2021-2022学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷.pdf

2021-2022学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1.（3分）一元二次方程3，-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.3,6,1 B.3,6,-1 C.3,-6,1 D.3,-6,-12.（3分）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线/相切的是（）3.（3分）抛物线y=（%-3）2+1的顶点坐标是（）A.（3,1）B.（3,-1）C.（-3,1）D.（-3,-1）4.（3分）如图，A B是。的直径，C D是。的弦，如果N AC =3 6,那么N BA。等于5.（3分）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A.频率等于概率B.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C.当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D.实验得到的频率与概率不可能相等6.（3分）如图，在中，ZC=90 ,N B=3 0 ,AC=,以4为圆心A C为半径画圆，交A B于点。，则阴影部分面积是（）7.（3分）关于x的方程/+2履-1=0的根的情况描述正确的是（）A.A为任何实数，方程都没有实数根B.4为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据A的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种8.（3分）随着时代的进步，人们对P M 2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中P M 2.5的值y i （g/w P）随时间/（）的变化如图所示，设 中表示0时 到t时P M 2.5的值的极差（即0时 到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则”与，的函数关系大致是（）二、填空题：9.（3分）请写出一个开口向上且过点（0,-2）的 抛 物 线 表 达 式 为.1 0.（3分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为|,则 =.1 1.（3分）如图，A A B C中，N B=70 ,N BAC=3 0 ,将 ABC 绕 点 C顺时针旋转得/X E D C.当点8 的对应点。恰好落在A C上时，N C 4 E=.1 2.（3 分）如图，4 B 是。?的直径，弦 C C J _ AB 于 E,若乙4 8c=3 0 ,O E=V 3,则 0 9长为.1 3.（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数1 02 7040 07501 50 0350 070 0 090 0 01 40 0 0成活数量82 353696621 33532 0 3633580 731 2 62 8成活频率0.80 0 0.8700.92 30.8830.8900.91 50.90 50.8970.90 2估 计 树 苗 移 植 成 活 的 概 率 是 （结果保留小数点后一位）.1 4.（3 分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R,圆的半径为r,则 R与 r满足的数量关系是.1 5.（3 分）己知：如图，半圆0的直径A B=1 2 c s,点 C,O是这个半圆的三等分点，则/C A。的度数是，弦4C,AD和前围成的图形（图中阴影部分）的面积S是1 6.（3分）如图，在R tZ A8C中，乙4c B=90 ,将4B C绕顶点C逆时针旋转得到AE C,M是B C的中点，N是4 8的中点，连接MN,若8c=4,N AB C=60 ,则线段MN的最大值为.三、解答题：1 7.解方程：2?-2 x -1=0.1 8.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程.已知：OO及。外一点P.求作：直线B 4和直线P 8,使 出 切。于点A,P B切。0于 点&作法：如图，作射线P。，与。交于点例和点N；以点P为圆心，以尸。为半径作。尸；以点。为圆心，以OO的直径MN为半径作圆，与OP交于点E和点F,连 接0 E和O F,分别与。交于点A和点B；作直线P A和直线PB.所以直线P A和P B就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接P E和P F,V O E=M N,0 A=0M=M.点A是O E的中点.:PO=PE,于点A（填推理的依据）.同理P 8_ L 0 3于点8.,：OA,0 8为。0的半径，：.PA,P B是。0的切线.（）（填推理的依据）.1 9.已知关于x的方程7+2%+%-4=0.（1）如果方程有两个不相等的实数根，求人的取值范围；（2）若上=1,求该方程的根.2 0 .二次函数）=+法+。（a W O）的图象经过（3,0）点，当x=l时，函数的最小值为-4.（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x=?与抛物线和直线y=x -3的交点分别为点C,点、D,点C位于点。的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围.2 1.如图，四边形A8C。内接于。0,0 C=4,AC=4&.（1）求点。到A C的距离；（2）求/A O C的度数.2 2.北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2 0 19年4月2 9日至10月7日在北京市延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4条各具特色的游玩路线，如表：A B C D漫步世园会 爱家乡爱园艺清新园艺之旅 车览之旅小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同.(1)求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；(2)用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率.2 3.如图，用一条长4 0”?的绳子围成矩形4 8 C Z),设边48的长为x m.(1)边 BC的长为 m,矩形A B C D的面积为 m2(均用含x的代数式表示)；(2)矩 形 的 面 积 是 否 可 以 是 12 0 皿 2?请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由.ADxB C2 4.在 平 面 直 角 坐 标 系，中，已知直线产 营 与双曲线)=的一个交点是A(2,a).(1)求 k的值；设 点 P (加，)是双曲线产左上不同于A 的一点，直 线 以 与 x轴交于点8(4 0).若m=1,求 6的值；若 P B=2 A B,结合图象，直接写出的值.y5 -3 2-1 -I 1 1 1 1 _ 1 I 1 I 1 .-5 7-3 1 -Q 1 2 3 4 5 x2 5.如图，四边形4 BCC内接于0 0,ZB A D=90 ,A C是对角线.点E在 BC的延长线上，且N C E =N 6 A C（1）判断QE与OO的位置关系，并说明理由;(2)B A 与 CQ的延长线交于点F,DE/A C,AB=4,AD=2,求 A F的长.2 6.在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=o?+法+3 与），轴交于点A,将点A 向右平移2个单位长度，得到点8,点 8在抛物线上.（1）直接写出抛物线的对称轴是;用含的代数式表示公（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线与x轴交于尸、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求。的取值范围.8-7-6-5-43213-2-1O-1-2-3J _ I _ I _k1 2 3 4 56 7 8 x2 7.在 AB C 中，AB=2 C _ L A8 于点。，C D=V 2.（1）如 图 1,当点。是线段A B 的中点时，A C的长为；延长A C至点E,使得C E=A C,此时CE与 C8的 数 量 关 系 是,NB CE与N A的 数 量 关 系 是;（2）如图2,当点。不是线段A B 的中点时，画/B C E（点 E与点。在直线B C的异侧），使N BC E=2 N A,C E=C B,连接 AE.按要求补全图形；求A E的长.图22 8.对于平面直角坐标系x O y中的点P,给出如下定义：记点尸到x轴的距离为力，到y轴的距离为d2,若力W d2,则称力为点P的“引力值”；若did2,则称心为点P的“引力 值 特 别 地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0.例如，点尸（-2,3）到工轴的距离为3,至ijy轴的距离为2,因为2 0,二方程有两个不相等的实数根.故选：B.8.（3分）随着时代的进步，人们对PM 2.5 （空气中直径小于等于2.5 微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中P M2.5 的值y i （监/户）随时间（）的变化如图所示，设 表示 0时 到t时PM2.5的值的极差（即 0时 到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则 中与 f 的函数关系大致是（）98 7IB.024 t【解答】解：当 r=0 时，极差*=8 5 -8 5=0,当 0 f W 1 0 时，极差”随/的增大而增大，最大值为43；当 1 0 f W 2 0 时，极差”随 f 的增大保持43 不变；当 2 0 =/+?，把（0,-2）代入得m-2,所以满足条件的抛物线解析式为y=/-2.故答案为y=-2.1 0.（3 分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为|,则=1 .2 2【解答】解：由题意知：-=-，解得=1.2+n 31 1.（3分）如图，A A B C 中，NB=7 0 ,Z B A C=3 0 ,将 ABC绕 点 C 顺时针旋转得 C.当点B 的对应点。恰好落在4 c上时，Z C A E=5 0 .【解答】解：:A B C 中，Z B=7 0 ,则NBAC=3 0 ,将 A8 C绕 点 C 顺时针旋转得A E D C,点 B的对应点。恰好落在A C上，./BC4=1 8 0 -7 0 -3 0 =8 0 ,AC=CE,./BC4=/O CE=8 0 ,：.ZC AE=ZAEC=(180-80)X 1=50.故答案为：50.12.(3 分)如 图，48 是0 0 的直径，弦 CO_LA3 于 E,若NA8C=30,OE=V 3,则长 为 _ 2 V 3 _.：.AD=AC,：.ZAOD=2ZABC=2X30=60,在 RtZXODE 中，0=20E=2x 百=2遍.故答案为：2M.13.（3 分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是0.9（结果保留小数点后一位）.【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9,故答案为：0.9.14.（3 分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R,圆的半径为r,则 R 与 r 满足的数量关系是 R=4r.R【解答】解：扇形的弧长为：180 2二 圆的半径为r,底面圆的周长是如心由题意得：=2irr,2整理得：R=4 r,即 R 与 r 之间的关系是R=4r.故答案为：R 4r.15.（3 分）已知：如图，半圆O 的直径A B=12cm,点 C,。是这个半圆的三等分点，则/CAD的 度 数 是 30，弦 AC,AD和前围成的图形（图中阴影部分）的 面 积S是【解答】解：连接CO、OD,C D,V C.。是这个半圆的三等分点，J.C D/A B,NCOZ）=60,.NC4。的度数为：30,：O C=O D,.OC）是等边三角形，CD=OC=yB=6c7H,.OCZ）与CD4是等底等高的三角形，:.S 阴 影=5 扇 柩。co=X6-=6irc/7j2.16.（3 分）如图,在口心48（7 中，乙4。8=9 0 ,将4 4 8（7绕顶点C 逆时针旋转得到A5C,M 是 BC的中点，N 是 A E 的中点，连接M N,若 BC=4,NABC=60,则线段MN的最 大 值 为 6.BB【解答】解：连接CM在 RtZABC 中，V ZACB=90,BC=4,ZB=60,.乙4=30,：.AB=A B=2BC=8,:NB=N A,：.CN=A B=4,；CM=BM=2,：.MNWCN+CM=6,的最大值为6,故答案为6.三、解答题：1 7.解方程：2J-2X-1=0.【解答】解法一：原式可以变形为2（/一工+一|=0,QX 1、2 32。-2）=2,2=率.1 _,73,-x 2 士，./3+l 1-/3 =2，X?=2,解法二：a=2,h=-2,c=-1,：.b2-4ac=U,.2712 1土百x=-4-=.l+/3 1-V3 XI-2，X2=2（1 8.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程.己知：。0 及。0 外一点P.求作：直 线网和直线P 8,使 以 切 于 点 A,P B 切。0于点、B.作法：如图，作射线P 0,与。交于点M和点N；以点P 为圆心，以尸。为半径作。尸；以点。为圆心，以。的 直 径 为 半 径 作 圆，与0 P 交于点E 和点尸，连 接。和O F,分别与。交于点A 和点B；作直线P A和直线PB.所 以 直线附和尸 8 就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接PE 和 PF,：O E=M N,OA =O M=MN,.点A 是 0 E 的中点.,/PO=PE,.朋LO A 于点A（三线合一）（填推理的依据）.同理PBLOB于点3.,：OA,0 B 为 的 半 径，：.PA,P 8 是O 0 的切线.（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）.（2）证明：连接P E 和PF,：OE=MN,OA=OM=MN,.点A是 OE的中点，,:PO=PE.于点A （三线合一），同理P B _L O B 于点B,：OA,08为。的半径，；.孙，尸 8是。0的切线.（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）.故答案为：（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线.1 9.已知关于x的方程/+2 x+k-4=0.（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；（2）若 k=l,求该方程的根.【解答】解：（1）A =22-4 X I X （&-4）=2 0-4 4.方程有两个不相等的实数根，0.2 0-4/0,解得 5；的取值范围为A V 5.(2)当=1时，原方程化为f+2 x-3=0,(x -1)(x+3)=0,x-1=0 或 x+3=0,解得 x i =l,X2 -3.2 0.二次函数y u o +f e x+c(”W 0)的图象经过(3,0)点，当x=l时，函数的最小值为-4.(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；(2)直线xm与抛物线丫=/+云+。(。羊0)和直线y=x-3的交点分别为点C,点D,点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围.【解答】解：(1).当x=l时，二次函数)，=a?+f e v+c QW0)的最小值为-4,二次函数的图象的顶点为(1,-4),工二次函数的解析式可设为y=a(x -1)2-4 (a#0),.二次函数的图象经过(3,0)点，：.a(3-1)2-4=0.解得4=1.该二次函数的解析式为y=(x -1)2-4；如图，.-*-(2)由图象可得，3.2 1.如图，四边形A 8 C。内接于。，O C=4,A C=4 V 2.(1)求点。到A C的距离;(2)求NAOC的度数.【解答】解：(1)作。W_LAC于VAC=4V2,：.AM=CM=2y2,V 0C=4,，0M=y/OC2-M C2=2 企;(2)连接OA,：OM=MC,NOMC=90,；.N M O C=/M C O=45,：OA=OC,.NO4M=45,：.ZAO C=90 ,；.N B=45,：/。+/8=180,./=135.2 2.北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于2019年4月2 9日至10月7日在北京市延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4条各具特色的游玩路线，如表：A B C D漫步世园会 爱家乡爱园艺清新园艺之旅 车览之旅小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同.(1)求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；(2)用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率.【解答】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，在四条线路中，小美选择路线“清新园艺之旅”的概率士4(2)画树状图如下：开始/7KA B C D A B C D A B C D A B C D共 有 1 6 种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，4 1则小美和小红恰好选择同一线路游览的概率为L16 42 3.如图，用一条长4 0 加的绳子围成矩形A B C Q,设边AB的长为切z.(1)边 BC的长为(2 0-x)m,矩形ABCD的面积为(-/+2 0*)谒(均用含 x的代数式表示)；(2)矩形A B C Q 的面积是否可以是1 2 0,“2?请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由.ADxB C【解答】解：(1)根据题意，知边BC的长为：(2 0-x)m,矩形 4 B C。的面积为：(2 0-X)x=(-?+2 0 x)P；故答案是：(2 0-x)；(-f+2 0 x)；(2)若矩形A 8 C Q 的面积是1 2 0,后,则-/+2 Q x=1 2 0.=庐-4ac=-80 E=9 0 .E _ LO)于点 D.,.OE 是。的切线.(2)如图2,BO 与 AC交于点”,图2：DE/AC,:.NBHC=NBDE=90.：.BDLAC.：.AH=CH.；.B C=A B=4,CD=AD=2.：ZFAD=ZFCB=9Q,Z F=Z F,:Z A D s 丛 FCB.AD AF C B CF：.CF=2AF.设 A F=x,则 DF=CF-CD=2x-2.在 R t Z A Z)F 中，DF2A D2+AF2,：.-2)2=2 2+7.解得：X I =I，X 2=O (舍).,.AF=2 6.在平面直角坐标系x Q y 中，抛物线)，=0?+法+3与 y 轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度，得到点B,点 8 在抛物线上.(1)直接写出抛物线的对称轴是 直线x=l ；用含a 的代数式表示b；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段P Q所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点，结合函数图象，求。的取值范围.8765321 2 3 4 5 6 7 8 3【解答】解：(1)：抛物线丫=0？+加+3与y轴交于点4,.点 A (0,3),将点A向右平移2个单位长度，得到点B,.,.点 B(2,3),二过点A、点B的抛物线的对称轴为直线x=l,故答案为：直线x=l;由于对称轴是直线=一/=1,：.2a+b=0；(2)由于抛物线与x轴有两个不同交点，因此/-4 a c 0,而 c=3,2a+h=0,：.4a2-1 2 4 0,即 a2-3 a 0,；.a 3 或”0时，如 图1,开口向上的抛物线，该抛物线在P、。之间的部分与线段P。所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点，这七个整数点为(1,-1)(1,-2)(1,-3)(1,-4)(1,-5)(1,-6)(1,-7)当 x=l 时，y=a+h+c=-a+3,顶点坐标为(1,-a+3),，-8 W a -7,.,.l O Va W l l,当 a0时，如 图 2,该抛物线在尸、。之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点为(0,1)(0,2)(1,I)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2),当 x=-1 时，y=a-h+c=3a+3,恰好有7 个整数点，.f 3 a +3 1,*t-a +3 4 解 得-I综上所述a的取值范围为1 0 a W l l,-aJCD2+AD2=J(V2)2+(V3)2=V5.故答案为：V5.连接 BE.,.C4=CE,CA=CB,：.CE=CB,：CA=CB,：.ZA=ZCBA,：.ZECB=Z A+ZCBA=2NA,故答案为：CE=CB,NBCE=2NA.(2)图形如图2所示:图2如图2中，在4C的上方作ACT,使 得CT=C4,NACT=NBCE,过 点C作CH_LAT 于 H.：CA=CT,CHLAT,：.AH=HT,/ACH=/TCH,:/BCE=2/CAB,NECB=/ACT,：.ZACH=ZCAB,:CHAB,NCH4=NHAB=90,CD-LAB,：.ZADC=90,四边形AQC”是矩形，:.CD=AH=HT=yi,：.AT=2AH=2yf2,:ZACT=ZECB,：.ZACE=ZTCB,：CA=CT,CE=CB,：./XACETCB(SAS),:.AE=BT,：BT=yjAT2 4-AB2=l(2V2)2+(2A/3)2=2A/5,AE=BT=25.2 8.对于平面直角坐标系x O y中的点P,给出如下定义：记点尸到x轴的距离为力，到y轴的距离为出，若小W d 2,则称力为点P的“引力值”；若 力 出,则称4 2为点尸的“引力值”.特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0.例J如，点P(-2,3)到x轴的距离为3,到)，轴的距离为2,因为2 3,所以点P的“引力值”为2.(1)点A (-1,4)的“引力值”为1 ；若点B (a,3)的“引力值”为2,则a的值为 2 ；(2)若点C在直线y=-2 r+4上，且点C的“引力值”为2,求点C的坐标；(3)已知点M是 以(3,4)为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”的 取 值 范 围 是1 W 4 W空2.【解答】解：(1)：点A (-L 4)到x轴的距离为4,到y轴的距离为1,VI 4,二点A的“引力值”为L；点B (a,3)的“引力值”为2,.6 7=2;(2)设点C的 坐 标(x,y),点C的“引力值”为2,，=2或 尸 2,当x=2时，y=-2 X 2+4=0,此时点C的“引力值”为0,不符合题意，舍去,当x=-2时，y=-2 X (-2)+4=8,此时点C的坐标为(-2,8),当y=2时，-2 x+4=2,x=l,此时点C的“引力值”为1,不符合题意，舍去,当y=-2时，-2 r+4=-2,x=3,此时点C的坐标为（3,-2）,综上所述，点C的坐标为（-2,8）或（3,-2）；（3）如图，过A分别作X、），轴的垂线，分别交OA于B和C,交），轴于Z）,V4 （3,4）,AC=AB=2：.C(1,4),B(3,2).点M的“引力值”d最小为1,设 M(x,y),过作 M M L A C于 M当x=y时，点 例 的“引力值”d最大,：.MN=x-4,AN=x-3,AM=2,由勾股定理得：AM2=MN2+AN2,22=(%-4)2+(%-3)2,Z v2-1 4 x+2 1=0,2141/196=4x2x21 7+V7x=2x22(7-V727-V72）或（7+V7274-V7 点M的“引力值”d的取值范围是：i W d W 竽.故答案为：1 W d W.