该工厂对过去1 0 0 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个(2)由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适.解：(1)由题可知，方案一中的日收费y 与 x 的函数关系式为y=1 0 x+6 0,A-GN,方案二中的日收费 与 x 的函数关系式为200,x15,xN,y=15,xN.(2)设方案一中的日收费为X,由条形图可得X的分布列为X190200210220230p0.10.40.10.20.2所以 E(X)=190X 0.1 +200X 0.4+210X 0.1 +220X 0.2+230X 0.2=210(元).方案二中的日收费为y,由条形图可得丫的分布列为X200220240P0.60.20.2E(D =200X 0.6+220X 0.2+240X 0.2=212(元).所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.K K1 9.在平面四边形 A8CO 中，ZABC=,ZA D C=,8 c=4.3 2(1)若 ABC的面积为入门，求AC：(2)若 4。=3 ,ZACBZACD+,求 tan/ACO.6即可得解；(2)设/A C Q=a,用含a的式子表示出/A C 8和4 B AC,先在RtzVlCC中，利用三角函数表示出A C,再在 ABC中，由正弦定理，即可得解.解：(1)由 S=A8 BC sinN 4B C,知 2 y=J a B 4 sin；,2 2 3所以A8=2,在 ABC 中，由余弦定理知，A C A+B C1-2ABBCcosZABC=4+16-2X2X4X212,所以 AC=2，.兀 K(2)设N A C O=a,则NACB=NACD+=a+,ZBAC=n-(ZA B C+ZA C B)=6 6KT-a,在 R t Z V lC Q 中，s i n Z A C D=-,所以 AC=些=强AC sinZACD sin a在 A B C 中，由正弦定理知，.可=.上”，sinZBAC sinZABC43如所以/冗、=兀，即 3 cos a=2 s ina,s i n(-a)sinCl s ir r y所以 t.ana=-s-i-n-a 3,cos a 2Q所以 t an Z A C D.22 0.如图，在直三棱柱A B C-4 8 1 G 中，ZBA C=90 ,AB=AC=AA 2,例 为 A8的中点，N为 8G的中点，P是 BG与 BC的交点.(1)证 明:A iC B C i；(2)在线段A iN 上是否存在点Q,使得P。平面4CM?若存在，请确定。的位置；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由线面垂直的判断和性质，可得证明；(2)在线段4N上存在点,且建立空间坐标系，求出平面4c M的法向量：，证明同_ 1 _ 若，即可得出P Q 平面4 C A/.解：(1)由 AIBIG 中，4 由i=B C i,N为 5 1 G 的中点,可得4 N _ L B iC i,又 B iB _ L 平面 ABC,A iN u平面 A 1 3 G,可得 B i8 _ L A iN,而 8 1 8 nB ici =B i,所以A iN _ L 平面S B C。，即有A iN _ L B G,C1 N、万 CB 2x19 r-连接 C N,由 ta n N G C N=7 ta n Z C C iB=,r=y21J C 2 CC1 2 V则 tan/G CN tan/CCiB=l,可得NCiCN+/CCiB=90,即有 8 G l.c N,而 CNCAiN=N,所以B G L 平面ACM贝 IJ4C L8G：(2)以A 为原点，以AC,AB,A 4i为坐标轴建立空间直角坐标系A-孙z,则 4 (0,0,2),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,2),P(1,1,1),所以 A N=(1,1,0),%P=(1,1,-1).(=(-2,1,0),CA1=(-2,0,2),设平面A C M 的法向量为：=(x,y,z),nwCAi=-2x+2z=0则_ 1n*CM=-2x-=0令 y=2,可得，=(1,2,1),设A Q=，A/=(m,m,0),则5=A Q-A1P=(fn-1,？-1,1),所以丽嗝=m-1+2(m-1 )+1=3/7?-2,当5_L1 时，可得尸。平面ACM,所以 3m-2=0,即z=2.3所以在线段AiN上存在点Q,且AQ=|AN.Z个2 1.已知抛物线C：产=21（p 0）上的点尸（1,yo）Cyo O）到其焦点的距离为2.（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且切/g=-微，求证：直线MN过定点.【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p,即可得到抛物线的方程；2 2（2）设M（2 1 _,力），N（类 _，”），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再4 4由 公 2=-微，可得）1,2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可.解：（1）抛物线C：=2 px 的焦点尸（,0）,准线方程为x=-5,由抛物线的定义可得|P f=1+5=2,解得p=2,则抛物线的方程为V=4 x,尸（1,2）；2（2）证明：设 M（X l,yt）,N42（了2 ,y2）,4 2 一 4则。=江金=不方4-4y2 了2-2 16 1所以 kPMk P N=y/引=（丫+2）川2+2）=一/4-1 4-I所以 yi”+2(yi+”)=-3 6,即 yi”=-2(yi+”)-36,4 2则直线M N的方程为y-y i=-；(x-口 _)，yl+y2 44所以、=不 歹 丁+丫1丫2,4 36所以 y=7 x-7了1+丫2 y1+丫22,即 y+2=4丫 产 2(x-9)所以直线MN恒过定点(9,-2).2 2.已知函数/(x)=ax+bvc.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 Xl,X2(X1-；a(ii)J C2-XI-21+EA.a【分析】(1)求出/(x),分 azO 和 a 0,令 t-,设X1g(t)=ln t-2-(t l),转化为证明g(r)0,然后利用导数研究函数g(O 的单调性，确定g(?)的取值范围，即可证明结论；(i i)设/?(x)=亚，由导数确定(x)的单调性，得 到-“=人(x)有两个不相等的X实数根，确定。的取值范围且1 Vxi VeV%2,/x V l-X 对于xE(0,1)U(1,+8)恒成 立，则 h r L l-x 对 于 xG(0,1)恒 成 立，转 化 为-a x J-Z x i+e 。，得到X11 工也逅结合(i)中的结论，即可证明.1 a a解：(1)由题意可知，/(x)的定义域为(0,+8),因为/(X)=ax+btx,所以/(x)=4-a+a XX X当时，f (x)0,则/(工)在(0,+8)上单调递增;当0时，当0无 0,则f(x)单调递增，a当时，f(x)0,则/(x)单调递减.a综上所述，当。20时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当a V O时，f(x)在(0,二)上单调递增，在(,，+8)上单调递减.a a(2)证明：(i)原不等式等价于一1 等价X i 于+x。?.重X 9益-X 1;因为 X 2 X 0，所以 X 2 -加1 0,、2(x2-X i)即证明 ln xo-ln x -,乙 1 乂1+乂 2X22(1)等价于证明1x2 X 1-、0,勺1之X1令 tX1设g(t)=ln t普产即证明 g (z)0,因为g 则g (r)在(1,+8)上单调递增，且g (r)g(1)=0,9因此 X l+X 2 -；a、r 、lnx I 1-lnx()设(x)=-，则(x)=5-，X X”所以/?(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,因为-=/z (x)有两个不相等的实数根，且/7 (e)=-,e则O V-a V1 且 lV xiV eX 2,e因为/n xV l-%对于(0,1)U(1,+8)恒成立,则lr r L l-x对于xe (0,1)恒成立,X所以-axp ln xI=因为即0,所以-ax1 2-2 x +巳0，又因为。0,所以 也 逋 或 巫弘，1 a a 1 a a因为0V e且a 0,所以x i +l+e a，e1 a a因 为 立 至 ，所以卫(_1也直2 a 2 1 a a a所以X 2-X 1 上争