2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之截长补短法.pdf

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之截长补短法（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.如图，AABC中，N8=2NA,NA C5的平分线CZ）交 4 B 于点，已知AC=16,B C=9,则 B D 的 长 为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【分析】如图，在 C4上截取CN=C B,连接DN,证明ACBD且K N D,利用全等三角形的性质证明BD=N D,求解CN=9,AN=7,再证明ON=A N,从而可得答案.【详解】解：如图，在 C4上截取CN=C B,连接。N,CD 平分 ZACB,NBCD=NNCD,.C D =CD,：qC B D C N D（SAS）,BD=ND,ZB=NCND,CB=CN,8C=9,AC=16,:.CN=9,AN=AC-C N =1,NCND=ZNDA+AA,ZB=ZNDA+ZA,.NB=2NA,ZA=ANDA,:.ND=NA,:.BD=AN=1.故选：B.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键.2.如图，已知四边形ABCD中，A D/7B C,若NDAB的平分线AE交 CD于 E,连接B E,且 BE恰好平分N A B C,则 A B的长与AD+BC的大小关系是（）A.ABAD+BC B.ABAD+BC C.AB=AD+BC D.无法确定【答案】C【分析】在 AB上截取A F=A D,连接E F,易得NAEB=90和 ADE丝4 A F E,再证明 BCE丝ZXBFE,利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在 A B上截取A F=A D,连接EF,：ADBC,.ZABC+ZDAB=180,又：BE平分NABC,AE平分NDABZ ABE+NEAB=g(NABC+NDAB)=90,Z AEB=90 B P Z2+Z4=90,在4 ADE和4 AFE中，AD=AF ZDAE=ZFAEAE=AE.ADEAAFE(SAS),所以N1=N2,又N2+N4=90,N l+/3=9 0,所以N3=/4,在4 BCEA BFE 中，ZCBE=ZFBE BE=BEZ3=Z4.,.BCEABFE(ASA),所以BC=BF,所以 AB=AF+BF=AD+BC；故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.3.如图，在 A4BC中，ZBAC=68,ZC=36,AO平分 AC,M、N 分别是 A。、A8上的动点，当BM+MN最小时，ZBMV的 度 数 为()【答案】B【分析】在 AC 上截取 A E=A N,先证明 AAME丝ZAMN(S A S),推出 M E=M N.当 B、M、E共线，BELAC时，BM+ME最小，可求出/N M E 的度数，从而求出/B M N 的度数.【详解】如图，在 A C上截取AE=AN,V ZB A C的平分线交BC于点D,二NEAM=NNAM,在4AMN中,AE=AN-ZEAM=ZNAM,AM=AM.,.AMEAAMN(SAS),，ME=MN.BM+MN=BM+ME,当 B、M、E 共线，BEJ_AC 时，BM+ME 最小，；.MN_LABZBAC=68ZNME=360o-ZBAC-ZMEA-ZMNA=360o-68o-90o-90o=112,.*.ZBMN=180-112o=68.故选：B.【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把 BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题.4.如图，在中，ZACB=90,AC=3,BC=4,AO平分NC4B交 BC于。点，E,尸分别是AD,4 c 上的动点，则 CE+所 的最小值为()【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则 EC+EF的最小值即为点C 到 AB的垂线段长度.【详解】在 AB上取一点G,使 AG=AF.,在 RtZkABC 中，ZACB=90,AC=3,BC=4；.AB=5,VZCAD=ZBAD,AE=AE,AAAEFAAEG(SAS)；.FE=GE,要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值,故当C、E、G 三点共线时，符合要求,此 时,作 CHLAB于 H 点，则 C H 的长即为CE+EG的最小值,此时，A CB C =A BC H ,A C A B 12BC 512即：CE+EF的最小值为w，故选：D.【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键.5.如图，在 AA 8C中，AD 平分ZR4C,Z B =2ZADB,AB=5,C D=6,则 AC 的长为（）【答案】C【分析】在 AC 上截取 A E=A B,连接 D E,证明 ABD丝A A E D,得到/B=NA ED,AB=AE,再证明CD=CE,进而代入数值解答即可.【详解】在 AC上截取AE=A B,连接DE,BDEVAD 平分NBAC,AZBAD=ZDAC,在 ABD和仆AED中，AE=AB尸，连接A G,先证明 ABG四ADF(SAS),得到AG=AF,NBAG二NDAF,再证明 EAG0ZMEAF(SA S),得至ij EG=E F,根据 BG二D F,即可得EF二 BE-BG=BE-DF.【详解】(1)如图，延长FD到点G,使DG=B E,连接AG./ZB+ZADF=NADG+ZADF=180，:B =ZADG,又.43=AT,BE=DG,：.MBEAAZ)G(SAS),/.AE=AG,/BAE=ZDAG,V ZEAF=-ZBAD,.ZGAF=ZDAG-DAF=ZDAF=ZBAD-EAF=ZEAF.2-AE=AG,ZEAF=NGAF,AF=AF,：.M E F M G F,:.EF=FG.FG=DG+DF=BE+DF,:.EF=BE+DF；(2)EF=BEDF.如图，在3C上截取4G=O E,连接AG,G N8+ZADC=ZADC+ZADF=180，.ZB=ZADF,AB=AD在 ABG 和 ADF 中,N 8=ZADF,BG=DF.,.ABGAADF(SAS),AAG=AF,ZBAG=ZDAF,ZBAD=2ZEAF,NBAG+NGAE+NEAD=NEAD+NDAF+NEAD+NDAF,AZGAE=ZEAF,AG=AF在小 EAG 和 EAF 中/E A G =ZEAF,AE=AEAAEAGAEAF(SAS),AEG=EF,VBG=DF,，EF=BE-BG=BE-DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键.7.如图，ABC中，AB=AC,D、E 分别在CA、B A 的延长线上，连接BD、CE,且ND+NE=180。，若 B D=6,则 CE 的长为【答案】6【分析】在 AD上截取AF二 A E,连接B F,易得 ABF之ZACE,根据全等三角形的性质可得ZBFA=ZE,CE=B F,则有ND=N D F B,然后根据等腰三角形的性质可求解.【详 解】在AD上 截 取AF=A E,连 接B F,如图所示：v AB=AC,ZFAB=ZEAC,AABFAACE,/.BF=EC,ZBFA=ZE,vZD+ZE=180,ZBFA+ZDFB=180,NDFB=ND,.BF=BD,BD=6,CE=6.故 答 案 为6.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.8.如 图，在A ABC中，ZACB=ZABC=40,BD是NABC的角平分线，延 长BD至点 E,使得 DE=DA,贝!|NECA=.【答 案】40【分 析】在BC上 截 取BF=A B,连 接D F,由题意易得NA=100。，ZABD=ZDBC=20,易得 A B D A FB D,进 而 可 得DF=AD=DE,由此可证 DECWzDFC,然后根据全等三角形的性质、三 角形内角和及外角的性质可求解.【详 解】解：在BC上 截 取BF=A B,连 接DF,DEB-；-cV ZACB=ZABC=40,BD 是NABC 的角平分线，/.ZA=100,ZABD=ZDBC=20,/.ZADB=60,ZBDC=120,vBD=BD,.ABDAFBD,DE=DA,.DF=AD=DE,Z BDF=Z FDC=Z EDC=60,ZA=ZDFB=100,DC=DC,/.DECADFC,ZDCB=ZDCE=ZDFC-ZFDC=100-60=40；故答案为40.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键.9.如图，四边形 ABC。中，ZBAD=120,Z B=Z D=9 0 ,在 8C、CD 上分别找一点 M、N,使AAMN周长最小时，则NAMN+NAMW的度数是.【答案】120【分析】延长A B,使得AB=BE,延长A D,使得AD=DF,连接E F,与 BC,DC相较于M,N,要使得 AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根 据/8 人口=120。和4 人乂?4 的内角和是180。即可列出方程求解.【详解】解：延长A B,使得AB=BE,延长A D,使得AD=DF,连接E F,与 BC,DC相较于M,N如图所示，此时 AMN的周长最小VZABM=90 ZEBM=90在 AMB和 EMB中AB=BEE,根据等角对等边可得CE=）E,等量代换得到E C=4O,贝lj5C=5E+EC=AB+AO即可求出AO长.【详解】解：（1）在8C上截取8E=8A,如图，,.8。平分NA8C,NABD=NEBD,在和中，BE=BA /ABD=/EBD,BD=BD:.AABD妥 AEBD(SAS),：.DE=AD,NBED=NA,又 NA=2NC,：.ZBED=ZC+ZEDC=2ZCf：.ZEDC=ZCf:ED=EC,：.EC=ADr：.BC=BE+EC=AB+ADfVBC=10,48=6,AAD=10-6=4；故答案为：4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键.1 1.如图，AABC与 AAOC有一条公共边 A C,且 AB=AD,ZACB=ZACD=x,贝！INBAD=.（用含有x 的代数式表示）【答案】180-2x【分析】在 CD上截取CE=C B,证明 ABCAAEC得 AE=AB,/B=/A E C,可进一步证明ZD+/B=180。,再根据四边形内角和定理可得结论.【详解】解：在 C D 上截取CE=C B,如图所示，在4 ABC AEC 中，CE=CB,连接C E.；AEAD+DB+BE2AD+BD.AC=2AD+BD,：.AEAC.Z A =6 0,.AAEC是等边三角形，Z E =Z A C E =6 0.ZABC=4ZACD,.设 ZA8=x,则 Z A B C =4x.在 AAOC与 AEBC中,AD=BE,(ZA=ZE,A ADC且AEBC(SAS),AC=EC,：.ZACD=/ECB=x.*/ZABC=NE+NBCE,4x=60+x,/.x=20,J ZBCD=60-20-20=20.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键.14.如图，ABC 中，E 在 BC 上，D 在 BA 上，过 E 作 EF_LAB 于 F,Z B=Z 1+Z 2,4AB=CD,BF=j,则 AD 的长为.【答案】g【分析】在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.想办法证明AT=DK,DK=B D,推出BD=A T,推出BT=AD即可解决问题.【详解】在FA上取一点T,使得FT=BFf连接E T,在CB上取一点K,使 得CK=ET,连接DK.:EB=ET,:./B=/ETB,YNETB=Nl+NAET,ZB=Z14-Z2,NAET=N2,：AE=CD,ET=CK,：./AET QCK(SAS),:.DK=AT9 ZATE=ZDKC9：.NETB=/DKB,:/B=/DKB,:.DB=DK,BD=AT,.AD=BTf8：BT=2BF=一,3.AD=,3故答案为：.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形.15.如图，在等腰 A8C 中,A5=AC,NBAC=120。,点。是线段 3c 上一点，NWC=90。，点尸是A4延长线上一点，点。是线段4。上一点，OP=OC,下面的结论：AP0=AC0；AP0+DCO=30；AC=AO+AP；P0=PC,其中正确的有【答案】【分析】连 接8 0,由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 定 理，等 腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质，三 角 形 的 内 角 和定 理，角 的 和 差 求 出N4P0=NAC0,ZAPO+ZDCO=309由 三 角 形 的 内 角 和 定 理，角的 和 差 求 出/尸。=60。,再 由 等 边 三 角 的 判 定 证 明 0P C是 等 边 三 角 形，得 出PC=P0,NPCCH60。，由 角 的 和 差，等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，线段的 和 差 和 等 量 代 换 求 出A0+4P=A C即 可 得 出 结 果.【详 解】解：连 接8 0,如 图1所 示：图19：AB=AC,ADVBC,：.B0=C0,：,/0 B C=/0 C B,又丁 0P=0C,；.OP=OB,：./O B P=/O PB,又在 等 腰4 ABC中NH4C=120,.ZABC=ZACB=30,Z OBC+Z OBP=Z OCB+ZACO,；NOBP=NACO,A ZAPO=ZAC O,故 正 确；又丁 ZABC=Z PBO+Z CBO=30,N4PO+NQCO=30。，故 正 确；V ZPBC+ZBPC+ZBCP=SOf ZPBC=30,：.ZBPC+ZBCP=50 9X V NBPC=NAPO+NCPO,ZBCP=ZBCO+ZPCOf/A P O+N O C gO。，：.ZOPC+ZOCP=20f又 Z POC+Z OPC+Z OCP=180,NPOC=60,y.：OP=OC,.OP C是等边三角形，：.PC=PO,ZPCO=60,故正确；在线段AC上截取AE=AP,连接P E,如图2所示:：ZBAC+ZCAP=SQ,NBAC=120,ZCAP=60,/APE是等边三角形，：.AP=EP,又.OP C是等边三角形，：.OP=CP,又 V ZAPE=ZAPO+Z OPE=60,Z CPO=Z CPE+Z OPE=60,ZAPOZEPC,在 4P。和4 EPC中，AP=EPAAPO=ZEPC,OP=CP.4P。畛EPC(SAS),：.AO=EC,又；AC=AE+EC,AE=AP,：.AO+AP=AC,故正确；故答案为：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点;作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键.三、解 答 题1 6.如 图，四 边 形A3CD中，ZB+ZD=180,ZBCD=150,CB=CD,M.N分 别为 A3、AD 上 的 动 点，且 NMCN=75。.求 证：MN=BM+DN.【答 案】见 解 析【分 析】延 长A 8至 点E,4更得BE=D N,连 接C E,根 据 同 角 的 补 角 相 等 得NC8E=NCDN,根 据 SAS 证 明 ACBE=ACDN,则/B C E=NOCN,进 而 证 明 ZECM=ZMCN=75,根 据 SAS证 明 E C MM&V C M,得至ljMV=ME,H*MN=BM+BE=BM+DN.【详 解】证 明：延 长A 3至 点E,使得BE=D N,连 接CE,四 边 形 ABC。中，Zfi+ZD=180,ZABC+ZCBE=180%:CBE=4JDN,在CBf和MJDN中,CB=CD ZCBE=ZCDN,BE=DN:.ACBE=ACDN(SAS)f:.ZBCE=ZDCN,CN=C E,vZBCD=150,NMCN=75。，AMCE=ZMCB+BCE=ZMCB+Z.DCN=75,:.ZMCN=ZMCE,在AECM和&VCM中，MC=MC中，A B A D,ZB+ZD=180,连接AC.小明发现，此时A C平分ZBCD.他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E,使得BE=C D,连接A E,证明A8E丝AC,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明4C平分N B C D.请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.如图2,当/84)=90。时，请你判断线段AC,B C,8 之间的数量关系，并证明.(2)如图3,等腰 C0E、等腰43。的顶点分别为A、C,点B在线段CE上，且ZABC+ZADC=180。，请你判断ND4E与NZ)8E的数量关系，并证明.【答案】(1)见解析；C D +B C =6 A C，证明见解析；(2)Z D A E =2 Z D B E,证明见解析【分析】(1)参考小明的想法,延长C B到点E，使得BE=C D,连接A E,证明也4X ,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明4c平分；沿用中辅助线，延长C8到点E,使得BE=C D,连接A E,证得直角三角形C4E,再利用勾股定理可求得AC,BC,C。之间的数量关系；(2)类比(1)中证明的思路，延长C。至尸，使得。尸=C8,连A尸，证明AfiC也4)尸、ACDACE,再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到ZDAE与NDBE的数量关系.【详解】(1)如图，延长CB到点E,使得BE=C D,连接AE.ZADC+ZABC 180,ZAB+ZABC=180。，:.ZADC=ZABE在AAOC与ZM8E中，AD=ABZADC=NABECD=EB/ADC/ABE(SAS)ZACD=ZAEB,ACAE：.ZACB=ZAEB.-.ZACD=ZACB.；.4C 平分 N8CQ(2)CD+BC=y/2AC证明：如图，延长CB到点E,使得BE=C),连接AE./.ZDAC=ZBAE,AC=AE /BAD=ZDAC+ZCAB=90/.ZC4=ABAE+ACAB=ZDAC+ZCAB=/BAD=90在直角三角形CAE中，ZC4E=90:.CE=AC2+AE2=y2AC:.CD+BC=y/2AC ZDAE=2/DBE证明：如图，延长CO至尸，使得。尸=C 8,连AF,FF由(1)知，/ABC/ADF(SAS)：.AF=ACf ZACB=ZF:.ZACD=ZF/.ZACD=ZACE在 八4 8与4AC石中，CD=CEB)-(180-2ZABE)=2ZADB+2ZABE=2ZDBE【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定.综合性较强.1 8.如 图1,在等边三角形A B C中，A D _ L 8 C于于瓦4 3与C E相交于点。.(1)求证：OA=2 D O；(2)如图2,若点G是线段A O上一点，C G 平分NBCE,NBGF=60。,G F 交 C E 所在宜线于点F.求证：GB=G F.(3)如图3,若点G是线段O A上一点(不与点。重合)，连接BG,在B G下方作N B G尸=6 0。,边G F交C E所在直线于点F.猜想：O G Q F、。4三条线段之间的数量关系，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)O F=O G+O A,理由见解析【分析】(1)由等边三角形的可求得N O A C=N O A B=/O C A=N O C B=3 0。，理由含3 0。角的直角三角形的性质可得O C=2 O D,进而可证明结论；(2)理由A S A证明A C G 8 W Z C G尸即可证明结论；(3)连接。8,在。尸上截取。例=O G,连接G M,可证得 OMG是等边三角形，进而可利用A S A证明 G M F名 G O B,得至U M F=O B=O A,由。F=0 M+M尸可说明猜想的正确性.【详解】解：(1)证明：；Z V I B C为等边三角形，：.AB=BC=AC,N 8 A C=N A C B=6 0,：ADLBC,CELAB,平分/B 4 C,C E 平分/A C S,NO4C=NOAB=NOCA=NOCB=30。,：OA=OC,在放0C 中，ZODC=90,N。=30。，：.OC=2OD,OA=2OD；(2)证明：*：AB=AC=BC,ADLBC,:BD=CD,：.BG=CGf:/GCB=/GBC,V CG 平分 NBCE,NFCG=NBCG=；NBC尸 =15。，.ZBGC=150,?ZBGF=60,Z FGC=360-Z BGC-Z BGF=150,NBGC=NFGC,在 CGB和4 CGF中，ZGCB=ZGCF 时，求证：C G =E +A G；(3)如图3,若4 =6 0。，点是直线A D上任一点,将线段C H 绕 C点逆时针旋转6 0。，得到线段C/T,请直接写出A/T的最小值_ _ _ _.【答案】(1)CF=2 6,A F =-2；(2)见解析；(3)4-2 6.3【分析】(1)由平行四边形性质可得N 8 =N 3 =6 0。，利用3 0。直角三角形性质开得D F =D C =2,根据勾股定理C F =2石，设。E =a,则A P =2 a,根据勾股定理42+a2=(2 a)2,解得=理 即可；(2)方 法1补短：如图3,延长G A到 使4版=。,连 接A、M C,由平行四边形4 8 C O 性质，可得 A B C D,A B=C D,可证/I D E丝5 M 4 (SAS),可得 B M =AD,N D =N B M A,由C F垂直平分O H,C H =C D,可证8 M =8 C,再证GM=GC即可；方法2截长:如图4,过点8作B N，于点N ,连接B G,先证 C F H 9 A C F D(S A S),再证B N C也(4 4 S),最后证R t Z X A f i G丝R t z XN B G (HL),可得 AG =GN即可，(3)在D 4上截取DP =D C,连接C P、P H ,先证ACD尸是等边三角形，可得N DCP =/=6 0,C D =C P,可证 CEW四CP (S AS),可证W LA E,设P H，交A E与Q,点”在射线P Q上运动，当点”运动到点。是A/T最短由Z D A E=30 ,先求Q P =；AP =-2,由勾股定理AQ =4-2 6即可.【详解】(1)由平行四边形性质可得N 3=N D =6 0。，在R t ACF D中，Z =6 0,Z F CD=30,8 =4,D F =-D C =2,2根据勾股定理 CF=y/CDr-DF2=V42-22=2A/3，在RtAAEO中，ZD=60,ADAE=3Q,AE=4,设OE=a,则 AZ)=2o,根据勾股定理 A +OE?=A2，B P 42+a2=(2a)2,解得。=拽，3 A n 8石 人 汇 A n n r 8百 n AD=-,AF=AD DF=-2;3 3(2)方 法1补短：如图3,延长G4到 使=连接MB、MC,四边形ABCD为平行四边形，:ABCD,AB=CD,:AE1CD：.AELABf：.ZAED=ZBAM=90,在4。和4 BMA中，AE=AB,ZAED=NBAM,DE=MA：./ADE/BMA(SAS),:.BM=AD,N D B M A,:CF 工 DH,DF=HF,。/垂直平分。，:CH=CD,ZD=ZDHC,：ZD=NBMA,ZDHC=ZBCHf:./BMA=/BCH,:AD=BC,：.BM=BC,：.ZBMC=ZBCM f：./GMC=/GCM,：.GM=GC,：.GC=GM=AG+AM=AG-DE.图3方法2 截长：如图4,过点B作 BN_LC/7于点N,VCF1AD,:.ZCFH=ZCFD,在。尸”和4 CFO中，FH=FD NCFH=NCFDCF=CF连接3G,：.ACFWACFD(SAS),/C H F =/D,:ADI IBC,/C H F=/H C B,在 BNC fllA AED 中，ZNCB=ZD 于 E,ABAG=9QP=/BNG,在 RtA ABG 和 RtA NBG 中)BG=BGAB=NB；R 3A B G邺3 N B G (HL),：.AG=GN,CG=GN+NC=AG+D E.图4(3)在 D4 上截取 Z)P=O C,连接 C P、PH,?ZB=ZD=60,.ACDP是等边三角形，.ZDCP=AHCH=60,CD=CP,：.ZDCH=ZPCH,在公。)”和4 C PH,CD=CH-NDCH=NPCHCH=CH:.ACDH冬ACPH(SAS),NCP=Z=60,:.NCPH=4PCD,：.PHHCD,/AEV C D,P H A E,设 PfT交AE与。，点 H在射线P。上运动，当点，运动到点Q 是 最 短；ZDAE=30由(1)得：AD=心,CD=DP=4,AP=-4,3 3/.QP=-A P =-2,2 3AQ=jA pi_Q p2=4 一 2 g,W的最小值为4-2 石.故答案为：4-2 后.本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键.2 0.如 图 1,在 R 3 A 8 C 中，ZACB=90,A C=B C,将 点 C 绕点8 顺时针旋转105。得到点O,连 接 皿，过点。作 OE_L5c交 C 3延长线于点E,点尸为线段OE上的一点，且NOB/=45。，作N 8F O 的角平分线尸G 交 4 8 于点G.(1)求N 3尸。的度数；(2)求 3尸，DF,GF三条线段之间的等量关系式；(3)如图2,设”是直线OE上的一个动点，连接HG,H C,若 A B=五,求线段HG+4C的最小值(结果保留根号).【答案】(1)1 20；(2)B F+D F=G F,理由见解析；(3)+案【分析】(1)由平角的性质可求N F B E=3 0。，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；(2)由“AS A”可证 8 M G g8 尸 ,可得GM=D F,即可求解；(3)作点G关于。E 的对称点G ,连接H G ,C G ,F G ,作交C B的延长线于I,由轴对称的性质可得G F=G F,H G=H G ,Z D F G=Z D F G =6 0,则H G+H C=H C+H G C G ,由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求8 G 的长，由勾股定理可求解.【详解】解：(1)V ZC BD=1 05 ,NFBD=45,：.ZFBE=30,V)EBC,AZDEB=90,：.ZBFE=60f：.ZBFD=nO；(2)BF+DF=GF,理由如下：如 图1,在线段FG上截取连接图1VZBFD=120,FG 平分/DFB,：.ZGFD=ZGFB=6Qf是等边三角形，:.BF=BM,N8MF=60。，.Z GMB=ZBFD=120,V ZACB=90,AC=BC9：.ZCBA=45fVZCB=105,NABD=600=NMBF,：/GBM=NDBF,在aBMG与8F中，NGMB=NBFDCG,即HG+HC的最小值为CG,Z BFD+/OF G =1 8 0,.点B,点尸，点G三点共线，：GB=DB,ZGBD=60,.GOB是等边三角形，：.GD=DB=GB,：.DB=DG,V ZDBE=15,N DEB=90。,：.ZBDE=15,：.ZGDF=75,N GD F=NGDF=75。,:.NBDG=90。,又,：DB=DG,：.BG=7 2 BD=V 2 BC=AB=夜，：N E B尸=3 0,G7 1 CB,：.IG=BG=,=,2 2 2:.CI=BC+BI=l+显,2-CG=A/C/2+G72=J(l +)2+|=,3 +/，：.HG+HC的最小值为，3 +小.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.2 1.数学课上，李老师提出问题：如 图 1,在正方形A8C。中，点 E 是边3 c 的中点,N A Ef=90。，且 E尸交正方形外角的平分线C f于 点 凡 求 证：AE=EF.经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路.取A 8 的中点”，连接H E,则为等腰直角三角形，这时只需证AAHE与（7广全等即可.在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点 E 是边8 c 的中点”改为“点 E 是边8 c 上（不含点B,O的任意一点”，其他条件不变，那么结论”E=1 仍然成立，你认为小颖的观（2）小华提出：如图3,如果点是边8 c 延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论AE=E 是否成立？_ _ _ _ （填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4,在平面直角坐标系xOy中，点。与点B 重合，正方形的边长为 1,当 E 为 BC边 上（不含点B,C）的某一点时，点F恰好落在直线y=-2x+3上，请直接写出此时点E 的坐标.【答案】（1）正确，结论NE=EF，仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3）点0).【分析】(1)在AB上截取8”=B E,连接”E,由“4SA”可证 AHEgZECF,继而根据全等三角形的性质求得结论；(2)在8A的延长线上取一点N,使AN=CE,连接N E,由“ASA”可证 AHE冬AECF,继而根据全等三角形的性质求得结论；(3)在BA上截取8 =8 E,连接”E,过 点 尸 作 轴 于M,设点E(“，0),由等腰直角三角形的性质可得HE=V2 a,由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点尸坐标，代入解析式求得的值，即可求解.【详解】(1)仍然成立，如图2,在A8上截取连接图2:四边形A8CD是正方形，：.AB=BC,NABC=90=NBCD,：.Z DCF=45,：.ZECF=35,:BH=BE,AB=BC,：.NBHE=NBEH=45,AH=CE,：.ZAHE=ZECF=135,：AELEF,：.乙4E8+/fEC=90。，NAEB+NBAE=90。，NFEC=A BAE,：./XAHEECF(ASA),：.AE=EF；(2)如图3,在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.图3；AB=BC,AN=CEf:BN=BE,:./N=/F C E=4 5。,四边形ABC。是正方形，C.AD/BE,NDAE=NBEA,：./N A E=/C E F,在471和4 ECF 中，N=4FCE/5-,DH=CD-CH=2-(y/5-)=3-y/5,在BC上取一点M 使BM=BF,由得 NCBG=NEBG,又,：BH=BH,：.ABFH=ABMH(S A S),：.FH=MH,：.CM=BC-BM=2-(6-1)=3-石,CM=DH,在ACM”和0HG中，CM=DH MCH=ZHDG=90CH=DG:.CMH.D H G(S A S),MH=HG,：.FH=HG.【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及网格作图、正方形性质、勾股定理与解三角形、三角形全等的性质及判定等知识点；解题关键是掌握阅读材料中直分四边形定义，利用角平分线构造全等进行解题.