2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共10小题，共40.0分）1.经过点且斜率为2的直线方程为（）A.2%4-y-2=0 B.-2x +y-2=0C.x 4-2y-2=0 D.2%+y+2=02.如图，在正方体4B CD-4i B i Ci A中，异面 直 线 与B Ci ）_ _ _ _ _ _ _ _ _所成的角为（）出今 乙A 3。/B.450左步。C.60A BD.903.在空间直角坐标系中，点P（3,-2,1）关于x轴的对称点坐标为（）A.（3,2,-1）B.（-3,-2,1）C.（-3,2,-1）D.（3,2,1）4.如果方程M+y2+%+y+%=0表示一个圆，则2的取值范围是（）A.k：B-0 fcl C.k3 D.k=4 D.(x +2)2+(y-I)2=110.已知直线x +a y=a +2(a R)与圆/+y2-2刀-2y-7=0交于 A f,N 两点，则线段MN 的长的最小值为()A.4V 2 B.2V 2 C.2 D.V 2二、单空题(本大题共5 小题，共 24.0分)11.已知圆C：刀 2+丫 2=4与圆)：/+丫 2 一4刀+2丫 +4=0相交于4 B两点，贝 ij两 圆 公 共 弦 线 所 在 的 直 线 方 程 为 ,公共弦AB的长为.12.已知正方体的棱长为a,则 它 的 外 接 球 半 径 为 ,与它各棱都相切的球(棱切球)的半径为.13.直 线 3x +4y-12=0和6x +8 y+6=0间 的 距 离 是 .14.已知平面a,y是空间中三个不同的平面，直线/,?是空间中两条不同的直线，若a _ L y,y n a=m,y C i 0=I,11 m,则有结论：11 a；ly；a l .上述结论中，正 确 的 是(请 将 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上).15.已知直线/：%+zny+m =0且与以4(一1,1)、B(2,2)为端点的线段相交，则实数扭的 取 值 范 围 为 .三、多空题(本大题共2 小题，共 12.0分)16.已知圆A：x2+y2-2 x +4y=4,则圆心A的 坐 标 为,圆A的 半 径 为.17.已 知 直 线x+m2y+1=0与直线Q m x -y-2=0,若川/卜，则爪=;若，1 1，2，则m -.四、解答题(本大题共5 小题，共 74.0分)18.在A A B C 中，已知点4(5,2)、8(7,3),且边AC 的中点M在 ，轴上，边 的 中 点N 在 x 轴上.(1)求点C 的坐标；(2)求直线何N 的方程.第2页，共16页19.如图，在直三棱柱4 B C-&B iC i中，AC=3,BC=4,AB=5,AAr=4,点。为 A 8 的中点(1)求证：AC 1 6C1；(2)求异面直线4 cl与BC所成角的余弦值.20.已知圆C 经过两点P(-l,-3),(2(2,6),且圆心在直线x+2y-4=0上，直线/的方程为(k-l)x +2y+5-3/c=0.(1)求圆C 的方程；(2)证明：直线/与圆C 恒相交；(3)求直线/被圆C 截得的最短弦长.2 1.如图，四边形ABC。为菱形，G为AC与8 0的交点,BE，平面 ABCD.(I)证明：平面AEC 1平面BED；(n)若 8。=120,AE 1 EC.(1)画出该几何体的三视图；(2)三棱锥E-4CD的体积为当，求该三棱锥的侧面积.2 2.已 知 圆/+(y+5)2=5,直线/过点4(1,一3)且与圆G相切.(I)求直线/的方程；(H)设圆C2与圆G关于直线/对称，(1)求出圆G的方程；(2)试问在x轴上是否存在点P,使得P到两圆的切线长之比为鱼？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.第4页，共16页答案和解析1.【答案】B【解析】解：过点(-1,0),且斜率为2 的直线方程是y-0=2(%+1),化为一般式方程为2x-y +2=0.故选：B.由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程.本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.2.【答案】D【解析】解：连接&C nB C i于点O,3 c在正方体ABC。4B1GD1 中，AiBJ/CD,A/】=CD,s；3故四边形2B1CD是平行四边形，；A所以 B KAD,1AC则4B0C(或其补角)即为异面直线与B q 所成的角，/因为BCGBi为正方形，A B故 NBOC=90,所 以 异 面 直 线 与 所 成 的 角 为 90。.故选：D.连接B1CCBG于点。，证明&C&D,可得4BOC(或其补角)即为异面直线&D 与BG所成的角，求解即可得到答案.本题主要考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题.3.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于x 轴的对称点的坐标为：(x,-y,-z),点P(3,-2,l)关于x 轴的对称点的坐标为：(3,2,-1).故选：A先根据空间直角坐标系对称点的特征，点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标.本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.4.【答案】C【解析】解：方程/+、2 +乂 +/=0表示一个圆，需满足1 +1 -4/c 0 y故选C.根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出发的范围.二元二次方程久2 +y 2 +Cx +E y +F =0表示圆的充要条件为：D2+E2-4F 05.【答案】D【解析】解：,点(2,/c)到直线5 x -1 2 y +6 =0的距离是4,.筹鬻=4,解得八 一3或*故选：D.根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.本题考查的知识点是点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.6.【答案】C【解析】解：圆/+、2 +2%+6、+9 =0可变形为0+1)2 +5+3)2 =1,圆+y 2 _ 6久 +2 y +1 =0可变形为(X 3)2+(y +I)2=9,故两圆的圆心分别为M(1,-3),N(3,1),半径分别为r =l,R =3,因为两圆圆心之间的距离|M N|=J(3 +1)2+(-1 +3)2 =2遮，R+r=4,R-r =2,所以2 y 4,则两圆的位置关系是相离.第 6 页，共 16页故选：c.先将圆的一般方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，求出两圆心之间的距离与R+r,R r比较大小，即可得到答案.本题考查了圆与圆位置关系的判断，圆的一般方程与标准方程的应用，两点间距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.7.【答案】B【解析】解：长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,长方体的对角线长为，32+42+52=5V2.则长方体外接球的半径为R=迫,2外接球的表面积S=4兀x（延）2=507r.k 2 7故选：B.由已知求得长方体的对角线长，除以2可得长方体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.本题考查长方体的外接球表面积的求法，是基础题.8.【答案】C【解析】解：4根据线面垂直的垂直的判定定理可知，?，必须是相交直线，所以A错误.A根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面a外，所以B错误.C.根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所 以C正确.D根据面面平行的判定定理可知，直线a,b必须是相交直线，才能得到面面平行.所以。错误.故选：C.人利用线面垂直的定义和判定定理判断.B.利用线面平行的判定定理判断.C.利用面面平行的性质判断.D.利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断.本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用.9 .【答案】A(解析解:设 P。中点M 坐标为(x,y),则。点坐标为(2 x-4,2 y +2),因为。是圆/+y 2 =4 上任意一点，所以(2 x -4)2+(2 y +2)2=4,即(X 2/+(y+1)2 =1.故选：A.设P Q中点M 坐标为(x,y),根据中点坐标公式，求出Q点坐标，代入圆方程/+y2=4,即可求解.本题考查用相关点法求轨迹方程，要注意设动点坐标，属于基础题.1 0 .【答案】A【解析】解：圆/+y?2 x 2 y 7 =0,即(x 1 产+(y 1)2 =9,表示以C(l,)为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大.,直线久+ay=a+2(a e R)恒过定点(2,1),弦心距d的最大值为1,二|MN|的最小值为2 我=1=4 V 2.故选：A.把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距”的最大值，可得|MN|的最小值.本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.1 1.【答案】2 x-2 y-4 =()W【解析】解：因为圆C：/+y2=4 与圆。：/+-4%+2、+4 =0 相交于A,B两点，所以4 3所在直线即为两圆公共弦所在的直线方程，第8页，共16页联立两圆的方程，消去/和、2,可得4 x 2 y =8,即2 x y 4 =0,故两圆公共弦线所在的直线方程为2 x-y-4 =0：因 为 圆C%2+丫2 =4的圆心(;(0,0),半径r=2,则 圆 心C到 直 线AB的距离为d =兽=延，V4+1 5所以|4 B|=2 V r2 d2=个工则 公 共 弦A 8的长为故答案为：2 x-y -4 =0；W.将两圆的方程作差，消去产 和y 2,即可得到公共弦方程，由点到直线的距离公式求出圆心C到 直 线A B的距离，由网=2 3 5,即可求出公共弦长.本题考查了圆与圆位置关系的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握两圆公共弦方程的求解方法，公共弦的求解方法，属于中档题.1 2.【答 案】在a在a2 2【解 析】解：正 方 体的棱长为“，它的外接球的直径为其对角线长，等于V a 2 +屋+=V 3 a,则它的外接球半径为攻a;2棱切球的直径为面对角线长，等于kF涯=V 2 a，则其棱切球的半径为在a.2故答案为：立a；立a.2 2由已知求出正方体的对角线长，可得外接球的半径；再求出面对角线长，即可求得棱切球的半径.本题考查正方体的外接球与棱切球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力,是基础题.1 3.【答 案】3【解 析】【分析】本题考查两条平行线的距离公式，属于简单题，先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离.【解答】解：由题意可得：直线3 x +4 y 1 2 =0与6 x +8 y +6 =0,即直线3尤+4 y -1 2 =0与直线3 x +4 y +3 =0,结合两平行线间的距离公式d =亨 崇 得：两条直线的距离是听考1=v=3.故答案为3.1 4.【答案】【解析】解：平面a,S，y是空间中三个不同的平面，直线/，机是空间中两条不同的直线，若a J L y,y C a=m,y n /?=Z,I 1 m,如图所示：在平面a内作a 1 m,所以：a 1 y,故a 11,由于1 1 m,所以1 _ L a,故正确；由于/为平面0与y的交线，为a和y的交线，故 即 二 面 角 的 平 面 角 为 直 角，所以a 10,故正确.故答案为：（4）.直接利用线面垂直的判定和性质的应用，二面角的定义判定的结论.本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，二面角的定义，主要考查学生对第10页，共16页基础知识的理解，属于基础题.1 5.【答案】一|弓【解析】解：由直线/：x +m y +m=O 可知，直线/过定点P(0,1),又4(-1,1)、8(2,2),如图所示，由图可知，直 线 与 线 段 相 交,则直线/的斜率k G(-8,-2 U|,+8)或斜率不存在,1 2所以一嬴6(-0 0,-2 U K,+8)或z n=0,解得一,三 巾=9,表示以4（1,一 2）为圆心，3 为半径的圆，故答案为：(1,一 2)；3.把圆的一般方程化为标准方程，可得结论.本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题.1 7.【答案】-10或1【解析】解：；直线，1：%+巾2、+1 =o与直线%：mx-y 2=0,若“2，则工=宜 手 工=6=一1；m 1 -2若k 12)则m-m2=0 =m =0或m-1；故答案为：一1,0或1.利用直线相互平行与斜率之间的关系即可得出.本题考查了直线相互平行，垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 8.【答案】解:(1)设点C(x,y),边A C的中点M在y轴 上 得 手=0,边B C的中点N在x轴 上 得 受=0,解得=-5,y=-3.故所求点C的坐标是(一5,3).(2)点M的坐标是(0,-1),点N的坐标是(1,0),直线M N的 方 程 是 沮=公，2即5 x 2 y -5 =0.【解析】本题主要考查中点坐标公式，直线的两点式方程，是基础题.(1)设点C(x,y),由题意，根据中点坐标公式求解即可.(2)可得M,N两点的坐标，代入两点式方程即可.第12页，共16页19.【答案】解：(1)；48(7-418传1为直三棱柱，CCi _L 平面 ABC,AC U 平面 ABC,CCX 1 AC.(2分)：AC=3,BC=4,AB=5,AB2=AC2+BC2,：.AC 1 CB.(4分)又 CiCnCB=C,AC JL平面G C B iB,又BC】u 平面GCBiB,.-.AC 1 BG.(7分)(2)以 CA、CB、CCi分别为x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系v AC=3,BC=4,AAr=4,4(3,0,0),G(0,0,4),C(0,0,0),8式0,4,4),AC=(-3,0,4),BC=(0,-4,-4),.cosA-yGk，o0r、=0-+0-1-6 =-2V 2.异面直线A Ci与&C所成角的余弦值为言.【解析】由 ABC-为直三棱柱，导出C Q _ L 4 C,由=ZC?+B C 2,导出AC 1 C B,证明AC _L 平面G C B iB,推出4 c l(2)以 C4、CB、CG分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线4 c l与BiC所成角的余弦值.本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力.2 0.【答案】解：(1)设圆C 的方程为/+旷2+。“+、+尸=0.(2分)由条件，得4+36+2 0+gE+F=0,解 得 卜=_ 2，(一 y)+2 X-4=0 p=-20 圆 C 的方程为/+y2-4 x-2 y-2 0 =0.(6分)(2)由(k-l)x +2y+5-3/c=0,得 k(x-3)-(x-2y-5)=0,令:二;；_5=0,得 即 直 线/过 定 点 M(3,1),.(8分)由 32+(-1)2-4 x 3-2 x(-1)-20 +(y +1)2 =5,(2)设P(a,0),寝=2 或右所以告2或2，(a2)4 2解得a =-2 或 是 1 0,所以 P(-2,0)或(1 0,0),综上存在两点P(-2,0)或(1 0,0)适合题意.【解析】(I)先判断点A在圆上，用点斜式求切线/的方程；(H)(1)利用对称求出。2(2,-1),半径和圆G相同，进而得到圆的方程；(2)设 P点坐标，利用半径和P C 2 的距离，解出两个切线长，再用切线长之比建立方程,解方程可得P点坐标.本题考查圆的切线方程的求法，圆的对称性，弦长公式，属于中档题.第 16页，共 16页