2020-2022年高考数学真题分类汇编专题03 导数及其应用 文+理（教师版+学生版）.pdf

专题0 3导数及其应用1.【2022 年新高考 1 卷】设c=-lrf).S.则()A.a b c B.c b a C.c a b D.a c i)，因为尸0 0=2一1=一 左，当z e(-L q)时，f(x)0-当/(。+。)时/(4 c，所以f 一2_)fO)=0,所以in2+2_ o，故2.0一；，所以故aV b,设。(工)=工1r+ln(l-x)0 z V 1)，则g(x)=r+l)+=令H G u H d-D+l，h(x)=eI(x2+2 x-l);当0 工 逐一 1时，h(x)函数单调递减，当短一1 工 0-函数Mx)-1)+1单调递增，又械0)=0，所以当0 工 逐一 1时，八(G 0,所以当0V H 0，函数g(K)=xe1r+ln(l-x)单调递增，所以g(d l)gQ)=0，即0.1e，】A H).%所以a c故选：C.2.(2021年新高考1卷】若过点(。力)可以作曲线y=e的两条切线，则()A.e a B.ea bC.0 a e*D.0 b =的 图 象，根据直观即可判定点(43在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【解析】在曲线y =e 上任取一点产(3)，对函数y =e*求导得y =e 所以，曲线y =e，在点尸处的切线方程为y d=e (x T),即y =e x+(l f)e ,由题意可知，点(a,b)在直线y =e x+(l T)d 上，njb=ae+(l-t)e=(a+l-t)e,令/(r)=(a +lT”，则/=(a T)d.当时，此 时 函 数 单 调 递 增，当 。时，f(t)=/(，)的图象有两个交点，则皿=e ,当r 0,当r a+l 时，f(t)0,解得aV4或a 0,。的取值范围是（一.4）u（ft+61故答案为：（-0和XV 0两种情况，当北 0时设切点为（川啕，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出,即可求出切线方程,当z 0时y=ln x,设切点为（力!由所以所以切线方程为y tax。=：（/-%）,又切线过坐标原点，所以一lnr（=：（一%）,解得=e，所以切线方程为y-1=即产=卜；当*V 0时y=ln（X）,设切点为（巧Ju（巧），由所以，也=；，所以切线方程为y _ Inf-Xi）=（x-x1）,又切线过坐标原点，所以一 ln（一巧）=：（一巧），解得巧=一%所以切线方程为y 1=（r+e）即y=-x；故答案为：y=二；y=-x E J e6.【2 0 2 1 年新高考2卷】已知函数/。）=卜-1|,玉 0,函数/*）的图象在点A（%J（x J）和点3（,/（演）的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 乐j取 值 范 围 是.【答案】（0,1）【分析】结合导数的几何意义可得不+=0,结合直线方程及两点间距离公式可得也|,忸.同,化简即可得解./、Y I fl-r,x 0 ，/、-ex,x 0 e ,x 0所以点从（芯,1一 ）和点5（X 2，/T），kAM=-e&N=e ,所以一e*=-1,$+x2=0 ,所以 AM:)-1 +=/(x -x ),M(),x e v,+1),所以|A M|=J x：+(e”J =V 1 +-xt,同理忸N|=T I T季 .同，【点睛】解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件%+=0,消去一个变量后，运算即可得解.7.【2 0 2 2年新高考1卷】已知函数r（x）=ax和g（H）=a K I n x有相同的最小值.求a：（2）证明：存在直线，=,其与两条曲线y=f（工：和y=处共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】（l）a=1；（2）见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根 据（1）可得当b l时，方 一 0,a 1+a设。=荒 一ga 0,则。=IT S B故o（a为（a+s）上的减函数，而g（i）=o.故g（a）=O的唯一解为=1，喷=Inti的解为。=1.综上，a=1.由（1）可得r（jQ=H 1:和鼠父）=lux的最小值为1lnl=1In：当b l时，考虑8r=万的解的个数、z lnM=A的解的个数.设一土一也 玄 幻=?-1，当xVO时，S*（幻V 0，当案0时，（幻0，故$（竹在（-aQ）上为减函数,在（a+8）上为增函数,所以 其X j=s(q)=1 0，S(i)=e*-2i)设8c3)=e*-2b，其中b l，则必 (5)=2 0，故M3)在(1+o)上为增函数，故M 3)ic(l)=e 2 0,故$(句 0，故$(4=我一一 有两个不同的零点，即e1 x=b的解的个数为2.设T(x)=icInrb，(工)=?，当ovhvi时，r(x)o，当x i时，r(*)o,故！X在(Q1)上为减函数，在(L+。)上为增函数，所以 T(x f =T(l)=l b 0，r(e*)=e*-2 i0.F(x)=x-lBx-b有两个不同的零点即z-liiH=b的解的个数为2.当=1,由(1)讨论可得z-ln H=b、吩一 仅 有 一 个 零 点，当b V l时，由(1)讨论可得iclmc=b、e*工=均无零点，故若存在直线y=与曲线y=f(工卜y=(幻有三个不同的交点，则 b 1.设4 l)=H +山1-2 r,其中0,故 五(H)=C1 r+：2，设“M ju e1-K-l,x 0,则/(*)=修一1 0，故5(用在(Q+。)上为增函数，故$(工)S(0)=0即 第+1，所以八(工+：1 2-1 0.所以A(用在(a +cz)上为增函数，而h(l)=e-2 0,fc(J)=e?-3-J e-3-J 故Mx：在(0,+。)上有且只有一个零点4，g%v i且：当o t v%时，八(幻0即1一 1 r-1 1 Mt即r(4 0时，以 外 0即8*X-因此若存在直线=b与曲线y=f（/：、y-修（今有三个不同的交点，故 D=$（%）1，此时联一M=有两个不同的零点巧工式巧 0 ）,此时 一 lnx=b有两个不同的零点q.（OV%V 1 V），故西 一 巧=，语 一%=，q Inx4一方=0，IniQh=0所以q 万=lnxl,故【点睛】函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.8.【2022年新高考2 卷已知函数,（1）=土 一 e1t.当a=1时，讨论（4 的单调性；（2）当x 0 时;求。的取值范围；设me*证明：扁+扁+“.+底 皿 +4【答案】f（4 的减区间为（一aQ），增区间为。+：时题设中的不等式不成立，再就0 a s：结合放缩法讨论（幻符号，最后就aW 0结合放缩法讨论林工：的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得2 3 1恒成立，从而可得lnR+1）-lm l.t2=e*,r=21nt，故2tlnt V严一 1即21nt 1恒成立.所以对任意的m e*,有tin整理得到：ln(n+1)-lim InZ lnl+ln3 ln2+ln(n+1)Inn=ln(n+1)，故不等式成立.【点睛】函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.9.【20 21年新高考1卷】已知函数 x)=x(l-l n x).(1)讨论x)的单调性；(2)设。，b为两个不相等的正数，且“n a-a l n/7 =a-，证明：2 _!+L e.a b【答案】(1)/(X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.方法二：将题中的等式进行恒等变换，令命题转换为证明:2 m+n 0；当时，/(x)0,从而/(3 0,得:e(l,e),a b a b b令 g(x)=2-x)-/(x),则 g，(x)=-/r(2-x)-fx)=ln(2-x)+In X =ln(2x-X2)=ln1-(x-1)2,当x 0,l)时，gx)g=0,从而/(2 x)f(x),所以/(2-5 心=心,由(1)得2-2 1即20,4(x)在区间(l,e)内为增函数，h(x)h(e)=e,从而x+/(x)e,所以：+/(：)e.又由，e(0,l),可得L(l_ln)=/(2)=/(:),a a a a a b以所=1-人+x)z1-力z(/1-力+由得2/+:e.a b、上 ，日八、力 In。In/?1 1 L L，、I lna+1 lnb+1 方法一【最优国军】：lna-aln =.-Z?变形为-=-,所以-=a b b a a b令.则上式变为=，于是命题转换为证明：2 m+n e.令x)=x(l-In x),则有/(6)=/()，不妨设加.由(1)知。m1,1几 2.要证：72z+H2/i2-m/(z?)/(2-/n)/(m)/(2-w)/W-/(2-m)-Ini=0,g(x)在区间(0,1)内单调递增,所以g(%)g(l)=0,即加+2.再证加+e.因为=In/?),所以+m+ve .令 (x)=x(l -l n x)+x,x (l,e),所以(x)=l l n x 0,故4(x)在区间(l,e)内单调递增.所以Z i(x)/i(e)=e.故gpm+n2同证法2.以下证明西+*2 l,x由 X 1(1 -I n x)=x2(l-l n%2)得X(Inx.)=rx l-l n(rx),I n x =1-,t-要证芭十/e,只需证(1 +。玉v e,两边取对数得l n(l +r)+l n x 1,即 l n(l +f)+l-胆 1 ,t-l n(l+z)Int即证-.t r-1记g(s)=畦2 s e(0,+8),则,/一m(l +s)S g =-2-c 1 1记人(s)=1 7 rhi(1 +s),则 )=而 至-币 0,所以，(s)在区间(0,+e)内单调递减.M s)(o)=o,则g(s)0,所以g(s)在区间(0,+8)内单调递减.由 r l,+oo)得1 e(0,+oo),所以 g(r)g(r-l),t t-方法四:构造函数法,-1A.ZR na nb 1 1 .1 1由已矢口得-=-，令-=%,7=占，a b b a a b不妨设占内，所以/(x j=f(w).由(I )知，0 x,1 x2 e ,只需证2 X +2同证法2.eH、k r L A 2 4-F I n x再 印证一明刀 2 令/(/x、)=-1 -I-n-x (0 x e)J、i/(7x)、=-x-.x-e(x-e)。p x-。令(p(x)=I n x+2(0 x e?),则(px)=-=8 =0,(x)0,/?(x)在区间(0,e)内单调递增.因为0 X Z e，所以-L 箸，I il l 人 人 人 人 2 C即 一 叫 0.因为工2，所以西+工2 ，即,+a b综上，有2 1+?e 结论得证.【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于+W-e 0 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.10.【2 02 1年新高考2卷】已知函数/(x)=(x-l)e*-a d+b.(1)讨论.f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(X)只有一个零点 a 2a；2 2。“3,8 4 2。.【答案】答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可;由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【解析】由函数的解析式可得：/(x)=x(e，-2 a),当“VO 时，若x -oo,0),则尸(X)0J(x)单调递增;当0 O J(x)单调递增，若x l n(2 a),0),则/(x)OJ(x)单调递增;当寸，/(x)NOJ(x)在 R上单调递增；当”白寸，若x e(9,O),则尸(x)0J(x)单调递增，若x e(O,l n(幼)，则尸(x)O,/(x)单调递增：若选择条件：由 于:知 5,故1ij(o)=o_ io,而函数在区间（,0）上单调递增，故函数在区间（F,0）上有一个零点.ln（2a）=2a i n（2a）-1 -i n（2t z）+b 24 ln（2o）-l-aln（2a）丁 +2a=2a I n（2a）-7 i n（26z）=an（2ci）2-I n（2）J,由 于;q,I v 2 0 4 e 2,故。11!（24）2-山（2。）20,结合函数的单调性可知函数在区间(0,物)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于 0 a g,故 2a1,则 0)=b T 4 2 a-l 4,4 c Q,而函数在区间(0,+e)上单调递增，故函数在区间(0,+e)上有一个零点.当人 0时，构造函数(x)=-x-l,则=当xe(F,0)时，(x)0,(x)单调递增，注意到“（0）=0,故 （x）2 0 恒成立，从而有：ex x+,此时：/（x）=（x-l）e、-f t （x-l）（x+l）-o x2+b=（1 -+修-1）,当x生女时，（1-）?+（&-l）0,l-a取X产后+L 则。,即：/(0)0J而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点./（I n（2rz）=2aln（2a）-l-q ln（2a）+b 2czln（2a）-l-t zln（2（7）_+2a=2Q I n（2a）-a i n（2。）=a I n（2a）2-I n（2）,由于0 a；,0 2 a ,故 ln（2）2-ln（2a）l时，可 证/(：)/0,使得f(x0)a e -=Q,得到/(X)*,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得“力 21 恒成立；当0 0.设 g(x)=f(x),则 g(x)=aex+Q,X g(x)在(0,y)上单调递增，即fl(x)在(0,+8)上单调递增,当。=1时，尸=0,“4必=1/=1,.：/(x)N 1成立.当。1 时，-1 ,J 1 ,./(-)/,(l)=a(-l)(a-l)0,使得/=且当 xe(0,%)时尸(x)0,=,/.lna+x0-1=-ln x0,因此 A x)*=f(xn)=ae，n-l-ln x0+lna-FIn6?+XQ-1 +Intz 2 21na-1 +2/,%0 =21na+l l,%V玉).：f(x)l,.：/(x)21 恒成立；当0a 1 时，/(I)=a+n a a l,：./(I)1 不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是口+8).方法二【最优解】：同构由/(x)N 1 得ae*-Inx+ln a N1,即 e+Ina+x 1 N lnx+x,而Inx+x=e+lnx,所以+lna+x-l enx+nx.令/z(%)=e+?，则/7(%)=e+l 0,所以(加)在R上单调递增.由 eina+x-i+na+x-1 2/n*+ln x,可知(lna+x-l)2(ln x),所以 lna+x-1 2 1n x,所以InaNQnx-x+Dgx.1 I-Y F(x)=In x-x +l,贝I?(幻=L 1二 .X X所以当xe(0,l)时，F(x)0,F(x)单调递增；当 x c(1,-KO)时,Fr(x)0,x 0,令a/T=，所以lna+x-l=ln/,所以lna=lnz-%+l.于是/(x)=aexl-In x +ln6=z-ln x 4-ln f-x 4-l.由于，(x)之 l,-lnx +lnr-x 4-llr +lnr x 4-lnx,而 y=x+ln尤在 x c (0,+oo)时为增函x数，t x,即ae-W x,分 离 参 数 后 有 击.令g(x)=7,所以g (x)=匕a c当O v x O,g(x)单调递增：当x l时，g (x)l.令S(a)=a +ln，贝l j S，(a)=1 0,所以S(a)在区间(0,+OJ)内单调递增.a因为S(l)=l,所以时，有S(a)2S(l),即a +lna Nl.下面证明当“2 1时，/(x R I恒成立.令T(a)=a e i-Inx +lna ,只需 证 当 时，恒成立.因为 F(a)=e T +2 0 ,所以 T(a)在区间 1,”)内单调递增，则 T()min=T(l)=-Inx.a因此要证明a*1时，T(a)21恒成立，只需证明 7(以 曲=-Inx N 1即可.由 e*2x+l,lnx 4 x-l,得e -x,-lnx 1-x .上面两个不等式两边相加可得e i-lnx Nl,故时，/(冷加恒成立.当0 a l时，因为f(l)=a +lna l,显然不满足/,恒成立.所以a的取值范围为【整体点评】(2)方法一：利用导数判断函数“X)的单调性，求出其最小值，由人而*0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成*i+l n a +x-12*，+l n x,再根据函数/?(=e +?的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令aei=r,再同构，可将原不等式化成r +l n d x+l n x,再根据函数y=x+lnx的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利 用/*1可得。的取值范围，再进行充分性证明即可.专题0 3 导数及其应用1 .【20 22年新高考1 卷】设a=0.J c=则()A.a b c B.c b a C.c a b D.a c b2.(20 21 年新高考1 卷】若过点(a,b)可以作曲线)，=e*的两条切线，贝 i j()A.e a B.ea bC.0 a e D.0 h ea3.【20 22年新高考1 卷】已知函数r 力=/一,+1，则()A.ft#有两个极值点 B.ft幻有三个零点C.点 是 曲 线 y=f 的对称中心 D.直线y=2 r 是 曲 线 的 切 线4 .20 22年新高考1 卷】若曲线y=工+公廿有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.5 .【20 22年新高考2 卷】曲线y=ln|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为，_6 .【20 21 年新高考2 卷】已知函数/。)=卜|，X0,函数/(x)的图象在点和点8(,/()的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M,N 两点，则 徐 鼻取 值 范 围 是.7 .【20 22年新高考1 卷】已 知 函 数=e*a x 和0 优=a x lu x 有相同的最小值.求 a：(2)证明：存在直线y=D，其与两条曲线y=f和y=共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.8 .【20 22年新高考2 卷】已 知 函 数=H尸 一 6r.当a=1 时，讨论fix 的单调性；(2)当工 0 时，r ln(+1)-9.【20 21年新高考1 卷已知函数/(x)=x(In x).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设a ,匕为两个不相等的正数，且“n“-a ln Z?=a-6,证明：2 c +：e.a b10 .【20 21年新高考2 卷】已知函数/。)=(九-1)/-a f+Z?.（1）讨论/（X）的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：A x）只有一个零点（T）2a；2 2 0 b a B.b a c C.a b c D.a c b【答案】A【解析】【分析】由：=4tan：结合三角函数的性质可得c b；构 造 函 数=cusx+gi2 1.HE（。+利 用 导 数 可 得 口，即可得解.【详解】因为g=4tan：.因为当x W tanx所以tan注 押：1,所以c b；设 fix）=cusx+x2 l,r e（ft+o），r sinr+H 0，所以ft#在 +了 =0,所以 B SA|0，所以b 4,所以 a，故选：A2.【2022年新高考1卷】设a=0.!1.=J C b liD.g，则（）A.a b c B.c b a C.c a b D.a c b【答案】C【解析】【分析】构造函数代 幼=11111+公一工，导数判断其单调性，由此确定&瓦 0当x e【a +B）时r 力）单调递减，在11.0上单调递增，所以r（J v f（O）=O,所以 1119一：ln q h lr i）.g，即b c,所以,（一二）/（0）=0，所以ln 2+、V 0，故之 e 2，所 以 工 盛 =、10 IO IQ IQ q故 a b，设双6=re*+ln(l-r)fO x iy 则。(幻=(x+1)/+=令MG=那9-1)+1-htr)=/【+2 r-iy当0 xV 0一 1 时，htr)函数1)+1 单调递减，当逐一1X0，函数可 幻=/伍21)+1单调递增，又 M0)=0，所以当0V TV0一1时，hfx)所以当0X 点一 1时，函数。工)=工6*+111(1X)单调递增，所以鼠。1)0)=0，即0.舒 1-1 1 0 9,所以a c故选：C.3.【20 21年新高考1 卷】若过点卜/，3可以作曲线)=片的两条切线，则()A.eh a B.e bC.0 a e*D.0 6 0,此时函数。单调递增，当r a 时，f(t)0,此时函数/(r)单调递减，所以，/(%=/(“)=，由题意可知，直线y =b 与曲线y =/(f)的图象有两个交点，则匕/(。皿=e,当r0,当c a +1时，/(/)0,作出函数/的图象如下图所示：由图可知，当0 人，时，直线y=b 与曲线y=/(r)的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=e 的图象如图所示，根据直观即可判定点(凡匕)在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0b 0 ,函数y =4 的导数为丫 =*，则直线/的斜率=宏，设直线/的方程为y-衣=5 卜（工一与），即%一2 氏 丫+/=0,c c 1 册 1由于直线/与圆x-+y 2 =g相切，则J.=右,两边平方并整理得5 片-4 x 0-1 =0,解得%=1,%（舍），则直线/的方程为x-2 y +l=0,即 产+（故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的儿何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6 .【2 0 2 2 年新高考1 卷】已知函数r t H l u N-H+l，则（）A.汽幻有两个极值点 B.门切有三个零点C.点 是 曲 线 v=f t x 的对称中心 D.直线v=2 r 是曲线v=f的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合六口的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，,任令得坦或,_ 虫令r 力0得一vxv包所以r 在（_ 东当上单调递减，在（_ 9 当，律.+）上单调递增，所以,=+史是极值点，故A正确；-q因n-当=1+挈0,-孚0 汽-2）-5 0，所以，函数人 外在（一6.g）上有一个零点，当工之f时，r y）皂 了 俘），即函数r 6）在 惇.+）上无零点，综上所述，函数/幻 有一个零点，故B错误；令我 公 二 三 一x，该函数的定义域为K，h（-x）=（-x p -c-x）=-X3+x=-iiCr）则 是 奇 函 数，是H E的对称中心，将MH的图象向上移动一个单位得到ft口的图象，所以点10,1）是曲线v=rtE的对称中心，故c正确；令=3 1-1=2,可得K=L 又当切点为 LD时，切线方程为y=2 x-l，当切点为1一1.1时，切线方程为y=2r+3，故D错误.故选：AC.7.【2022年全国乙卷】已知=财和=%分别是函数日 ）=20r ex2（a（kBaW l）的极 小 值 点 和 极 大 值 点.若 则。的取值范围是.【答案】c 1）【解析】【分析】由巧与分别是函数ffr）=2 d ex2的极小值点和极大值点，可得H W （CDJC1）U（叼,+同时，）0，（Z IJ CJW，r（*）0，再分a 1和0V a 1两种情况讨论，方程2111a 0*2也=0的 两 个 根 为 即 函 数了=1M炉与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造函数 任）=1/，利用指数函数的图象和图象变换得到鼠竹的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：/出=21na鹏一2ex，因 为 分 别 是 函 数，任）=2 d一62的极小值点和极大值点，所 以 函 数 在（一 B,1）和（必.+B）上递减，在上递增，所以当1 C W （-6西）口（叼.+。）时，f（x）当1aa）时，f（r）0若a 1时，当z 0.2er0，与前面矛盾,故a 1不符合题意，若0&1时，则方程2111a a*2er=0的两个根为。工，即方程1M-tf=ex的两个根为1 clpTi，即函数V=1M 力与函数y=ex的图象有两个不同的交点，V0 a 1，.函数7=的图象是单调递减的指数函数，又lna0，V=的图象由指数函数=向下关于比轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的1111al倍得到，如图所示：设过原点且与函数V=.任）的图象相切的直线的切点为GiUna.则 切 线 的 斜 率 为=irfa 心，故切线方程为y Ina-a*=-a*（r%），则有一Ina-a*=Xolna-产，解得q=3则切线的斜率为1 112a.盘=eln,，因为函数V=与函数v=ex的图象有两个不同的交点，所以eln?a e，解得乙 。又0 a 1.所以二 a y=Cr+14-a)e,设切点为 与产。),则为=&+a)Q,切线斜率 =&+1+切线方程为：y (x0+a)e*=(x0+1+0)，切线过原点，；.一(为+a)e*=(r04-1+。)，整理得：W+a%a=O,；切线有两条，A=a1+4 a 0,解得aV4 或a 0，的取值范围是t-g4)u 3 +a 4故答案为：(-)9.【2022年新高考2 卷】曲线y=垣过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,_【答案】y=y=【解析】【分析】分x 0 和X V0两种情况，当,0 时 设 切 点 为 求 出 函 数 的 导 函 数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0,即可求出切线方程，当,o 时v=in i，设切点为由,=；，所以y L=q=$所以切线方程为又切线过坐标原点，所以一 111X 0=：(一%),解得=e，所以切线方程为y l =；G-e)，BPy=汰当0时V=l n（一 G，设切点为缶J n f 由y =；,所以所以切线方程为y l n（一巧）=任一巧），又切线过坐标原点，所以一 l n（一巧）=（巧），解得=-所以切线方程为y 1=三 任+e）,即y=：*；故答案为：y=y=一：=o v _ 110.【2 0 2 1年甲卷理科】曲线y =2=在点（-1,-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x +2【答案】5 x-y +2 =0【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【详解】由题，当x=-l时，y=-3,故点在曲线上.2（x+2）（2 x1）5求导得：=（工）2=环广所以=5.故切线方程为5 x-y +2 =O.故答案为：5 x-y+2 =0.11.【2 0 2 1年新高考2卷】已知函数/*）=卜-1|,为 0,函数/&）的图象在点4（七,八）和点8（孙/（）的两条切线互相垂直，且分别交 轴于M，N两点，则 掾 制取值范围是.【答案】（0,1）【解析】【分析】结合导数的几何意义可得X +*2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得AM=y/l+e2x.|x,|,BN=yJi+e2x-|x2|,化简即可得解.【详解】由题意，X=HT=.,贝V（X =二八，1 e-l,x0 e ,x0所以点4（21一/）和点5（孙 泊-1）,kAM=-exkBN=ex所以一=-l,X|+x2=0 ,所以 AM:y-l+e*=-ex-ex+1),所以AM=J r；+(e*xj-=Jl+e，*1 JxJ，同理忸N|=Jl+e*.|x2|,AM _ ll+e2x _ ll+e2x所 以 网=+冈=、丁 尸 =ex,e(O,l).故答案为：（0,1）【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+=,消去一个变量后，运算即可得解.三年专题0 3导数及其应用(选择题、填空题)(理科专用)1.【2022年全国甲卷】已知a=cos#c=4sin：，则()A.c b a B.b a cC.a b c D.a c b2.【2022年新高考1 卷】设=J c=则()A.a b c B.c b aC.c a b D.a c b3.2021年新高考1 卷】若过点(。力)可以作曲线y=e的两条切线，贝I J ()A.eb a B.ea bC.0aeb D.0bea4.【2020年新课标1 卷理科】函数f(x)=d-2丁的图像在点(L/)处的切线方程为()A.y=-2x-1 B.y=-2x+C.y=2 x-3 D.y=2x+l5.【2020年新课标3 卷理科】若直线/与曲线广五和都相切，则/的方程为()A.y=2x+1 B.y=2x+C.y=x+l D.y=x+6.【2022年新高考1 卷】已知函数门 外=/一 工+1，贝 II()A.r 幻有两个极值点B.rtx有三个零点c.点是 曲 线 的 对 称 中 心D.直线y=2r是曲线v=f的切线7.【2022年全国乙卷】已知.=必 和 0且(1*1)的极小值点和极大值点.若小电,则。的取值范围是.8.2022年新高考1 卷】若曲线y=工+/有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是.9.【2022年新高考2 卷】曲线y=比过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为，一?r-110.【2021年甲卷理科】曲线y=W=在 点(-1,-3)处的切线方程为.11.【2021年新高考2 卷】已知函数函数/(x)的图象在点A(%J(xJ)和点8(,/()的两条切线互相垂直，且分别交V 轴于“，N 两点，则 提1取值范 围是.三年专题0 3导数及其应用(选择题、填空题)(文科专用)1.【2022年全国甲卷】当x=l时，函数汽 幻=1111+：取得最大值一2，则()A.-1 B.C.|D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知穴1)=-2,r a)=o即可解得o j,再根据/口)即可解出.【详解】因 为 函 数 定义域为所以依题可知，ra)h 2,r u)=o,而r(x)=：；，所以b b 2.a-A =0,即。=2.b 2,所以,8-；+：，因 此 函 数 在(0.D上递增，在(L+。)上递减，工=1时取最大值，满足题意，即有r a)i+去故选：B.2.2021年乙卷文科】设。/0,若x=为函数/(x)=a(x-a)2(x-。)的极大值点，则()A.a b C.aba2【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对a进行分类讨论，画出，(力 图象，即可得到。力所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若则f(x)=a(x-a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故 标 b.有x=a 和x=0 两个不同零点，且在x=a 左右附近是不变号，在x=b 左右附近是变号的.依题意，x 为函数/(x)=a(x_a)2(x_b)的极大值点，.在左右附近都是小于零的.当 6,/(x)0 时，由x 人时，/(x)0,画出，(x)的图象如下图所示:由图可知 ，a 0,故综上所述，必 4)成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.3.【2 0 2 0 年新课标1 卷文科】曲线y =l n x+x+l 的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为【答案】y =2 x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(%，%),对函数求导，利用)|%=2,求出与,代入曲线方程求出为,得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为(%,y0),y=lnx+x+1,=+1,xy l=一+1 =2,%=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),X。所求的切线方程为y-2 =2(x1),即y=2x.故答案为：y=2x.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.4.【2020年新课标3卷文科】设函数/*)=工.若/(1)=：,则。=.【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数。的方程，解方程即可确定实数。的值【详解】由函数的解析式可得：r(x)=k尸，x+a)(X+Q)、)x(1+。-1)ae cie e则：，(i)=Fv-=7涓，据此可得：厂二7千 二，(l+a)e +1)(Q+1)4整理可得：a2-1a+=0,解得：a=.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.三年专题0 3导数及其应用（选择题、填空题）（文科专用）1.【2 0 2 2 年全国甲卷】当工=1 时，函 数 汽 幻=1 1 1 1+：取得最大值一2，则（）A.-1 B.C.|D.12 .2 0 2 1 年乙卷文科】设0,若x =为函数/（x）=（x-4）2（x-）的极大值点，则（）A.a b C.ab a23 .【2 0 2 0 年新课标1 卷文科】曲线y =l n x +x +l 的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为4 .【2。2。年新课标3卷文科】设 函 数 小）=5.若/=%则斫一