2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之倍长中线法.pdf

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之倍长中线法（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=9（r,AC=8,尸为AB边的中点，点。，E分别在AC,B C边上运动，且保持45=CE,连接D E、DF,E F.在此运动变化的过程中，下列结论：是 等 腰 直 角 三 角 形；四边形CDFE的面积保持不变；A D+B E D E.其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】连接CF,利用SAS可证 A D F C E F,从而得出D F =FE,Z A F D =N C F E,从而求出/EFD=90。，即可判断；根据全等三角形的性质可得1.=5 q一从而得出四边形CDFE的面积为;S,.pc，从而判断；延长。6到G使F、G=O F,连接EG,BG,证出AD=3G和OE=EG,最后根据三角形的三边关系即可判断.【详解】解：如图，连接CF.V A C =B C,尸为A8的中点，/.CFA.AB,Z A C F =Z B C F =-A C B.2,/Z ACB=90 ,：.ZA=Z A C F =A B C F=45,/.CF =AF.又.?!=*:.&ADF/&C E F.:.D F =FE.AAFD=Z C F E,.*ZAFD+ZCFD=90,NCFE+NCFD=90,ZEFD=90,。印 是等腰直角三角形.正确.：AADFRCEF,S JD F =SACEF，、四边形 C D F E 的面积为 SqC D F +SdC E F =SACDF+SAMDF=A F C=耳 A B C -,-，5“,slfclC=-2A CxfiC2=-x8x8=32,四边形CW芯的面积为1 6,为定值.正确.延长。尸到G使FG=D F,连接EG,8G.V AF=BF,ZAFD=ZBFG,DF=FG,：./XADF/XBCF,：.AD=BG.；NEFD=90,；EFLDF,DE=EG.在AEBG中，BG+BEEG,：.AD+BEDE.正确.均正确，故选A.【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性侦、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系,掌握构造全等三角形的方法是解决的关键.2.在AABC中，AC=5,中线AZ=7,则A8边的取值范围（）BA.2 A B i 2 B.4 A B 2 C.9 A B 1 9 D.1 0 A B 至E,使。E=A ,然后利用“边角边”证明 A B O和 E C。全等，根据全等三角形对应边相等可得A 8=C E,再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出C E的取值范围，即为A 8的取值范围.【详解】解：如图，延 长 至E,使A是 A B C的中线，：.BD=CD,在 A 8 O和 E C O中，B D=C D N A D芹N E D C,A D=D E:.A A B D W A E C D(S A S),：.AB=CE,AD=7,；.A E=7+7=1 4,V1 4+5=1 9,1 4-5=9,：.9CE19,即 9AB2ZABF C.ED+BC=EBD.S四 边 形 O T 7)C =【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可以得到CD=2 4)=2BC=8,且 F 为0 c 的中点，所以CF=BC=4,由此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到NCEB=N E R 4,由此可判断8 选项；同时延长所和BC交于点P,DF=CF,NDFE=NPFC,ND=N F C P 可以证得。自所以O+8C =C P+8 C=8 P,由此可以判断C 选项；由于 DFE=CFP,所以S四 边 形D E B C =SvBEP，由此可以判断D 选项：【详解】四边形ABCO是平行四边形:.CD=2AD=2BC=8CF=BC=4由于条件不足，所以无法证明8尸=4,故A选项错误；CF=BC=4NCFB=NFBCD C/ABNCFB=ZFBC=NFBAZ A B C =2ZABF故8选项错误；同时延长所和B C 交于点PADBPZ D=Z F C PD F =CF 在 A D F E 和 ACFP 中：,N D F E =N P F CZ D =Z F C P（ASA）AD F E.C F PE D+B C =C P+B C =BP由于条件不足，并不能证明外=BE,故C选项错误;ADFEWACFPS四边形DE8cF为 C的中点S y BEP=2SVB =S四边形。EBC故。选项正确;故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.5.如图，在A 4 B C中，A B A C,A 是中线，A E是角平分线，点厂是A E上任意一AD FR点(不 与A,E重合)，连接8尸、C F.给出以下结论：芸=笠；A C ECZ D A E =(Z A C B-Z A B C)；;(A B-A C)4 0 A C+B F.其中一定正确的有()ABD ECA.4 个 B.3个 C.2 个 D.1个【答案】B【分析】S A8 S BE根据面积法可得1=1=7万，从而可得正确；由AD是中线，无法dAAC A C 匕得出/D 4E =1(/A C 8-Z A B C),故可判断错误；运用SAS证明AAC=AA出得2A C M B,在AAM8中运用三角形三边关系可得结论，从而判断；在AB上截取AN=A C,连接尸N,运用SAS证明A4/W三A4FC得 NF=C F,在ABM中运用三角形三边关系可得结论，从而判断.【详解】解：过 E 作 EG_LA8 于G,E H I A C H,过 A作 4K_LBC 于 K,NBAC+ZACB+ZABC=180金B D E K JAE是 Z&4C角平分线，.EG=EH,c-A B E G .SgBE _ _2_&S -A C EH 42.AK_L3C,S B:B E A K,SM C E=CE-AK LBE-AK NR.SM BE _ 2_ SC E-C E A K CE2AB EB MOT 花 就=由，故正确;CE G L A B,EH LAC,5cABAC=180。-(ZACB+ZABC),JAE平 分 C,NBAE=ZCAE=-ZB AC=90(NACB+ZABC),2 2.AO是中线，无法得出/DAE=-(ZACB-/ABC),故错误；2延长AO到M使DM=4),连接BM,/4)是中线，：.BD=CD,在AAOC和AMDB中,AD=MD ZADC=NMDBBD=CD/ADC=MDB(SAS):.AC=MB在AAMB中，AB-BM AM AB+BM-.AMAD+DM2AD,AC=BM,:.AB-AC2ADAB+AC:.-(AB-AC)AD-(AB+A C),故正确;22在AB上截取4V=A C,连接尸N,A是角平分线,:.ZNAF=ZCAF,在AAFN和AAFC中,AN=AC-ZNAF=ZCAFAF=AFMFN=AAFC（SAS）,NF=CF,在 MN/7 中，BF-NFBN,BN=AB-AN=AB-AC:.BF-CF A C+8 F,故正确；综上正确.故选B.【点睛】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线.6.如图，在 ABC中，AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线，A D的取值范围是（）A.1AD 6 B.1AD 4 C.2A D 8 D.2A D 4【答案】B【分析】先延长AO到E,&A D=D E,并连接B E,由于NAQC=/3 D E,BD=DC,利用%S易证VADCWVEDB,从而可得AC=3 E,在八山组中，再利用三角形三边的关系，可W 2 AE8,从而易求 1ADE,连接8 E,则AE=2AD,*：AD=DE,ZADC=NBDE,BD=DC,VADCVEDB（5A5）,.BE=AC=3,在AEB 中，AB-BEAEAB+BE,即 5-3 2 4)5+3,A 14.故选：B.【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.7.如图，在“8C中，。为 BC的中点，若 AC=3,AO=4.则 AB的长不可能是（）【答案】A【分析】延长4。到 E,使 AD=OE,证明AAOC丝 然 后 利 用 三 边 关 系 即 可 得 出 结 论.【详解】解：延长A。到 E,使 AD=DE=4,连接BE,E.。是 8 c 的中点,：.BD=CD又 NBDE=NCDA:.AADC%AEDB,，BE=AC=3由三角形三边关系得，AE-BE AB AE+BE即：5AB11故选：A【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键.8.如图，在四边形 ABC。中，AB/CD,A B B D,AB=5,BD=4,CD=3,点 E是 AC的中点，则 8E的 长 为（）.A.2 B.1 C.75 D.3【答案】C【分析】延长BE交 C/）延长线于P,可证A E B g aC E P,求出。P,根据勾股定理求出B P的长，从 而 求 出 的 长.【详解】解：延长BE交 CD延长线于P,AB/CD,：.NEAB=NECP,在4 AEB和 CEP中，NEAB=ZECP_LA8 于点。，点 E 为 A尸的中点，若 NADE=50。,则DB的度数是（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】D【分析】连 结 C E,并延长C E,交 BA的延长线于点M根据已知条件和平行四边形的性质可证明4 所以 NE=C,N4=CF，再由已知条件 COJ_A8 于。，NADE=50。，即可求出N 8 的度数.【详解】解：连 结 C E,并延长C E,交 BA的延长线于点N,.四边形ABCF是平行四边形，J.AB/CF,AB=C尸，:./N A E=N F,点 E 是的A F中点，：.AE=FE,在4 2 4 和4 CFE中，2NAE=NF AE=FE,NAEN=NFEC:.XN AE妾4CFE(ASA),：.NE=CE,NA=CF,：AB=CF,:.N A=A B,即 BN=2AB,:BC=2AB,:*BC=BN,NN=NNCB,：CDA.AB 于 D,即 NNDC=9。且 NE=CE,：.D E=NC=NE,：.NN=NNDE=5Q=NNCB,./B=8 0。.故选：D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.1 0.如图，AA8C中，。为 8 c 的中点，点 E为血延长线上一点，交射线AC于点尸，连接E F,则 8E+CF与 EF的大小关系为()EA.B E+C F E F D.以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长ED到T,使得DT=D E,连接CT,T F,证明 EDBZZTDC(SA S),推出 BE=CT,由 CT+CFFT,可得 BE+CFEF.【详解】解：如图，延 长 到T,使得。T=E,连接CT,TF.：DE=D T,D F 1 E T,:.EF=T F,在 AEDB 和中，D B=D C-ZEDB=Z.TDC,DE=DT:Z D B 三 HDC(SAS),:.BE=C T,.C T+CFFT,：.B E+C F E F,故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.二、填空题1 1.如图，AABC中，。为BC的中点，E是A上一点，连接座并延长交AC于E,BE=A C,且8尸=9,CF=6,那么AF的长度为3【答案】2【分析】延长A。至G使AO=O G,连接8 G,得出A A S兰AGBO,得出4C=8G=8石，所以得出AA灯 是 等腰三角形，根据己知线段长度建立等量关系计算.【详解】如图：延长AO至G使AO=Q G,连接8G在AACD和AG8O中：CD=BD ZADC=NBDGAD=DG：.MCDwAGBD:.ZCAD=ZG,AC=BG9：BE=AC：.BE=BG：.4G =/BEG:ZBEG=ZAEF：.ZAEF=ZEAF，EF=AFAF+C F=BF-E F即A F+6=9-E F【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.1 2.在 平 行 四 边 形 中，E 为 边 的 中 点，S.ZEAF=ZDAE,AF交射线BC于点F,若 AF=13,CF=3,则 B F的长度为【答案】7或 19【分析】延长A E交 BC的延长线于点G,分两种情况：点 F 在线段BC上和点F 在线段BC的延长线上，分情况讨论即可.【详解】延长A E交 BC的延长线于点G,分两种情况：如图，四边形ABCD是平行四边形，ADMBC,AD=BC.NG=乙DAE=ZE4F.ZD=NGCE,:.GF=AF=13,:.GC=G F-C F=3-3 =0.点E 为 CD边的中点，:.DE=CE,ZDAE=G在&ADE 和 AGCE 中，N O =NGCEDE=CE:./A D E sG C E(A A S),.-.AD=GC=IQ,:.BC=IO,：.BF=BC-CF=7；如图,同理可得 G F=A F =13,A A O E 三 GCE,GC=GF+CF6,AD=GC=6,:.BC=16,:.BF=BC+CF=9-,综上所述，B F的长度为7或19,故答案为：7或19.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键.1 3.在A4BC中，A 9是BC边上的中线，若AB=7,AC=5,则4 9长的取值范围是【答案】AD6【分析】利用中线的性质，作辅助线A D=D E,构造全等三角形AAOB三AEOC(SAS),再有全等三角形对应边相等的性质，解得C=A8=7,最后由三角形三边关系解题即可.【详解】如图，A D为B C边上的中线，延长A D至点E,使得AD=DEA在 ADB和仆EDC中BD=DC ZADB=ZCDEAD=DE:.&ADB=AEDC(SAS)；.CE=AB=7：C E-A C AE AC+CE.7-57+5/.1 AD6故答案为：1AD=6,连接C E,证明 合 CED(SAS)CE=4?=5,NBAD=Z E,再根据勾股定理的逆定理证得NCE=90。，即4 4 0=9 0。，然后利用勾股定理求解即可.【详 解】延 长4。到 点E,使)E=A=6,连 接CE,.AO是8 c边上的中线，；.BD=CD,在ABD和XCED中，BC=CD:.BD=y/7 =而,BC=2BD=2屈.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等三角形及证得/B AD=NCED=90。是关键.15.已知 A 3C中,AZ)是4 A 5C的中线,A5=4,AO=5,则 边AC的 取 值 范 围 是 .【答 案】6x14【分析】延 长AD至 点E,使AD=DE,由全等三角形的判定定理得出4 ACDAEBD,故AC=BE,再由三角形的三边关系即可得出结论.【详解】解：延长AD至点E,使 AD=DE,BD=CD ZBDC=NCDA,AD=DE.ACDAEBD(SAS),AAC=BE.在 ABE 中，VAB=4,AE=2AD=10,10-4 BEC 10+4,即 6BE14,.,.6AC14.故答案为：6AC/5.BE=-B F=.2 2【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.1 9.如图，在矩形A8CD中，E,尸分别为边8,AO的中点，CF与EA、EB分别交于点例、N.已知A8=8,8 c =1 2,则 MN的长为.【答案】I【分析】延长 BE,A。交于 Q,已知 4?=8,8 c =1 2,则 CF=J c。2+DF2=10，因为 E 为 CD中点，即可得AQDE/ABCE（A4S）,通过AQVFSABNC,根据对应边成比例可得FN、C N 的长；同理延长CF,交于点W,即可求出CM 的长，即可得MN.【详解】解：延长8E,AD交于Q,.4)=90,AD=BC=2,AD/IBC,./为 中点，:.DF=AF=6,在 HACOE 中，CD=AB=8,由勾股定理得：CF=/CD2+DF2=10 V ADI IBC,NQ=NEBC,E 为 CO中点，8=8,:.DE=CE=4,NDQE=ZCBE在&QDE 与 ABCE 中，ZDEQ=NCEB,DE=CE：.AQDEABCE(AAS),A DQ=BC=2,即 QF=rQ+。尸=18,：ADI I B C,:bQ N Fs m NC,:.曳=CN BC 23 2VCF=70,A FN=-C F =6f CN=-C F =49延长CT,8A交于点W,D 尸为D4中点，:DF=AF,VAWF=ZDCF在 A4FW 与 DFC 中，乙4尸 W=ZDFCAF=DF：.MFWADFC（A4S）,A AW=CD=8,：.BW=BA+AW=16f CF=NF=10,A CW=20,V ABH CD,：.ACMEAWMA,WM AW 2 3 3:.MN=FN+CM-CF=6+上08=3fQ即MN的长度为%【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8 字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型.2 0.如图，在正方形A8C。中，MV分别是A。、BC边上的点，将四边形A8MW沿直线MN翻折，使得点4、8 分别落在点4、9 处，且点8 恰好为线段C。的中点，AB交 于 点 G,作DPLMN于点P,交4ZT于点Q.若AG=4,则PQ=BN【答案】运5【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形,综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解.【详解】如图，连接B 8 B，延长N8、交于点尸，则C N B 0A F D B,ZCBN=Z F B D =NOGS,根据翻折的性质可得AFMN为等腰三角形，Z E F M=Z E F N,作尸E_LM N于点E,设D B =B，C=x,则正方形边长为2x,5 5 3则 BB=MN=/5X,B N=X,FM=FN=-X,CN=FD=-X,X X 1 1 YDG=2x-4,G M =4 ,AM =A M=-,F G =-444 4,2 4上由A M G s 4 F B G,得鲁=当，则 袅=7 7 7 -，解得=6,卜B FG 2 1 44 7一15 9 21则 BC=6,8N=,CN=,DG=8,O M=,2 2 2.P D =-D M=5 5BC 1设 NCBH=ZNFE=ZM FE=/M D P =a,则 ta n a=-,BC 2设 4CBN=4DGB=。,则 tan=NC =二3，B C 4此时作。J_GO,GH;普,DH=,tan p tan aW +3-=8=Q H=,则 Q O=&H=,tan/tana 5 上 丫 上 59J5.PQ=P D-D Q =-故答案为：处.5H【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点.三、解答题2 1.课堂上，老师出示了这样一个问题：如 图 1,点。是 AA8C边 BC的中点，A8=5,AC=3,求 AO的取值范围.图1图2(1)小明的想法是，过点B作交AD的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；(2)请按照上述提示，解决下面问题：在等腰心AABC中，NB4C=90。，A B =AC,点。边 4 c 延长线上一点，连接B。，过点A作于点E,过点A作且AF=A E,连接EF交 BC于点G,连接 C F,求证BG=CG.【答案】(1)1VA DV4；(2)见解析【分析】(1)根据已知证明进而求得AC=8 E,根据三角形三边关系即可求得 AO的取值范围；(2)过点8 作。交房的延长线于M,证明V A B E A A B,得CF=B E,再证明8M=C E,进而证明5MG2 C F G,即可证明8G=CG【详解】(1)BEHAC:.Z E =ZEAC Z.BDE=ZADC,BD=CD ABDEAADC.AC=BE=3；A B-B E A E vA B+B E,即2v2AD 8/.14(2)如图，过点8 作/EC交正的延长线于历，,Z2=Z3,AF=A E,A F A E,/.Z 4=ZAEF=45,Zl=180o-ZA B-ZA F=180o-90o-45o=45,/AB=AC,AE=A F B A C =NEAF=90 ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC即 NBAE=NC4/VABEVACF:.CF=BE,ZAEB=ZAFC=90/.Z3=90o-Z 4 =45/NAEF=Z3=Z4=45,AE _L BD.-.Z 2 =Z 3 =Z 1 =4 5O:.B E=B MB M =CF又；4 B G M =Z C G F,ABMGACFGB G =C G【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.2 2.(1)阅读理解：如 图 1,在AABC中，若 A 8=1 0,B C=8.求 AC边上的中线B O的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长80至 E,使。=80,连接CE.利用全等将边A5转化到CE,在4 B C E中利用三角形三边关系即可求出中线B D的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是;中线B D的取值范围是.(2)问题拓展：如图2,在AA8C中，点。是 AC的中点，分别以A B,为直角边向4 A B C外作等腰直角三角形A B M和等腰直角三角形B C N,其中NA5M=N N B C=9 0,连接探索8。与 MN的关系，并说明理由.图 2【答案】(1)SAS；BD 得出C E=A B=1 0,在ACBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；(2)延长BO 至 E,使 E=2。，连接CE,由(1)得：&A B D 公X C E D,由全等三角形的性质得出A B=C E,证出/BCE=NMBN,证明 BCE丝A N B M 得出 B E=M N,N E B C=N M N B,则 2 B D=M N.延长 DB 交 M N 于 G,证出 N B G N=9 0。，得出B D L M N.即可.【详解】（1）解：8。是AC边上的中线,:.AD=CD,在 48。和4 CED中，AD=CD ZADB=/CDE,BD=ED:4ABDq ACED(SAS),：.CE=AB=IO1在C5E中，由三角形的三边关系得：CE-BCBECE-BC,A10-8AE10+8,即 2VBEV18,：.BD9；故答案为：SA5；BD 2 A D；(2)如图2,在AABC中，D,E 是 8 c 的三等分点，求证：A B+A C A D+A Et(3)如图 3,在 AABC中，D,E 在边 BC 上，且 B D =C E.求证：A B+A C A D+A E .【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】(1)利用“倍长中线 法，延长A ,然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；(2)取D E中点H,连接A H并延长至。点，使得连接Q E和Q C,通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到A 8=C Q,A D=E Q,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论：(3)同(2)处理方式一样，取。E中点M,连接AM并延长至N点，使得连接N E,C E,结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论.【详解】证：(1)如图所示，延长A。至 P 点，使得=P。，连接CP,AD是 A3C的中线，。为 BC的中点，BD=CD,在48。与尸C。中，BD=CD,NADB=/PDCAD=PD：.ABDgAPCD(SAS),：.AB=CPf在AAPC中，由三边关系可得AC+POAP,：.AB+AC2AD；AAP(2)如图所示，取D E中点H,连接A并延长至Q 点，使得A”二 Q，连接。石和QC H为D E中 点,D、E为BC三等分点、,:DH=EH,BD=DE=CE,:DH=CH,在4班/和4 QC”中，BH=CHv ZBHA=4CHQAH=QH：.QCH(SAS),同理可得：AB=CQ,AD=EQ,此时，延长A E,交CQ于K点、,：AC+CQ=AC+CK-QKf AC+CKAKf：.AC+CQAK+QK1又：AK+QK=AE+EK+QK,EK+QKQE,：.AK+QKAE+QEf：.AC+CQAK+QKAE+QEfU：AB=CQ9 AO二 。，：.AB+ACAD+AE-,Q(3)如图所示，取OE中点M,连接AM并延长至N点，使得AM=NM,连接NE,CE,为DE中点,：.DM=EM9:BD=CE,；BM=CM,在A3M和ANCM中，BM=CMAT,：.AC+CNAT+NTf又；AT+NT=AE+ET+NT,ET+NTNE,：.AT+NTAE+NEf：.AC+CNAT+NTAE+NEf:AB=NC,AD=NE,：.AB-ACADAE.A【点 睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运 用三角形的三边关系是解题关键.2 4.定义：如果三角形三边的长a、b、c 满 足 g=那么我们就把这样的三角形叫做“匀 称 三 角 形 如：三 边 长 分 别 为 1,1,1 或 3,5,7,的三角形都是“匀称三角形（1）已知“匀称三角形”的 两 边 长 分别为4 和 6,则第三边长为.（2）如 图，A B C ,A B=A C,以 A 8 为直径的。交B C于 点D,过 点D作D F L A C,垂足为尸，交 A 5 的 延 长 线 于 E,求证：E F 是。的切线；（3）在（2）的条件下，若B爰E=弓5，判 断 A E F 是否为“匀称三角形”？请说明理由.CF 3【答案】（1）5或8；（2）见解析；（3）AAEF是“匀称三角形”，见解析【分析】（1）设第三边长为x,利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于+等式 中，4,6,x均 有 可 能 为 等 式 右 边 的 所 以 需 要 分 三 类 讨 论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边“，故最 终 答 案 为5或8；（2）要 证 明E F为。切 线，连 接。，由 于。是。半 径，只 需 要 证 明OD JL E F,又 由 于。口 _ L A C,所以只需要证明QD/A C,又由于。为A 8中点，只需要证明。为B C的中点，因 为A B是。直 径，所以又因为A 8 =A C,所 以。为8 c的中点，即可证明；（3）因 为。为8 c的中点，仿照“中线倍长”模 型，过8作所于如图2,或者在D E上截取D M =D F,构造ABMD*CFD，所以8M=CF,将r=:转化成生；CF 3 BM 3Ap nr s因为 B M/A C,所以 ABEMSAEF,可以得至 1 大=二 7=：7,设 A=5X,则 AF=3X,A.F BM 3利用勾股定理求出EF=4 x,满足定义，即可证明.【详解】解：(1)解：设第三边长为x,当4+：+x=6时,解 得 了 =8,当 安 尹=苫 是，解得*=5,当 土 宇=4时，解得x=2,/2+4 =6,当三边长为2,4,6 时，不能构成三角形，所以舍去，故答案为：5 或 8；(2)证明：如 图 1,连接0。，AD,QAB是OO直径，/.A D 1 B C,.AB=AC,.O为3C 的中点，即3。=。,。为4 5 中点,：.0 D U A C,OD=gAC,2-DFA.AC,ZAFD=90 ,;OD/AC,.ZODE=ZAFD=90 f：O D工E F,0 D是O O半径，.F是。的切线：(3)解：AAF是“匀称三角形”，理由如下:如图2,过8作8M J_F于M ,ZBA7D=ZCFD=90,在和CTO中，4BMD=Z.CFD F,从而证得结论；(3)延长A、交于点C,作MHJ_ A C于点”，作于点儿 证明NHEM=45及A AEM学A G E M,再证明N A M E=N 1,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出N3=2/l+N2.【详解】解：(1)如图 1,.AM1.BM,图1ZAMC=NBMD=90,AM=8M,MD=MC,：.(SAS),：.A C=BD=1.(2)证明：如图2,延长)到点G,使F G=F E,连接BG,尸为3 C中点,:BF=CF,:/B F G=/C F E,:BFG 9lCFE(SAS),:BG=EC,Z G=Z C E F9又 5)=AC,EC=AC9:BD=EC,:.BG=BD,:./G=/B D F,：.NBDF=NCEF.(3)如图3,延长AE、BM交于点C,作Ma_LAC于点 ，作M K L8G于点尸,.AM_L8M,AE.LBE,：.ZBEC=NAMC=90。，NMBF=90。-NC=NM AH,：NBFM=NA”M=90。，BM=AM,：.B F M/A H M (AAS),：.FM=HM,；NEFM=NEHM=9。,EM=EM,ARIA EMFRlA EMH(HL),NFEH=90,：.NFEM=/HEM=|NFEH=45。,*/ZAEB=ZGEC=90f：.N4EM=NGEM=900+45=135。，*：AE=EGf EM=EM,二 AEM丝GEM(SAS),/AME=/GME,丁 NBEM=N8AM=45。，A ZAME=Z3-NBEM=/3-NBAM=N1,N4MG=2NAME=2N1,N3=NAMG+N2,，N3=2N1+N2.图3【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等.