2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷.pdf

2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷一.选择题（每个小题2 分，共 20分）1.（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）2.（3分）点M （1,2）关于x轴对称的点的坐标为（）A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（2,-1）3.（3分）若三角形的三边长分别为3,4,x,则x的取值范围是（）A.3V x 4 B.l x 7 C.0 x 7 D.2 x,D为垂足，/C=55,则N A B C的度数是（）5.（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍 少1 8 0 ,这个多边形的边数是（）A.5 B.6 C.7 D.8A.72 B.60 C.58 D.50 7.（3 分）如图，A B 1.B F,EDLB F,C D=C B,判定血（；丝A B C 的理由是（)AA.ASA B.SAS C.SSS D.HL8.（3分）如图，把ABC纸片沿。E折叠，当点A落在四边形8CDE内部时，则N A与/1 +Z 2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.ZA=Z1+Z2 B.2ZA=Z1+Z2C.3ZA=2Z1+Z2 D.3ZA=2（Z1+Z2）9.（3分）在ABC中，已知点。、E、F分别是BC、AD.C E的中点，且ABC的面积是8,则BE尸的面 积 是（）10.（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得AABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）二.填空题（每个题3 分，共 24分）1 1.（3 分）已知：等腰三角形的两边长分别为6 和 4,则此等腰三角形的周长是.12.（3 分）等腰三角形的一个角是80,则 它 的 另 外 两 个 角 的 度 数 是.13.（3 分）如图，ABC中，A8=AC,A 8 的垂直平分线交AC于 尸 点.若 AB=5cm,B C=3 c m,则/PB C 的周长=.14.（3 分）如图，A8C是等腰直角三角形，ZC=90,8。平分/C B 4 交 AC于点 ,于 E.若ADE 的周长为 8 a ,则 AB=cm.15.（3 分）如图，M N是正方形ABCD的一条对称轴，点 P 是直线MN上的一个动点，当我们把图称为二环三角形，它的内角和为NA+NB+NC+NO+/E+/F；图称为二环四边形，它的内角和为N A+N B+/C+N O+N E+/F+/G+/H.则二环四边形的内角和为_ _ _ _ _ _ _二环五边形的内角和为二环边形的内角和为18.(3 分)如 图，A、B 两点在直线/的同侧，在/上 求 作 一 点 使 AM+8M最小.小明的做法是：做点A 关于直线/的对称点A,连 接 交 直 线/于 点 M,点 即为所求.请你写出小明这样作图的依据：.三、解 答 题(19-24题 5 分，25-26题 6 分，27-28题 7 分，共 56分)19.(5 分)如图，点 E,F 在 BC 上，BE=CF,Z A =ZD,Z B=Z C,AF 与。E 交于点 O.(1)求证：AB=C；20.(5 分)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点均在格点上，A(-3,2),8(-4,-3),C(-1,-1).(1)画出A8C关于y 轴对称的图形(2)写出4、B。的坐标(直接写出答案)A；B；C；(3)写出A b C 的 面 积 为.(直 接 写 出 答 案)(4)在 y 轴上求作一点P,使得点P到点A 与点C的距离之和最小.21.（5 分）两个城镇A,B 与两条公路/1、/2位置如图所示.（1）电信部门需要C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A,B 的距离必须相等，到两条公路力、/2的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点C（用尺规作图，保留作图痕迹）：（2）若电信部门要求将发射塔建在公路/2旁的。处，且到两个城镇A、B 的距离和最短,请在图中作出符合条件的点。（保留作图痕迹，作图工具不限）.（2）写出N1、N2、N 3之间的数量关系，并予以证明.23.（5 分）如图所示，是A8C的角平分线，EF是 的 垂 直 平 分 线，交 BC的延长线于点尸，连接A F.求证：N B A F=N A C F.A2 4.（5 分）如图，A B C 中，AB=AC,NB 4C=9 0 ,C O平分 NA CB,BE L C D,垂足 E在C O的延长线上，试探究线段B E和C O的数量关系，并证明你的结论.2 5.（6分）如图，在 A B C中，NB=2 NC,A D L B C,垂足为。，判断A B、C D和这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明.2 6.（6分）已知点C为线段A 8上一点，分别以AC、2 C为边在线段A B同侧作AC 和 BCE,且 CA=CD,CB=CE,N A C D=N B C E,直线 4E 与 B。交于点 F,（1）如图，若N 4CD=60 ,贝|JN4 FB=；如图，若N AC）=90 ,则/AFB=；如图，若 N A C Q=1 2 0 ,则；（2）如图，若/4 8=a,则（用含a的式子表示）；（3）将图中的 4CD绕 点C顺时针旋转任意角度（交点尸至少在8。、A E中的一条线段上），变成如图所示的情形，若N A C D=a,则N A F B与a的有何数量关系？并给予证明.(1)如 图 1,将 A。、E 8 延长，延长线相交于点0：求证：B E=A D；用含a的式子表示/A 0B的度数(直接写出结果);(2)如图2,当 a=45 时，连接B。、AE,作 CM J _ AE 于 M 点，延长MC 与 8。交于点 N,求证：N是 B 力的中点.2 8.(7分)在平面直角坐标系中，对任意的点P(x,y),定义尸的绝对坐标|P|=|x|+|y|.任取 点 A(x i,yi),B(短,2),记 A (x i,),B (x 2,yi),若此时以+囹2 阂2+四 2成立，则称点A,B相关.(1)分别判断下面各组中两点是相关点的是；4(-2,1),B(3,2)；C (4,-3),D (2,4).(2)(i )对于点P(x,y),其中-6W x W 6,-6 0W6,其中x,y 是整数.则所有满足条件的尸点有 个；(ii)求所有满足(i )条件的所有点中与点E(3,3)相关的点的个数;(i i i)对于满足(i)条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A,B两点，点 A,8 都相关，求的最大值.2021-2022学年北京五十七中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择 题（每个小题2 分，共 20分）1.（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（）【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；8、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；。、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C.【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.2.（3 分）点 例（1,2）关于x轴对称的点的坐标为（）A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（2,-1）【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案.【解答】解：点 M（1,2）关于x轴对称的点的坐标为（1,-2）,故选：C.【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.3.（3 分）若三角形的三边长分别为3,4,x,则 x的取值范围是（)A.3 x 4B.l x 7C.0 x 7D.2 c x 6【分析】据三角形三边关系，4-3 x 4+3,即 l x 7,问题可求.【解答】解：由题意，4-3x4+3,B P l x，NC=55,.ZCBD=90-55=35,.,80 平分 NA8C,：.ZABC=2 Z CBD2 X 35 =70.故选：D.【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键.5.（3 分）一个多边形的内角和比它的外角和的2 倍 少 180。，这个多边形的边数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可.【解答】解：设这个多边形为边形，由题意得，（-2）X 180=360 X2-180,解得=5,即这个多边形为五边形，故选：A.【点评】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360。是解决问题的关键.6.（3 分）已知图中的两个三角形全等，则N a 的度数是（)A.72 B.60 C.58 D.50【分析】根据全等三角形对应角相等可知/a 是 从。边的夹角，然后写出即可.【解答】解：两个三角形全等，.N a的度数是72.故选：A.【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键.7.（3 分）如图，A B LB F,EDVB F,CD=CB,判定ECC丝ABC 的理由是（）A.A SA B.SA S C.SSS D.HL【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，由 图 很 容 易 得 到 三 角 形 中 ZA C B=N D C E,BC=CD,所以由ASA判定三角形全等.【解答】解：A B LB F,ED B F.ZB=Z=90Z ACB和Z E CD为对顶角Z A C B=Z E C D：C D=C B：.AEDC ABC（A SA）故选：A.【点评】本题考查ASA判定三角形全等的基本应用，数形结合，应用所给的条件很容易就得出答案.8.（3分）如图，把aA B C纸片沿。E折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则/A与/1 +Z 2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.ZA=Z1+Z2 B.2ZA=Z1+Z2C.3ZA=2Z1+Z2 D.3/A=2（Z1+Z2）【分析】根据四边形的内角和为360及翻折的性质，就可求出2/4=/1+/2这一始终保持不变的性质.【解答】解：2NA=N l+/2,理由：.,在四边形 AD4 E 中，NA+NA+ZADA+ZAEA=360,则 2/4+180-Z2+1800-Z 1=360,可得 2N4=N1+N2.故选：B.【点评】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质.9.（3分）在4BC中，已知点。、E、尸分别是BC、AD,C E的中点，且ABC的面积是8,则BE尸的面 积 是（）【分析】因为点F是C E的中点，所以BEF的底是8EC的底的一半，A B E F高等于BEC的高；同理，D、E、分别是8C、的中点，E8C与ABC同底，EBC的高是ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答.【解答】解：如图，点尸是C E的中点，.BEF的底是EF,BEC的底是E C,即E F=E C,高相等；2S&BEF=XABEC,2同理得，SA B C=-5AA B C 2SB EFS/A B C 且 SZ A B C=8，4 SABEF=2,即阴影部分的面积为2.故选：A.【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.结合图形直观解答.10.（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A,8是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）【分析】分A 8是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，A B垂直平分线上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.【解答】解：4 B为等腰ABC底边时，符合条件的C点有4个；4 3为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解.二.填空题（每个题3分，共24分）11.（3分）已知:等腰三角形的两边长分别为6和4,则此等腰三角形的周长是 16或14.【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解.【解答】解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4,能组成三角形，周长=6+6+4=1 6,6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4,能组成三角形，周长=6+4+4=1 4,综上所述，三角形的周长为1 6或1 4.故答案为：1 6或或.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系：已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.12.（3分）等腰三角形的一个角是8 0 ,则它的另外两个角的度数是8 0 ,20 或5 0 ,5 0 .【分析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析.【解答】解：当这个角是底角时，另外两个角是：8 0 ,20 ；当这个角是顶角时，另外两个角是：5 0 ,5 0 .故答案为：8 0 ,20 或 5 0 ,5 0 .【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.13.（3分）如图，A B C中，A B=A C,A B的垂直平分线交A C于P点.若A B=5 a”，B C=3，则P 3C 的周长=8 c m .【分析】利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质将 P B C的周长转化为线段（A C+B C）的长度.【解答】解：的垂直平分线交4 C于尸点.：.A P=B P.又：A B=A C,A B=5 cm,B C=3cm,：./XPB C 的周长=P B+P C+8 C=A P+P C+8 C=A 8+8 C=5+3=8 c m.故答案是：8COT.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.14.（3 分）如图，ABC是等腰直角三角形，NC=90,BO平分NC84交 AC于点。D E L A B 于 E.若4的周长为 8C/M,则 AB=8 an.【分析】根据角平分线性质求出C=OE,根据全等求出BC=BE=AC,根据AOE的周长求出AO+E+A=AB,求出即可.【解答】解：平分NC8A,DE1,AB,ZC=90,：.CD=DE,N C=N D E B=90,N C B D=N E B D,在DCB和DEB中ZCBD=ZEBD的周长为8cro,：.AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BE+AE=AB=Scm,故答案为：8.【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等.15.（3 分）如图，M N是正方形A8CO的一条对称轴，点 P 是直线MN上的一个动点，当PC+PO 最小时，Z P C D=45 .【分析】根据当P C+P D最小时，作 出D点关于M N的对称点，正好是A 点，连接A C即可得出/P C。的度数.【解答】解：,:当P C+P D最小时，作出。点关于M N的对称点，正好是A点,连接A C,AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出N P C D=45 ,.Z P C D=45 .【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出。点关于M N的对称点,正好是4 点是解题关键.16.(3 分)如 图，NDEF=36 ,AB=BC=CD=D E=E F,则NA=18 .【分析】由己知线段相等开始，根据等角对等边的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答.【解答】解：A 8=B C,Z A =ZA C B,：.Z C B D=Z A+Z A C B=2 Z A,同理可得，Z D C E=Z A+Z A D C=3 Z A,N E D F=Z A+Z A E D=4 Z A,；DE=EF,N D E F=36 ,.D E 尸是等腰三角形，AZEDF=A(18 0 0 -ZDEF)=4/A=7 2 ,2A Z A=18 .故答案为：18 .【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，认清图形理清思路得到/E D F=L(18 0 -ZDEF)=4 N A 是解题的关键.217.（3 分）如图，猜想：Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=36 0 我们把图称为二环三角形，它的内角和为N A+N B+/C+N Q+N E+N F；图称为二环四边形，它的内角和为N A+/B+/C+N O+/E+/F+/G+/H.则二环四边形的内角和为 7 20 二环五边 形 的 内 角 和 为 10 8 0 二环边形的内角和为 36 0 义（-2）【分析】连 接A E,可得N Q+/C=N C A E+N Z）E 4,再根据四边形的内角和公式即可求解；D、E之间添加两条边，可得N M+N M E F+N M D H=N G+N F+N H,再根据六边形的内角和公式即可求解；根据二环三角形、二环四边形和二环五边形的内角和可得二环n边形的内角和.【解答】解：如图,连接 AE,则/。+N C=/C 4E+/Z)E 4,/.Z B A C+Z B+Z C+Z D+Z D E F+Z F N BAE+N B+N F+N F E A=360；如图，。、之间添加两条边，可得/M+N M E F+/M D H=/G+N F+N H,则 Z A+Z B+Z C+Z CDH+Z F+Z G+Z H+Z A E F=Z A+Z B+Z C+Z C D M+Z MEA+Z M=7 20 ；:二环三角形的内角和是36 0 =36 0 X (3-2),二环四边形的内角和是7 20 =36 0 X (4-2),.二环五边形的内角和是36 0 X (5 -2)=10 8 0 ,二环 边形的内角和是36 0 X故答案为：36 0 ；7 20 ；10 8 0 ；36 0 X -2).【点评】本题考查了多边形内角和定理：(-2)-18 0 (23)且“为整数)，正确画出辅助线是解题关键.18.(3分)如 图，A、B两点在直线/的同侧，在/上求作一点，使 A M+B M 最小.小明的做法是：做点A关于直线I的对称点A,连接AB,交直线I于 点 点M即为所求.请你写出小明这样作图的依据：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短.【分析】根据直线的性质，相等垂直平分线的性质即可得到结论.【解答】解：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短.故答案为：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短.【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟记轴对称的性质是解题的关键.三、解 答 题(19-24题5分，25-26题6分，27-28题7分，共56分)19.(5 分)如图，点 E,F在 BC上，BE=CF,=N B=N C,AF与 D E 交于点 O.(1)求证：AB=DC-.(2)试判断 O E P 的形状，并说明理由.D【分析】(1)根据B E n C f 得到B F=C E,又/4=/,/B=/C,所以a A B 尸会 ：,根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)根据三角形全等得N 4 FB=N OEC,所以是等腰三角形.【解答】(1)证明：B E=C F,：.B E+EF=C F+EF,即 B F=C E.在 A B F 与)(7 中，fBF=CE*ZA=ZDZB=ZC:.A B F9 1XDC E(44S),：.A B=DC.(2)Z i O E F 为等腰三角形理由如下：V A A B F A D C E,N A F B=A DEC,：.OE=OF,.O E F 为等腰三角形.【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据B E=C F 得至U B F=C E 是证明三角形全等的关键.2 0.(5分)如图，在边长为1 的正方形组成的网格中，ABC的顶点均在格点上，A (-3,2),8 (-4,-3),C (-1,-1).(1)画出a ABC关于y轴对称的图形 4 8 C；(2)写出A B C的坐标(直接写出答案)4 (3,2)；B (4,-3)；C(1,-1)；(3)写出A B C 的 面 积 为 6.5.(直接写出答案)(4)在 y轴上求作一点P,使得点尸到点A与点C的距离之和最小.【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点A,，C即可.（2）根据点的位置写出坐标即可.（3）利用分割法求三角形面积.（4）连接A C 交y轴于点P,连接P C,点尸即为所求.【解答】解：（1）如图，Z sA b C即为所求.(2)A (3,2),B (4,-3),C(1,-1).故答案为(3,2),(4,-3),(1,-1).(3)SM B c =3 X 5-A x 1 X 5-2 X 2 X 2 X 3=6.5,2 2故答案为6.5.（4）如图，点P即为所求.【点评】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.2 1.（5分）两个城镇A,B与两条公路八、/2位置如图所示.（1）电信部门需要C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路人、/2的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点C （用尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若电信部门要求将发射塔建在公路/2 旁的。处，且到两个城镇A、8的距离和最短,请在图中作出符合条件的点。（保留作图痕迹，作图工具不限）.【分析】（1）作/I 与/2 的夹角的平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点即为C点;（2）作 B点关于/2 的对称点8,，连接A B 交/2 于点。，利用两点之间线段最短可判断 D点满足条件.【解答】解：（1）如 图 1,点 C、点 C为所作；【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中；关键是弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.也考查了最短路径问题.2 2.（5 分）如图，已知 A B=A C,A D=A E,B E=C D,（1）求证：N B A C=N E A D；（2）写出/I、N 2、N 3 之间的数量关系，并予以证明.【分析】(1)根据SSS证8AE丝C 4 D,推出/B A E=N 1 即可；(2)根据全等三角形性质推出N1=NBAE,N 2=N ABE,代入N3=NB4E+NABE求出即可.【解答】证明：(1)：在BAE和CA。中，A E=A D,A B=A CB E=D C.B A%CAO(SSS),：.ZB A E=Z l,：.Z B A E+Z E A C Z 1 +ZEA C,：.Z B A C=Z E A D.(2)Z3=Z1+Z2,证明：/XB A E/C A D,：.Z=ZB A E,Z 2=Z A B E,Z 3=Z B A E+Z A B E,.*.Z3=Z1+Z2.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等.23.(5 分)如图所示，A。是48C 的角平分线，EF是 的 垂 直 平 分 线，交 BC的延长线于点凡 连接A F.求证：Z B A F ZA C F.BD【分析】根据线段的垂直平分线得出A F=C F,推出N 以。=乙 4。尸，根据角平分线得出Z D A B Z C A D,推出N C A F=N 8,根据NE48=N8AC+N阳C 和/AOF=NB+N8AC推出即可.【解答】证明：尸是A。的垂直平分线，：.AF=DF,：.Z F A D=Z A D F,：ZFAD=-ZFAC+ZCAD,N A D F=NB+NDAB,；AO是NBAC的平分线，：.Z D A B=Z C A D,：.Z C A F=Z B,：.Z B A C+Z F A C NB+/BAC,即 NBAF=ZACF.【点评】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角选择，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中.24.（5 分）如图，/XABC 中，AB=AC,NB4C=90,C。平分 NACB,BE L C D,垂足 E在 C。的延长线上，试探究线段BE和 CO的数量关系，并证明你的结论.【分析】C D=2B E,理由为：延长BE交 C 4延长线于F,由 C。为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE为公共边，利用AS4得到三角形CEF与三角形CEB全等,利用全等三角形对应边相等得到FE=B E,利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用4sA 得到三角形A B F与三角形A C D全等，利用全等三角形的性质得到C D=B F,等量代换即可得证.【解答】解：C D=2 B E,理由为：延长B E交C A延长线于F,；C力平分NAC8,Z F C E=/BCE,在(?和CEB 中，/F C E=/B C E C E=C E ，ZC E F=ZC E B=9 0:./XCEF咨ACEB(ASA),：.FE=BE,:NDAC=NCEF=9Q,ZAC D+ZF ZABF+ZF90Q,ZACD=NABF,在ACC和ABF中，ZA C D=ZA B F=60,则/A F B=120；如图，若/AC/)=90,则NAFB=90；如图，若NACD=120,则NAFB=60；(2)如图，若N A C D=a,则/A F B=180。-a (用含a的式子表示)；(3)将图中的AC。绕 点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在8 0、A E中的一条线段上)，变成如图所示的情形，若/A C D=a,则N A F B与a的有何数量关系？并给予证明.图 图 图【分析】(1)如 图 1,首先证明BCD名EC A,得出/E A C=N B Q C,再根据NAFB是4。尸的外角求出其度数.如图2,首先证明ACE丝O CB,得出/A E C=/B C,又有NFDE=N CD B,进而得出 NAFB=90.如图 3,首先证明ACEgZQCB,得出N E 4C=N 3O C,又有NBC+NFBA=180-ZOCB得 到/阳 B+/FBA=120,进而求出乙4尸 8=60.(2)由NACE=NBCE得到N 4 C E=/O C B,再由三角形的内角和定理得NCAE=NC D B,从而得出 N Q 41=/A C Z),得到结论/AFB=180-a.(3)由/AC=/BCE 得到/A C E=N O C B,通过证明ACE丝ZXOCB 得NCBD=NC E A,由三角形内角和定理得到结论NAFB=180-a.【解答】解：(1)如 图 1,CA=CD,4 8=6 0 ,所以AC。是等边三角形.：CB=CE,NACD=NBCE=60,所以aECB是等边三角形.AC=DC,ZACE=ZACD+ZDCE,ZBCD=ZBCE+Z DCE,又，;ZACD=ZBCE,：.NACE=NBCD.：AC=DC,CE=BC,：./ACE/DCB.：.ZEAC=ZBDC.NA心 是AQF的外角.ZAFB=ZADF+ZFAD=ZADC+ZCDB+ZFAD=ZADC+ZEAC+ZFAD=ZADC+ZDAC=20.如图 2,VAC=CD,ZACE=ZDCB=90,EC=CB,:.AACEADCB.ZAEC=/DBC,又：/FDE=/CDB,ZDCB=90,：.ZEFD=90.ZAFB=90.如图 3,:/ACD=/BCE,：.ZACD-NDCE=NBCE-NDCE.：.ZACE=ZDCB.又,：CA=CD,CE=CB,：.AACEADCB CSAS).：.ZEAC=ZBDC.ZBDC+ZFBA=SO-ZDCB=SO-(180-ZACD)=120,：.ZFAB+ZFBA=20Q.A ZAFB=60.故填 120,90,60.(2)：NACD=NBCE,：.ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE.：.ZACE=ZDCB.：.ZCAE=ZCDB.：.ZDFA=ZACD.：.ZAFB=180-ZDM=180-ZACD=180-a.(3)NAb8=180-a；证明：,:/A C D=/B C E=a,则NAC+N)CE=N8CE+N)CE,即 ZACE=ZDCB.A C=D C在A C E 和 C B 中.ZA C E=ZD C B C E=C B则A C E丝D C B (S A S).则N C B。=N C E A,由三角形内角和知/EFB=Z ECB=a.N A F B=1 8 0 -N E F B=180-a.【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识.(1)如 图1,将4。、E B延长，延长线相交于点。求证：B E=A D；用含a的式子表示N A O B的度数(直接写出结果)；(2)如图2,当a=4 5 时，连接B。、A E,作C M_L A E于M点，延长M C与8 0交于点N,求证：N是8 0的中点.【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到N A C B=N Q C ,根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到N C A O=/C B E=a+/8 A O,根据三角形的内角和即可得到结论；(2)如图2,作B P _L MN交M N的延长线于P,作D Q J _MN于Q,根据全等三角形的性质 得 到M C=B P,同理，C M=D Q,等量代换得到D Q=B P,根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)；C 4 =C 8,CD=CE,Z C A B=Z C E D=a,：.ZA C B=1 8 0 -2 a,Z D C E=1 8 0 -2 a,Z A C B=Z D C E,：.Z A C B -N D C B=Z D C E -ZDCB,：.N A C O=NBCE,rAC=BC在ACC和ABCE中，ZACD=ZBCEDC=CEA AACDABCE(SAS),：.BE=AD；.,AC。丝8CE,：.Z C A D=Z CBE=a+ZBAO,ZABEZBOA+ZBAO,：.ZCBE+a=ZBOA+ZBAO,：.ZBAO+a+a=ZBOA+ZBAO,A Z BOA=2a；(2)如图2,作 BPJ_MN交 MN的延长线于P,作 QJ_MN于 Q,Z BCP+Z BCA=Z CAM+ZAMC,：ZBCA=ZAMC,：.ZBCP=ZCAM,AC=BC在ACB尸与ACM 中，ZBPC=ZAMCZBCP=ZC A M:.XCBP沿XACM(AAS),：.MC=BP,同理，CM=DQ,：.DQ=BP,BP=DQ在ABP N与ADQN 中，ZBNP=ZDNQ-ZBPC=ZDQN:.A B P N A D Q N CAAS),：.BN=ND,，N 是 8。的中点.图2【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.2 8.(7 分)在平面直角坐标系中，对任意的点P(x,y),定义P的绝对坐标用=|x|+|y|.任取点 A (x i,y i),B(x 2 iE A C x,)，B (X 2 y i),若此时依产+出产引4产+网?成立，则称点A,8相关.(1)分别判断下面各组中两点是相关点的是；4 (-2,1),B(3,2)；C (4,-3),D(2,4).(2)(i )对于点P (x,y),其中-6 W x W 6,-60W6,其中x,y是整数.则所有满足条件的P点有 169个:(ii)求所有满足(i)条件的所有点中与点E (3,3)相关的点的个数；(iii)对于满足(i )条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A,B(2)(/)因为-6 W x W 6 且为整数，所以符合条件的x有 1 3 个，同理符合条件的)，也有1 3 个，所以满足条件的P点 有 1 6 9 个，(z 7)根据点A、8相关的定义得到|x iy i|+|x 2 y 2|W|x i”|+|x 2 y i|,把E (3,3)代入，讨论象限以及坐标轴上的点与E点的相关点的个数，(Hi)由(H)中的|x i y i|+|x 2 y 2|W|x i y 2|+|x 2)，i|,变换得-”|W|x 2|+|y i -从而得知点4、B相关时的条件，从而求得”的最大值.【解答】解：(1)(-2,1),B(3,2),-2,2),B (3,1),(2+1)2+(3+2)2=3 4,(2+2)2+(3+1)2=3 2,3 4 3 2,所以此项不符合题意；：C (4,-3),D(2,4),：.C(4,4),D(4,-3),(4+3)2+(2+4)2=8 5,(4+4)2+(2+3)2=8 9,8 5|x i|y i -州 位|-泗,因为X I,X 2任取,所以|刈冽X2|,即|刈=问，故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等，所以 的最大值为6X4+1=25.【点评】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用.