2020-2021学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

2020-2021学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数2=至，则复数Z在复平面内对应的点位于（）3 1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量五=（3,4）,b=（simz,cosa），且为JL b,则1加。为（）A-Z B.g C,-|D.-i3.已知不共线向量方，b，-t a +b（t e R），:五一|方共线，则实数t=（）A.|B.|C.D.土当4.已知瓦，孩是夹角为60。的两个单位向量，则五=2可+与与石=一3瓦（+2五的夹角是（）A.30 B.60 C.120 D.1505.已知AZBC外接圆圆心为。，半径为1,2A O =AB+A C，且|瓦？|=|而|，则向量存在向量直方向的投影为（）A.；B.夜 C.立 D.2 2 2 26.在实数集R中，我 们 定 义 的 大 小 关 系 为 全 体 实 数 排 了 一 个“序”.类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记 为“”.定义如下：对于任意两个复数Zi=%+b ji,z2=a2+b2i（a1,a2,b1,b2 6 R）,zx z?当且仅当“%a2n或 的=。2且瓦 b2n.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若Z i Z 2，则;若Z1 z2,z2 z3,则Zi z3;若Zi Z2,则对于任意Z e C,Zi+Z Z2+z；对于复数z 0,若Zi Z2,则ZZ1 ZZ2.其中所有真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47 .在ABC中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,若 ABC为锐角三角形，且满足s i n8(l+2 c os C)=2 sinA cosC +cosA sinCf 则下列等式成立的是()A.a=2 b B.b=2 a C.A =2 B D.B =2 A8.已知ABC外接圆的半径R =2,且2 7 5 c os 2?=s i m 4,则 ABC周长的取值范围为()A.(2V3,4 B.(4,473 C.(4A/3,4+2V3 D.(4+2 g,6旧二、多 选 题（本大题共4小题，共20.0分）9 .设有下面四个命题，其中正确的命题是（）A.若复数z满足工/?,则z C RZB.若复数z满足z 2 e R,则z w RC.若复数Z ,Z 2满足Z 1 Z 2 6R,则Z 1 =Z 2D.若复数Z i，Z 2，则区-Z 2|=|Z 1|-z21 0 .下列关于向量的命题正确的是（）A.向量五，石共线的充要条件是存在实数;I,使得方=2 0成立B.对任意向量落b,|五一方|W|初一|E|恒成立c.非零向量ZE,c,满足苍a b/c,则五不D.在A O A B中，C为边4 B上一点，月.AC：C B =2：3,则 灵=|列+（而1 1 .下列选项正确的是（）A.在A/I BC中，a =8,b=1 6,4 =30。，该三角形有唯一解B.在4 BC中，h=1 8,c =2 0,B =6 0,该三角形有唯一解C.锐角 ABC中，A =6 0,贝U c os B在2D.4 BC中，sinA s i nB的充要条件是A B1 2 .如图，在4 4 8 C中，A B 1 A C,A B =A C =3,D,E,F分 C别在边AB,BC,C 4上（与线段端点可重合），且D E J.E F,EB E=2 E C.则下列结论正确的是（）7A.EF：F D的值是定值ADB.C F的范围是 1,2 C.D E F面积的最小值为1D.D E F的周长最大值为3&+第2页，共2 2页三、填空题(本大题共4小题，共2 0.0分)1 3 计算：(fi)=.1 4 .不共线的三个平面向量两两的夹角相等，且|引=住|=1，花|=4,则|五+方+?|二-1 5 .在AZ BC中，角4 B,C所对的边分别为a,b,c,且满足s i nd =在，荏 而=3.若2 5b +c =6,则a =.1 6 .已知4,8,C是一条大路上的三点，48与8C各等于2千 c.米，从三点分别遥望灵山大佛M,在4处看见M在北偏东45。方向，在B处看见M在正东方向，在C处看见M在 B -M南偏东6 0。方向，则灵山大佛到直路2 B C的最短距离为四、解答题(本大题共6小题，共7 0.0分)1 7 .已知复数在Z =a +i,z2=1 i,a e R.(1)当。=1时，求的值：(口)若Z i -Z 2是纯虚数，求a的值；(i n)若U在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围.1 8.在A a B C中，设角4 B,C的对边分别是a,b,c.(1)用向量方法证明：C O S A =:二。；(2)用向量方法证明，两角差的余弦公式;19.在4BC中，乙4的平分线4 D,点。在边BC上,4。=3,AC=4,CD=2.(1)求cosC的值；(2)解三角形4BC(要求cosA,cosB,AB,BC四个量 中至少求出三个).20.在平行四边形4BCC中，M,N分别是线段4B,BC的中点.(1)令 而=方，而=方，试用向量不，石 表 示 丽，DN-.(2)若OM=1,DN=2,/-MDN=p 求五.方的值.NA M B第4页，共22页21.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知空比 亚 =等工sinC a2+c2-b2(1)求角B的大小及y=sin2A+sin2c的取值范围；(2)设。是AC上一点，且4D：DC=1：2,BD=1,求a+3c的最大值.22.如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道力B C O E,四边形BCCE是矩形，其中CD=8km,BC=3km；ABE是以BE为底边的等腰三角形，AB=5km.现欲在BE的中间点P处建地下污水处理中心，为此要过点P建一个“直线型”的地下水通道MN接通主管道，其中接口处M点在矩形BCDE的边BC或CD上.(1)若点M在边BC上，设NBPM=。，用。表 示 和 NE的长；(2)点M设置在哪些地方，能使点M,N平分主通道ABCDE的周长？请说明理由.D第6页，共22页答案和解析1.【答 案】B【解 析】解：.12021=0 4)505.i =hi i(3+t)1,3.z=-=-H-L.3-i(3-i)(3+l)10 10复数Z在复平面内对应的点(一2席 位 于 第 二 象 限.故 选:B.根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.2.【答 案】D【解 析】解：1向量万=(3,4),b=(sina,cosa)且五 _Lb，3sina+4cosa 0,=i,cosa 34贝 ijtcma=故 选：D.由两向量垂直，根据两向量垂直时数量积为0,利用两向量的坐标列出关系式，变形后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可求出tana的值.此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.【答 案】D【解 析】W：t a +K 汐|b共 线，二存在实数x,使 得 一+E =三一|石），1_t _ X一%,1 =2X,口故 选：D.利用共线向量定理，列出方程组求出t的值.本题考查了共线向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4.【答 案】C【解 析】【分 析】本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题.利用两个向量数量积的定义求出百瓦,再求出I反I,/I，百 小 的值，根据c o s。=磊，求 得 益=2瓦+五 与 方=一3浣+2名的夹角。的值.【解 答】解：.已知瓦，要是夹角为60。的两个单位向量，,百 可=1 x 1 x cos600=设方=2瓦 +瓦与方=一3可+2部的夹角为。，0 0 Z 2当 且 仅 当“的 或“的=且坊 电”.若Z 1 =1 +0 l,Z2=-2+Oi,满足Z 1 Z 2,但|z/忆2|不 成 立,故 错 误.由定义可得，复数的大小具有传递性，故ZiZ2,Z2 Z3,则Z i Z 3,故正确.正确，设z=c+d i,由Zi Z2时 a2n或“的=且瓦 ,可 得c+的 c+a?或c+%=c+a2S.d+br d+b2 即z+z z2+z成立；不正确，如当Zi=3i,z2=2i,z=2m、l,zz i=-6,zz2=-4,显然不满足zz1 zz2.故选：B.根据复数集C上定义的“序”的关系，对四个选项逐个判断，即可得到答案.本题考查复数的基本概念，理解复数集C上定义的“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析与运算能力，属于中档题.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理的应用，考查计算能力，属于综合题.利用两角和与差的三角函数公式化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可.【解答】解：在ABC中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,满足 sin8(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC 4-sin(Z+C)=sinAcosC+sinB,可得：2sinBcosC=sinAcosC,因为 ABC为锐角三角形，cosC0,所以 2sinB=sinA,由正弦定理可得：2b=a.故选A.8.【答案】C第10页，共22页【解析】解：由题意知，2c os 1 =3 sinA 1,2 3即 cosA sinA =-1 3可化为 2 8 s i n G 4-9 =3,即sin(4 -g)=y；因为04 2 配(当且仅当b=c时 取 =”),所以 1 2 =b2+c2+be 3bc,即be 4；又因为 1 2 =b2+c2+be=(b+c)2 be,所以be=(b+c)2-1 2 a,所以a+b+c 2 a=4 V5，即4 百 a +b+c|初一|方故 3错、口庆；对于C,易知，非零向量匕E，C,满足日B，K/C =a/c-故 C正确；对于D,由 已 知 得 南=成+：荏=就+久 话 丽)=|初+|南，故 O正确.故选：C D.利用向量共线的充要条件、向量模的性质、以及向量线性运算的几何意义，逐项判断即可.本题考查平面向量的性质以及线性运算的性质，属于中档题.11.【答案】A C D第12页，共22页【解 析】c h 8 16解：对于4,由正弦定理：&=白，则丁=茄，即sinB =l,所以B =9 0。，有一解，sinA sinB 5 S L nt f所 以A正 确；r h20 18 b,所以C B,故c有两个值，三 角形有两解，8不正确；对于C,因为 A B C为锐角三角形，A =60,所以:C 器=:葭。喝 9。=3。-9。，则。8 s B B o a b o 2 RsinA 2 RsinB =sinA sinB,其中/?为4 A B C外接圆的半径.，所 以。正 确；故选：A C D.4选 项，由正弦定理，代入解出s inB =1,即可判断；B选 项，由正弦定理，代入解出s inC,再通过大边对大角，即可判断；C选 项，取B角的一个特殊值即可判断；。选 项，由正弦定理边角互换即可判断.本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.【答 案】A C D【解 析】解：因为A B 14C,AB=AC=3,所以以4 点为原点建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(0,3),E(l,2),F(0,a),。(h 0),DE 1 EF,贝 悦 前=0，屁=(1-b,2),前=(-1,a-2),OF EF=(l-b)-(-l)+2 (a 2)=0,2a+b-5=0,所以b=5 2a,0 6 3,0 5-2 a 3,则 1 a|.对于4,|前|=J l +(a-2)2,|D F|=2 +a2=J(5 _ 2a尸+a2-,5(a 2 4a+5)=国(a-2尸+1则 黑=所以A 正确.DF V5V(a-2)2+l 5对于8,而=(0,a 3),|CF|=|a 3|,因为1 a ,2 a 3|C F|6 p 2 ,所以8 错误.对于C,DEF面积为：|D E|E F=|V(l-6)2+4-V(a-2)2+1=1 V(1-5+2a)2+4-J(a-2尸+1=(a-2)2+l,l a/；1的周长为：DE +EF +DF =J(1-5+2a4 +4+J(a -2产+1+冈(a-2.+1=(3+V5)V(a-2)2+1,1 a=120=120,b=120,X|a|=|1|=1,|c|=4,则五-b=a b|cosl20=-|,a-c=|a|c|cosl20-2,b-c=b|c|cosl20-一2,贝+B+七2=/+片+/+2五 不+2日+2=9，BP|a+K+c|=3.故答案为：3.由平面向量数量积的运算，结合向量模的运算求解即可.本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.15.【答案】2V5【解析】解：co s/=1-2sin2g=,且4为三角形的内角，,义AB,AC-bccosA=3，:，be=5,3.b+c=6,be=5,cosA=由余弦定理得：a2,=b2+c2-2bccosA=(b+c)2 2bc 2bccosA=36 10 6=20,则a=2V5.故答案为：2遍.利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将COS4的值代入求出儿的值，由余 弦 定 理 得 到=炉+02-2bccosA,利用完全平方公式变形后，将b+c,be及cosA的值代入，开方即可求出a的值.此题考查了同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算，余弦定理，完全平方公式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.【答案】14+108千米13【解析】解：因为在4 处看见M在北偏东45。方向，在B处看见M在正东方向，在C处看见M在南偏东60。方向，如下图所示：第16页，共22页北所以Z J 1M B =45,4 C M B=30 ,所以 N C M 4 =7 5由题意可知4B =B C =2千米，所以 M BC与4 M B 4面积相等，所 以 M 4 M s伍45=3 B M .C M .sin30,即C M =y/2 A M,记AM=a干米，则C M =&a千米，在 M A C中，A C =4干米，由余弦定理得：16 =3。2 一 2缶2c o s 7 5,)16记M至心C的距离为h,贝吧x V a 2s in7 5=；x 4/i,得八=生 鼻2 2 13 灵山大佛到直路A B C的最短距离为：匕把它千米.1 3故答案为：S照 千米.1 3根据已知条件求得N CM4由题意可知 M B C与AMBA面积相等，利用三角形面积公式可求得CM和4M的关系，进而在 MAC中利用余弦定理求得最后根据三角形面积相等即可求出M直路4 B C的最短距离.本题考查了余弦定理在实际中的应用，属于中档题.1 7.【答案】解：(I )当。=1时，zi 务=(1 +i)(l +i)=1 +i +i-l =2 i；(I I)由 Zi-Z2 =(a +i)-(1 -i)=a -1 +2 i 是纯虚数，得a-1 =0,即a =1；(H I)由2=若=窘窘=+等i在复平面上对应的点在第二象限,得:;:即一 1 a b=-DN-DM3 3又 两 而=DM D N COSLMDN=1,所以心至=(|D/V-|D M)(|D W-|D M)=1 D N 2-DM-D N +1 D M 232 20,8 20-.9 9 9 9【解析】(1)利用平面向量线性运算可直接求得结果；(a=-DN-DM(2)由(1)可得 一：一：一，由平面向量数量积的定义和运算律即可求得结果.lb=-D N-D MI 3 3本题主要考查平面向量的线性运算，向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.21.【答案】解:(1)-2-si-n-A-s-i-n-C=-a-2-+-b-2-c-2,sinC a2-c2-b22a-c a2+b2-c2A-=c a2+cz-bzA a2+c2 b2=ac,oa2+c2-b2 1A COSD=-=-2ac 2故 B吗故 A+C号y=siMa+sin2C=sin2 4 +sin2(y-A)=-+-sin2/l-V sinAcosA4 2 2=-(1 cos2A)H stn2A+-22、7 4 4=刖(2 4-)+1,z ov 0 ,37 r r A 7T,77r Z 2 Z NL，3 3 ”(，即y=sin2/l+sin2c的取值范围为导1；(2)v cosZ-ADB+cosZ-CDB=0,i+b2-c2 1+)2 5J 9 1+9 2=0,21-b 2 1 1 b即|/=a2+2c2 3,第20页，共22页又：a2 4-c2 Z?2=ac,:.2(Q2 4-c2 ac)=3(a2+2c2 3),即(a 4-c)2+3c2=9,设Q+c=3cos0f V3c=3sin0f a+3c=2遍sin。+3cos0=V21sin(0+9)(其中tan。=y)当sin(8+0)=1时，Q+3c有最大值或I.【解析】(1)由正弦定理化简陋乂竺=答W得a2+c2-b2=a c,再利用余弦定理求8 即可；sinC az+c2-dz由/+C=?化 简、=sin2/l+sin2c=sin(2A-g)+1,从而求y=sin27l 4-sin2c的取3 2 6值范围；(2)由C0S4ADB+cos上CDB-0化简得|炉=a2+2c2 3,从而得到(a+c)2+3c2=9,构造得a+c=3cos。，S c =3stnS，从而求得.本题考查了三角函数的性质及解三角形的应用，属于中档题.22.【答案】解：(1)当点M在边BC上,设/BPM=0(0 tand 令，在Rt BPM 中，BM=BP-tand=4tan。.3 4 PE NE在APEN中，不妨设4PEN=a,其中sina=：,cosa=口 则三行。=，55 Sin/i-tz uj Sint74sin6sin(9+a)20sin6 _ 20tan04sin0+3cos6 4tan3+3即NE=(2)当点M在边BC上，由BM+4B+AN=MC+CC+DE+W,BM-NE=2；即2碗。一黑=1；即8 tm 2好 比 即。-3=。，解得tm。=等.V tane=上 包 三 与0 tand :矛盾，点只能设在CD上.4 4 4 4当点M在边CD上，设CC中点为Q,由轴对称不妨设M在CQ上，此时点N在线段AE上；A设Z_MPQ=0(0 tan0 -),在Rt MPQ 中，MQ=PQ tand=3tand在P4N中，不妨设NP4E=,其中s讥/?=g,cos0=|；DElIl-P-A-=-A-N-,ni1即.A xrN =-3-s-i-n-0-=-I-S-s-i-n-O-I-S-ta-n-O-Jsin(?r-/?)sin。sin(8+0)3sin0+4cos0 3tan6+4由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+E N,得AN=M Q,即3tan0=黄尊0；解3tan0+4得 tan。=0 或 tan。=|；故当CM=4,或者CM=4-3 xg=3时，符合题意.答：当点M位于CD中点Q处，或点M到点C的距离为3k?n时，才能使点M,N平分地下水总通道4BCDE的周长.【解析】(1)根据条件结合三角形的边角公式建立函数关系即可.(2)根据正弦定理结合三角函数的性质进行求解.本题主要考查三角函数的应用问题，根据正弦定理建立方程公式以及利用三角函数的公式进行化简是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.第 22页，共 2 2 页