2020-2021学年上海市静安区建青中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf

2020-2021学年上海市静安区建青中学高一下学期期中数学试卷一、单 选 题（本大题共4小题，共 1 2.0分）1 .已知。=：兀，则角a 的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .函数y =2 的（2+是（）A.周期为兀 的偶函数 B.周期为2 元的偶函数C.周期为兀的奇函数 D.周期为2 兀的奇函数.3 .若集合力=0,7n2,B=1,2 ,则=1”是“4 U B=0,1,2 ”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件4 .在 AABC 中，已知a -b =c c os B-c c os A,则ABC 的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形二、单 空 题（本大题共1 2 小题，共 3 6.0分）5 .与-2 01 4。终 边 相 同 的 最 小 正 角 是 .6 .一个半径为R 的扇形，它的周长为4 R,则 这 个 扇 形 所 含 弓 形 的 面 积 为 .7.已知s i na =（巴,兀）.求 c os a 及tc m a；求 2cos（6+a）+c o s g a）sin（a）+3sin（7r+a）*8 .求值：s 加8 70。=.9 .已知角a 的终边经过点（一 3,4）,贝!s i r i Q+c os a=.1 0.已 知 上 三=3 则 上 陋=_ _ _ _.s in a-l 2 cosa1 1 .已知s i na =I，且a 是第一象限角，则ta n（a +=.1 2 .1 5.84B C 中，角5、3、C 所对的边分别为a、5、C，下 列 命 题 正 确 的 是（写出正确命题的编号）.若2 L 4 BC最小内角为&,则c os a之；若工s i n3 Bs i n0；_ _ _ _ _ _ _ 7r 若2 a能+5 0+c9=6 则山4 B C的最小角小于1；0若以 彷(0 3X29 x3,x4 f则4%1 +%2 +%3 +%4的 取 值 范 围 是 .三、解答题(本大题共5小题，共5 2.0分)1 7.(1)计算：恒2 2 +句2 05 +0 5；件 第.一s i n(7r+a)+s i n(a)ta n(2 zr+a)()3 ta n(a+7r)+c os(-a)+c os(7T-a)1 8 .已知函数/(I)=/3 s i ni 4；x c o6(4；x4-s i n2u；x -(u；I)I.(1)若/(%)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于今求3的取值范围；若/(x)的最小正周期为“，皤)=|，求坦 a)的值.19.已知s讥a=|,cosp=-l，a,)，0是第三象限角.(1)求cos2a的值；(2)求 cos(a+/?)的值.20.如图，相距版海里修为正常数巾的/、B两地分别有救援4船和B船.在接到求救信息后，A、B都能立即出发，其中4、B两船的航速分别是如海里/小时、1海里/小时.求在同时收到求救信息后，4、B两船能同时到达的点的轨迹C所围成的区域的面积；据tl(2)若在4地北偏东哪方向，距4地营贸海里处的遍点有一艘遇险船正以白海里/小时的速度*f,V向正北方向漂移.应派哪艘船前往救援？救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？21.函数/(x)=照 是 定 义 在(3,3)上的奇函数，且/(1)=:(1)求/(X)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f (t -1)+r(t)0.参考答案及解析1.答案：C解析：解：由于a=9兀=2 兀一?，则角a的终边所在的象限与一9 的终边相同，而一?的终边在第O O O O三象限，故角a的终边所在的象限是第三象限，故选：C.由于a=：兀=2 n 一?，则角a的终边所在的象限与?的终边相同，而一?的终边在第三象限，从O O O O而得出结论.本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角的定义，属于基础题.2.答案：C解析：解：函数的周期7=半=7 T,y=2cos(2x+)=-2sin2x,为奇函数，故选：C.根据三角函数的周期公式即可得到结论.本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础.3.答案：B解析：本题主要考查的是并集及其运算，考查充分条件和必要条件，是基础题.由集合的运算分别判断充分性和必要性是否成立，即可得解.解：当巾=1 时，/I =0,1,B=1,2,所以4 UB=0,1,2,即巾=1 能推出力UB=0,l,2,充分性成立；反之当4 UB=0,1,2时，m2=1 或 m2=2,所以m =1或所以4 U B=0,1,2成立，推不出m =1,必要性不成立，故“m =1”是 A U B=0,1,2”的充分不必要条件，故选艮4.答案：D解析：解：将cosA=+/-,cosB=M+cZ-/代入已知等式得:2bc 2ac,a2+c2-b2 b2+c2-a2a b=c-c-,2ac 2bc整理得：贮1匕 4=贮1匕，a b当口 2+人2 一 2=o,即a 2+b 2=c 2 时，ABC为直角三角形；当a2+b 2-c2 *0 时，得到a=b,4BC为等腰三角形，则4 ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D.利用余弦定理表示出cos/1与c o sB,代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状.此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.5.答案：146解析：本题考查终边相同的角的概念，终边相同的两个角相差360。的整数倍.先化简一 2014。为360。的整数倍加上一个 0。,360。)的角，再说明在 0。,360。)上，只有146。与-2014。终边相同.解：v-2014=-6 x 360+146,二146。与-2014。终边相同，又终边相同的两个角相差360。的整数倍，.在 0,360。)上，只有146。与一2014。终边相同，.与-2014。终边相同的最小正角是146。，故答案为146。.6.答案：(l-|s in 2)/?2解析：解：一个半径为R的扇形，它的周长为4 R,所以弧长是：2 R,圆心角是：2；扇形的面积是:|x 2/?x/?=R2 三角形的面积是：|x/?Rsin2=1/?2sin2；所以这个扇形所含弓形的面积为：(l-|s in 2)/?2.故答案为：（1 一讥2）产通过扇形的周长，求出扇形的弧长以及圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.本题是基础题，考查扇形面积的求法，弓形面积的求法，考查计算能力，计算量比较小，送分题.7.答案：解：（1）.sina=卓，a cosa=V1 sin2a=tana 2；（2）v tana=-2,.原式_-2sina-cosa _-2tana-l _ 4-1 _ 3、cosa-3sina 1-3 tana 1+6 7*解析：（1）由sina的值及a 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa的值，进而求出tan a的值；（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，把tana的值代入计算即可求出值.此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.8.答案：!解析：解：sin870=sin（720+150）=sinl50=sin30=故答案为：直接利用三角函数的诱导公式化简求值.本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题.9.答案：I解析：解：角a 的终边经过点（一 3,4）,*-x=-3,y=4,V=yjx2 4-y2=5.4 3:.sina=g,cosa=-4 3 1 sina+cosa=-=-故答案为：!利用三角函数的定义，求出sina、c o s a,即可得到结论.本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题.10.答 案:W解析：解 黑T.：2cosa=sina 1,两边平方，得4cos2戊=sin2a-2sina+1,HP4（1 sin2a）=sin2a 2sina+1,整理，得5sin2a _ 2sina-3=0,o解得si7ia=-sina=1（舍去）；v sina-1 0,cosa 0,4 cosa=-.l+sintr _ 1+（-1）_ 1,=4 =一二.c osa-2故答案为：一由*7 =?以及同角的平方关系，求出sina、cosa的值，计算上四上即可.sma-l 2c osa本题考查了同角的三角函数的基本关系的应用问题，是基础题.11.答案：7解析：解：因为sina=g,且a是第一象限角，所以tana=p4所以 tan(a+$tana+tan-4 -4+11-tanatan4 一口4=7.故答案为：7.先由三角函数的定义得出tana=：,再利用两角和的正切公式，得解.4本题考查两角和的正切公式，三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.12.答案：.解析：解；若cosa贝ljoa玄 经，若ABC为直角三角形，则必有一内角在(0,若为锐角ABC,则必等于 女，若为钝角三角形ABC，则必有一个内角小于 詈，故总存在某内角a,使cosa三 专；故正确；设函数f (x)=散(0 x x),则导致f (x)=xcosx-sinx；若 手 工乂n，则f (x)0,又Asiis B s i?A 今BV A，若0 x x,故f (x)0,即有B V A,故不正确；B A 2在斜三角形中，由tan(A+B)=1anAttang 二 一 七 领 口 得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,由于tanA+tanB+tanC：1-tanAtanBtanAtanBtanO O,即A,B,C均为锐角，故不正确；若2a靛+b+c彘=j，即2a(瞪-AB)-b就+c彘=&即(2 a-b)正 二(2 a-c)还，由 于 迷 彘 不 共线，故22a=b=c,由余弦定理得，cosA二b2戈-a2=二 率,故最小角小于白，故正确；2bc 8 2 6若aVtb(O V tW l),则由正弦定理得，s in A ts in B,令f (x)=tsinx-sin(tx)则f (x)=tcosx_tcos(x c o s x,即f (x)0,tsin x sin (t x)即tsinB sin(t B)，故有sinAVsin(t B),sin A-tB 2 V 4 =4,(当且仅当4与=%2即4/=&=2时,等号成立)；故4%1 +%2 +%3+%4 N 1 2,且4 rl+上+%3+%4 V 1 3;故答案为：1 2,1 3).作函数“X)=雪!3翼:3的图象，从而可得22=1，X3+肛=8；从而由基本不等式确定的取值范围.本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题.1 7.答案:解：(l)lg22 +Ig2lg5+lg5=Ig2(lg2+IgS)4-lg5=lg2+lg5=1；(2)”式_ sina-sina-tana _ tana _ 1)、tana+cosa-cosa tana解析：(1)由lg2 +IgS=IglO=1即可化简求值.(2)由诱导公式化简后即可求值.本题主要考查了对数的运算性质，诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题.1 8.答案：解：/(%)=yl3sina)xcosax+sin2a)x|=-sin2a)x|c os2 o)x =sin(2 a)x ).(1)由题意知3=卷2 3 W 1，又3 0,二 0 1 浮域，也就是 叵正正 丘更2 ,即 鬻唱等，装 用 黎 不 够 V所以应派4 船前往救援；设在点Q 处，救援船与遇险船相遇，且所需的时间为会小时，则在 输 翻 f中，解 1=去：逾，疑感：a.由余弦定理得，&城=浮 城+世的产-3掇争做心搂飘S iS僦 颈，解之得$=华、博f郎、图,A A ,置 .7；有二 救援船最快需 端?+即&小时才能与遇险船相遇。52 1.答案：解：由函数/(x)=等 是 定 义 在(-3,3)上的奇函数,可得/(0)=0,即3=0,解得b =0,由f(1)=5,可得2 =2,即。=1，.O O O所以(2)f(x)=号 是(3,3)上的增函数.证明：设一 3%2 3,/(为)_/(如)_m_序(9-岩)(9-,)，由一3%1 刀2 3,可得%1-2 0,9-后 0,9-据 0,则/。1)一。2)0,即/。1)/。2)，所以/(X)是(一3,3)上的增函数.(3)由/(x)为奇函数，可得f(t -1)+f(t)0即为-1)-/(t)=/(一t),由/(x)是(一3,3)上的增函数，(-3 t -1 3 f-2 t 4可 得 3 t 3，即-3了3,(t -1 -t 5解得-2 t,即有原不等式的解集为(-2,.解析：由奇函数/(x)在x=0处有定义，则/()=0,求得b；再由f(l)的值，代入解方程可得a,进而得到/(x)的解析式；(2)由单调性的定义，结合不等式的性质，可得/Q)在(-3,3)内的单调性；(3)由奇函数/(X)在(-3,3)内的单调性，可去掉不等式两边的“/，解不等式可得所求解集.本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.