几何图形中的解三角形问题（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版.pdf

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题0 3 几何图形中的解三角形问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接一、梳理必备知识cos/cos 5/+。2/2hca*2 3=h2+c2-2bc cos,b2=a2+c2-lac cos5,c2=/+/-lab cosC.1.正弦定理上=上=2火.（其中R为A48C外接圆的半径）sin A sin B sin C tz=27?sin J,6=27?sin 5,c=27?sin C;（边化角）o sin/=sin B-sin C-;（角化边）2R 2R 2R2,余弦定理:3.三角形面积公式:1 1 1 4SMBC -a b s in C =AcsinA=a c sin 8石（a +b+c）r（r为三角形 ABC 的内切圆半径）2 2 2 2cosC=2ab=4.三角形内角和定理：在 N B C 中，有 Z +8 +C =%=C=%一(/+B)=|=(1=2。=2乃 一2(4 +8).【常用结论】在 ABC 中，。b=s in/s in 5 o/5;jr s in 2/=s in IB,则N =BA+B=-.2在三曲座数中,s in力As in3 o 48不成立。但在三角形中，s in力s inB =力8成立二、基础知识过关一、单选题1.“8 C 的内角A,B,C 的对边分别为。，b,C,a=3,6=3,/=30。，则角B等 于()A.30 B.30或 150 C.60 D.60或 120【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质求得B.【详解】由于。=6=3,等腰对等角，所以A=B=30。.故选：A【点睛】本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.2.已知A、B两地的距离为10如?，B、C 两地的距离为20而，现测得4 8 C =120。，贝 IjA、C 两地的距离为().A.10/3km B.10km C.10有km D.10 币km【答案】D【分析】根据题意，利用余弦定理即可.【详解】在“8 c 中，AB=10,5C=20,ZABC=120,所以：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos AABC=100+400-2xl0 x20 xcosI20)=700,所以 z c =ioV7故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理求边长，属于容.易题2兀3.如图，A/8C满足NNBC=T，8C=ZJC=2,80=1 ,贝 i c o s/=()ADi 7+3 有 D 7-3 石-D.-16 16【答案】A7-7316D.78【分析】先用余弦定理求出c o s C,进而求出s in C,再使用cos4=-co s(/C +N4BC)进行求解.【详解】在三角形B C D 中，由余弦定理得：cos C=BC+8 2BDCD4+4-1 72 x 2 x 2-8 J因为4 4BC=y所以角C 为锐角，所以sinC=在三角形 A B C 中，cos J =-cos(ZC+/.ABC)=sin C sin/.ABC-cos C cos Z.ABC让x立827 1+-x-=8 27+3/516故选：A4.在 4 4 8 c 中，己知8=45。，。是5C 边上一点，如图，NBAD=o,D C =l,AC=近,则 4 8=()【答案】BC.2D.3【分析】在 八4。中利用余弦定理求得4。=2,在 中 由 正 弦 定 理 可 求 得 力 3.【详解】ZDC=45o+75=120,根据余弦定理4。？=4。？+。2 24).D C cosl20,ADAD2+A D-6=0,AD=2,ZADB=60,根据正弦定理.sin 60 sin 45I AD sin 60贝 匹血故选：B5.如图所示，点A是等边BCD外一点，且/以。=7，A D =2,BP=273,则A/B C的周长为（）A.26 B.4+2百C.6 +2也 D.4-73+2【答案】CJ T【分析】在 中 利 用 余 弦 定 理 可 求 得 Z 8,进而确定乙48c=1,利用勾股定理可求得N C,由此可得周长.2%【详解】在中，由余弦定理得：B D1=A B2+A D2-2AB-ADc os ,3 J I整理可得：AB1+2AB-,=0,解得：AB=2,即 4B=4 D ,：.N 4 B D =芝,又 5。是等边三角形，./8 C=又 B C =B D =2 0由勾股定理可得：A C =4,8 c 的周长为：6+2行.故选：C.6.为加快推进“5G+光网 双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站/,B,C,D.已知C,。两个基站建在松花江的南岸，距离为10力 k m;基站4,8 在江的北岸，测得N/C8=75。，Z A C D =120,4D C =30。，4 0 8 =45。，贝8 两个基站的距离为（）C.30(72-l)kmB.3 0(6-l)kmD.10V5km【答案】D【分析】根据题意可得/C =CD=1 0 6，N C B D =6。,利用正弦定理求出B C,进而结合余弦定理即可求出 AB.【详解】在CD 中，Z A D C =30,乙4 C 0 =7 5+4 5 =1 2 0 ,所以/。=3 0,有 N A D C =N C A D,所以 A C =C。=1 0百,在 ABDC 中,Z C B D=1 8 0-(7 5 +4 5 )=6 0,由正弦定理，得8CM sin75。=50+4,s in 6 0在“8C中，由余弦定理，得AB2=A C2+B C2-2AC-BC cos ZBCA=(1073)2+(5 +5 )2-2X105AX(5 5 6 c o s 7 5 =5 0 0 ,所以Z 8 =l()后，即两个基站A、B 之间的距离为1 0限加.故选：D二、填空题7 .在“8 C 中，4 8 =2,/C =77，Z A B C =,则 8 C =.【答案】1【详解】由题意，根据余弦定理得/C?=N82+8C 2-2N 8-8C-COSN 5,B P B C2+2 B C-3=0,解得8 c =1,或8 c =-3 (舍去).故填1.8 .在4 4 8 C中，4 8 =4,/C =5,B C =6,则NC边 上 的 高 等 于.【答案】前2【分析】先根据余弦定理求c o s C,即得s i n e,再根据直角三角形求/C边上的高.【详解】c o s C =A C2+B C2-AB22AC BC5 2 +6?-4 2 _ 32 x5 x6 4Q Ce(0,):.s inC =Q C边上的高为 1 8 c ls inC =6*近4 42故答案为：迫2【点睛】本题考查余弦定理、同角三角函数平方关系，考查基本分析求解能力，属基础题.9 .如图，4。是边 4 c 上的高，若 4 D:D C:B D =1:2:3,贝 lJ/8 4 C =r a d.【答 案 吟【分析】由/D:O C:8 D =1:2:3,设 N O =x,O C =2x,8 O =3 x,然后利用勾股定理求出力&ZC的长，再利用余弦定理可求得结果【详解】解：由/):O C:8 D =1:2:3,设/O =x,Z)C =2x,8 Z)=3x (%0),贝！18 c =8 O +O C =5x,因 为 是“8C边 B C 上的高,所以 N 8 =JAD2+BD2=VX2+9X2=M x，A C =J AD?+DC?=y jx2+4x2=&由余弦定理得，c o s Z B A C =AB2+A C2-B C2 10X2+5X2-25X22 A B A C2-y f 0 x-y 5 x一1-2 3乃因为N A 4 c (0,幻，所以N 8 4C =把4故 答 案 沏 今四、解题技巧实战1.(20 23秋浙江高三浙江省永康市第一中学校联考期末)如图，在“8C中，点。在边8 c 上,BD-s i n/C A D =AB-s i n/B A D(1)证明：A C =C D-.若C D =2BD,s inZBAD=,求c o s C.【答案】(1)证明见解析1彳【分析】(1)在 48。中根据题意结合正弦定理分析运算；(2)不妨设8。=1,在 Z X/IO C、IB C、N 8 O 中利用余弦定理运算求解.【详解】(1)在 48。中，由正弦定理知：=,B P B D-s i nZ B D A =A B-s i nZ B A Ds i n ZBDA s i n ZBA D又 B D -s i n N C A D =AB-s i n/B A D ,可得 s i n/C A D =s i n Z B D A =s i n Z A D C,在中，所以 N C/Z)=4 Z)C,所以/C =C D.(2)不妨设 8。=1,贝 l J/C =C 0 =28 O =2在 A WC 中，由余弦定理知；()2=C2+C )2-2 J CCOC O SC =8-8C O SC在“8C中同理可知：/炉=13-12c o s C在 板 中，c o s 3 =J l-s i n Z O O =乎=715即 有 丁 =10(1-c o s C)J(8-8C O SC)(13-12C O SC)解得c o，。42.(20 23全国专题练习)如图，A 4 B C中，点 D 为边B C上 一 点,且 满 足 空=段.(1)证明：Z BAC +Z D A C =n;(2)若/8=2,AC=,B C =/7,求的面积.【答案】(1)见解析喈【分析】(1)根据正弦定理即可求证，(2)根据余弦定理得/4 1C=1 2 0 1 进而可得N D 4 C =60 ,N O/B =6(r,根据比例即可由面积公式求解.【详解】(1)在“8C中 由正弦定理 得 真=|,在 /O C 中,上 十#34 0 s i nC由正弦定理得一 二-,C D s inD DAC-A D C D-=-AB BCt rs i nC s i nC .故-Z-二-孑s i n泣M C s i n BACs i n 5 C=s i n D A C,由于所以/切。WZD4 C,因此/8 4。+/。4。=兀，(2)由 AB=2,AC=1,8 c =J 7以及余弦定理可得c o s D B/C=力8 +一 =4+卜7_ 1lAB C 2 2 1 2由于/A 4 c为三角形内角，所以N A4c =120,，由(1)知 N Z M C =60,故N D 48 =6(TS,仓AD sin60因 2S.ADC,仓 以。AD sin602AB=2AC1进而得Su皿二S.ABC=|仓 4ABl4C sin l2 0=-13五、跟踪训练达标1.（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角AO 48中，OA=OB,延长8Z到C，使得NC=3,NAOC=,sinZOC=.4 3 求。：（2）求 sin N8 0 c.【答案】（1）4（2）218【分析】（1）在“I C,直接利用正弦定理可求得。C 的长;（2）设/ON8=a,则a 为锐角，可得出sin a、cosa的值，计算出/N 0 8 的正弦值和余弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin ZBOC的值.OC解：在 me 中，由正弦定理知ACsin Z.AOC 0 C =3sinZC=4所以，.万sin 4(2)解：设 NOZ3=a,则a 为锐角，sina=sin(;r-NtZ4C)=sinNOZC=所 以，cos a=/l-sin2 a-；,所以 sin N力。8=sin(乃-2a)=sin2a=2sina cosa=-，贝!）cosN力。8=cos（乃 一 2 a）=cos2a=2sin 2a-l=,所以 sinNBOC=sin（/4。8+工=sinZz408 co i+co sN/O 3 sin -H J 金+.（4）4 4 2 9 2 9 182.（江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图，在 力 8 C 中，角A、8、C 所对的边分别为。、b、c ,bcosZ-QsinB=0.（1）求 N B A C；（2）若 48 上，D,A C =2 6，C D=M ,求 4。的长.【答案】（1）.4（2）1 或 3.【分析】（1）在“8 C 中，利用正弦定理即可求解.（2）由已知条件求解出NC4。的值，利用余弦定理进行求解，得 出 关 于 的 一 元 二 次 方 程，求解方程即可，最后验证是否满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【详解】（1）解：在“8 C 中，由正弦定理得：sin8cos4-sin4sin8=0,/sin 5*0,cos A=s in A,即 tan/=l,因为/e（0,乃），所以 N C =4=C.4jr j r（2）解：V AB 1 AD,且 N 8/C=-,则NCZO=-,4 4在 A/C 3 中，A C =2应，C D=45 ,Z C A D =,由余弦定理得CD?m cZ+A D M c./D co sZ C/。，即 5=8+Wx 2 x 2整理得初 一 4/。+3=0,解得：A D =A D =3.经 验 证=1或 NZ）=3均满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.故力。的长为1 或 3.3.（湖北省天门中学2 0 2 2 届高三下学期适应性考试（二）数学试题）如图，在平面四边形Z88中，AB B C ,Z A B C=9 0 0,且 4 O C是边长为2 的等边三角形，A C交B D 于M点.Q）若 B D =币,设N O5=。，求。.【答案】（1）4 3 0 0【分析】（1）求得N 8O=N D Z C=6（r,可求得48的长，然后在R t AD4 8 中，利用勾股定理可求得8。的长；（2）求得/8 =2 c o s。，N DAB=6 0,+9,在AD 48中利用余弦定理可得出关于。的等式，结合三角恒等变换可求得s in 2。的值，结合角。的取值范围可求得角。的值.【详解】（1）解：因为A D H B C,可得N8 C/=ND4 C=6 0,因为/4 B C =9 0,可得/8 =Z Cs in 6（r =6，Z DAB=9 0=,故R t AD4 B 中，B D2=A D2+A B2=1,可得=（2）解：设贝l j/8 =2 c o s ,NZ /5 =6 0+6 ,在中，由余弦定理得。/2+/8 2-彻.“8-0 5（6 0。+。）=8。2 =7 ,f y,4 +4 c o s20-2 x 2 x 2 c o s 0 c o s（6 0 +6 =1,可得4 c o s 2 6-8 c o s 6 c o s。-s in。=3 ,、2 2 ,可得4 c o s2。-4 c o s 2 e+4/s in 0 c o s e=3 ,可得2 6 s in 2 0=3 ,解得s in 2 e =N,2因为 AB BC ,贝！Ie 9 0-e,得 0。0 4 5。,则0。2 6 0,所以sinC-cosC=,5又因为sii?C+cos2 C=IQABC是锐角三角形，cos C 0.解得cosC=Y .5（2）由 得：co s4 C 8 =正，又 8 C 是锐角三角形，所以s in 4 c 8=里,5 5在A/C D中，CD AC 10/r由正弦定理得：.%&r=(sn/.DAC，”启=;，即&M 2正 ，sin(4 一 NZCB)sin Z.ADC2 10 5解得。=亚,4。=迫.2 25.(河南省安阳市重点高中2 0 2 1-2 0 2 2 学年高三模拟考试理科数学试题)如图，在平面四边形/8 C。中,DC=2AD=A6,Z B A D =；,Z B D C =.2 6 若 c o s 乙4 5。=且，求 /即 的 面积；3(2)若/0 =乙 4。(7,求 BC.【答案】2 6(2)2 7 1 0-2 7 2【分析】(1)根据CO S NZ 8 O =正 求 得 t a n NNS。，再结合4。=2 应 求 解即可3(2)设N 4 D B 3再在8。中利用正弦定理得出关于。的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由 c o s 48。=或 可 得 t a n 48。=正 用 二:之，又 AD=2 近故 A B=V 1 0 ,故3 格 小 t a n 48。S.ABD=%B S D =2下 设N 4 D B =,贝!3。=述，N C=6+g,在 A eC D 中，由正弦定理可得 型;=即BD 6 s m C s in Z.DBC2-/2浮，、=f、,交叉相乘化简得s in 容=2 c o s s in L +J),即s in l 0 +I s in l -0 I v 7、s in +y =7 3 c o s 0-s in 0 +c o s20 ,利用降塞公式有s in(0 +。)=*s in 2 0 +ge o s 2 0 +；,利用辅助角公式有s in,+；|=s in(2 e +|+g,故可6 +。卜 诂(2 6 +会?+；,利用诱导公式可得s in o +?)=c o s(2 9+-=2 s in (夕+一 :，故2 s in 2(e +?)-s in(e +，-g=0 ,又s in(e +?0 ,Z A ,77 4近 _ BC 2V2 2V2.f-.rr解得$出1+如=学，又由正弦定理有.小 力=一 3，故BC=.%兀、=K 小 汉 3 4 s in-0 sin sin 0+I 3 J 6 I 3)46.(广东省六校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题)如图，在 四 边 形 中，BD AD,sm/卜os+/)=；A DB C(1)求角A 的值；(2)若/8 =6,/。=3,CD=1,ZC=2 Z C B D,求四边形/BCD 的面积【答案】(1)力=2；6(2)4【分析】(1)利用诱导公式和二倍角公式化简得cos(+2/=-g,再判断 得:(g +2 H 与，结合B D A D,即可求解得/=5；(2)由 余 弦 定 理 求 解 得 百，再由正弦定理以及/C =2/C 8 D,可得cos/CBD 且,从而解得NC=W，NCD8=g,然后计算力5)和 BCD面积的和即可.2 3 2 详 解 (1)s i n._ 4)cos停+/)=cos 会(；4)8 s(*4)/、cosl i_2z+/、=cos2(+/)=3 2 =：=cos($24 j=-因为0 4 兀，-+2A =77,AB=A M=2 =V 7 =疝 ZAMB 二几在6M中，由正弦定理可知：s i n N/M l s in4 4 B M s in N A M B 一百 巾2因为Z.AMB为锐角，所以cos Z.AMB=7cos /M P N =CQS（Z.AMB+6 0 ）=cos Z.AMB cos 6 0 -s in/A M B s in 6 0 =?疝 x -x7 2 7 2 1 42 2（2）由（1）知：P 是 ABC 的重心，所以 BP=3 B N ：B N =1,:.BP=，故cS RPit _ 1 BoPr,BRAM/,sin 460八。_ 1 x 2 x 11 x V3 =_ V3,S _ 1 BDNKI ,BnCr，sin么 60n。_ x 1i x 2o x J3=_ J3BPM 2 2 3 2 6 2 2 2 2所以四边形PMCN的面积为Si.DBANCC FA bMMIr =c/c2 6 38.(2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(猜想卷一)在/8 =2逐，N/f8=135。，/8/Z)=/C 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求8。的长和”/8C 的面积.如图，在中，。为 8 c 边上一点，AD 1 AC,AD=l,sin ABAC=,求 8。的长和“8C的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】选条件：sin ABAC=sin(90+sin ABAD,再 在 中 用 正 余 弦 定 理 分 别 求得 8。和s in N/O 5,进而求得/C 与 力 8 C 的面积；选条件：sin ABAC=sin(90+sin ABAD,再求sin 8,再在力8。中，由正弦定理得AB=4 5,BD=&,，进而求得面积；选条件：sin ABAC=sin(90+sin ABAD,即 s in C,再根据 sinB=sin(/A4O+/O 8)计算sin 8,再在中，由正弦定理得力民8。，进而求得面积9/7【详解】选条件，sin ABAC=sin(90+ABAD)=cos ABAD=,所以 sin/.BAD=1-.在 48。中，由余弦定理，得B吟AR 2 0+1-2 x 2 7 5 x 1 x =7 1 3 .D n275 _ V13在中，由正弦定理，得.=sin Z.ADB所以sinN/Z)8=口叵.13所以 sin/.ADC=2 ,cos Z.ADC=,13 13所以A/8 C的面积为,x 2 后 x M 迈=32 3 5 3=.7BAn 即 sin 4 D 8 加 sin/BAD 52 2所以ta n N/D C=,所以/。二 鸟.选条件，s in Z B A C =s in(9 0 +Z5/4 Z)=c os Z.BAD所以 s in/B A Dg5所以 s in B =s in(A B A D+1 3 5)=在x，幻+速,也=巫5 1 2 J 5 2 1 0AR在中由正弦定理得淅A D B Ds in B s in ZJBAD得 A B =y/5 f B D =5/2 因为乙4 0 8 =1 3 5。，所以，/Q C=4 5。，所以4 C =1,所以ABC的面积为、指x lx拽=1.2 5选条件，s in A B A C =s in(9 0 +ZBAI )=c os Z B A D=-y-.因为N B 4)=/C,所以s inC =乎，在 RMACD 中，可得 cos/ZD C =，所以 cos/XD S =一 ,s inZZ)5=汉5.5 5 5所以 s in 8 =s in(Z B A D +/A D B)=在中，由正弦定理，得.曰=名=.”,得AB=地,B D =B.s in Z.ADB s in B s in/B A D 3 3因为s inC =正，所以cos C =5,所以t a nC =1,所以Z C =2.5 5 2所以“SC的面积为L型x2x4=+.2 3 5 39.(上海市黄浦区2 0 2 2届高考二模数学试题)某公园要建造如图所示的绿地Q/B C,OA,。为互相垂7 T直的墙体，已有材料可建成的围栏A B与B C的总长度为1 2米，且Z B A O =N B C O .设Z B A O=a(0 a/2 si n a停。s a+fs ma)-8 s”3 6 3=1 8si n 2 a+1 8(1 -c o s2 a)=1 8应si n(2 a-工+1 8,0 a .当 2 a-巳=工，即 a =2时，S取到最大值,I 2 4 2 8最大值为1 8五+18.因此，当a=9时，养殖场O4 8 C最大的面积为1 8立+1 8平方米O1 0.（2 0 2 3届普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来9月联考理科数学试题）如图，在平面四边形中，5 C Z）的 面 积 是 的 面 积 的2百 倍.Z D B C=2 Z A B D,A B =,B C =2.D(1)求/48。的大小；T T(2)若点E,。在直线Z C同侧，Z A E C =-,求 ZE +EC的取值范围.【答案】g0(百 2 折【分析】(1)设N 48D =a,利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.(2)由(1)求出A C,在 ZE C 中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.【详解】(1)设=则 Z D 8 C =2 a,因 SABCD=26 SA A B D，BCD B C -BD si n 2a ,S ABD=sn a 贝!|B C-B O si n 2 a =2 抬 4B-B Z)si n a ,而/8=1,B C =2 ,2 2贝！J 有 si n 2 a =6 si n a ,即 2 si n a c o sa =i n a ,又 0 a 0,因此 c o sa =3，a=72 6T T所以=6(2)由(1)知 Z D B C =q,乙 A BC =g 连 AC,A C2 AB2+BC2=5,贝 I j/C =VL4E EC V 5 _ 2 i 而 N E C 中，由正弦定理有 si n/ZC E -si n/E/C 一 .万一相，3si n 一3AE=-/5 s mZAC E,EC =-y/5 s inZEAC ,AE+EC =-V i 5 si nZ A C E+4 5 s m Z E A C,3 3 3 327r 27r 27r又N A C E+N E A C=，令 N/CE=6 ,贝!N C=-0,Q 0/5 s in0-T5sin(-0)=-y/Tsrsin+-cos)=2V5sin(0H),3 3 3 3 2 2 6因 0 。与，贝 U 7 9+/葛，有;sin(e+?)4 1 ,即 V2芯 sin(，+三)4 班，y/5 A E +EC JAE2+EC2=75(2)|方法一:两角和的正弦公式法由于cos4C=q ,Z.ADC e 所以sinN4Z)C=Jl-c o s2 N/Z)C=g.由于4。八 仁,万)，所以C e(0,9,所以cosC=Jl-sin2C =半.所以 sin ADAC=sin(万一ADAC)=sin(ZADC+ZC)q 2 Is=sinZ.ADC-cosC+cosZ.ADC sxC=-x-+5 575 _ 275由 于 /C w,所以cosNZMC=Jl-s in：25b t、i/c/c sin Z.DAC 2所以 tan ZD AC=-=cos ZDJC 11|方法二【最优解】：几何法+两角差的正切公式法4 4在(1)的方法二的图中，由 cos/Z)C=,n J cosZ.ADE cos(zr Z-ADC)cosZ.ADC,从而5 5sin NDAE=cos ZADE=-,tan NDAE=沏/“=i5 cos ADAE 3又 由(1)可得tanNE/C=2,所以 tanNDAC=tan(NEZC NE4D)=匕1 14A。一 匕1 1 2EAD=2AE 1 +tan NE4c tan 4。11|方法三|：几何法+正弦定理法在(1)的方法二中可得/E =1,CE=2,/C=.4E l 4在 RtZADE 中,AD=-=5,ED=AD cos ZADE=,sinAADE 32所以 CD=C E-D E=.在“CQ中，由正弦定理可得sinND4C=C 2 -sinC=冬叵,AD 252由此可得tan/OZC=H.I 方法四I:构造直角三角形法如图，作/E L B C,垂足为E,作 D G _ L/C,垂足为点G.在（1）的方法二中可得/E =1,C E =2,/C=J L由 cosZ.AD C=-i ,可得 co s Z.AD E=1,s i n Z A D E=V 1 -co s2 Z A D E =.j/7 5/-4 2在 Rt/XAD E 中，4 D =-=,D E =A D2-AE?=,CD =CE -D E =.s i n 乙IDE 3 3 3由（1）知s i n C =无，所以在Rt ZXC OG 中，D G =C D sinC=-,C G =JCD2-DG2=,从而5 1 5 1 5A G =A C-C G =-1 5DG 2Rf&AD G 中,t a n /D A G -.A G 1 12所以 t a n Z D A C =.【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得6 =不，然后使用正弦定理求得s i n C；方法二：抓住4 5。角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得N D 4 c 的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得/D 4 c 的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有/D 4C的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.2.（2 0 2 1 年全国新高考I卷数学试题）记A/8 C是内角A,B,C的对边分别为。，h,c.已 知/=c,点。在边/C上，BD sinZABC=asinC.（1）证明：BD =b；（2）若 A D =2 DC,求 co s/NSC.7【答案】（1）证明见解析；（2）co s Z4 5 C =.【分析】（D根据正弦定理的边角关系有8 0 =竽，结合已知即可证结论.b（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边。与。的关系，然后利用余弦定理即可求得co s N/8 C 的值.【详解】（D设“8C的外接圆半径为R,由正弦定理，b c得 s i n/ZBC =,s i n C =,2R 2Rb cBDs xn Z.ABC=6/s i n C ,所以=。-,即 BD b =a c .2R 2R又因为所以BD =b .（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为4）=2O C,如图，在 J S C中，c o s C=+Y，2a b由得。2+/一。2=3+，整理得2/_，/+。2=0.又因为所以6/1 1 4 C +3 c2=0,解得。=；或。=,当。=二,力 2 =时,a +b =3+c（舍去）.3 3 3 3*Vi 2i 7 7 1即一x s i n ZL4 ）5 =x a cx s i n Z S C ,2 3 3 2当=出力2=。0=时，c os/4BC2 2所以c o s 4 8 C =方法二:等面积法和三角形相似2如图，已知 A D =2 DC f 则 S ABD=S ABC，A而 b2=a c 9 即 s i n Z.ADB=s i n Z.ABC,故有Z ADB=/A B C ,从而乙4BD=NC.h r CA RA由人即片片即而R即“C8s”肛2b,AD AB 故 为=就即 工 限c b2又=a c,所以c=：Q,则 co s N/BC=c+I2a c71 2|方法三:正弦定理、余弦定理相结合2|由（1）R BD=b =A C ,再由 4 O =2 D C 得/。=b,C D=b.3 3在中，由正弦定理得A Ds in/ABDBDs i n 4 A 2又/A B D =/C ,所以 3 b,化简得s i n C =-s i n 4 .-r-=3s i n C s i n A2 2在 NBC 中，由正弦定理知c=不，又由。2=a c,所以力 二 不 .3 32 ,2 _ 2 Q n-CI 7在 B C中，由余弦定理，得 c o s 4 8 C =-=2 a c 2 x 2/1 237故 co s ZABC =.I 方法四I：构造辅助线利用相似的性质如图，悼 D E A B,交8。于点E,贝 l J。E C s /8 C.由/D =2 Z)C,得 D E qE C=W，BE 言.(?)2 +(9-在 A 8 E D 中，co s /B E D =-.g 2。c3 3在“B C 中 co sZABC =+2 6-.la c因为 co s /.ABC =-co s /.BED,整理得6。2 一 1 份+3/=0.又因为=a c 9 所以 6/-1 1。+3。2 =0，Q 3即 0 =或 a =QC.下同解法L|方法五:平面向量基本定理.t.LlUUL UUU因为所以4 O =2 OC._ .?-1 以向量B 48C为基底，B D =-B C+-B A.所 以 前 2 d 团 2+壮 成.瑟+1.9 9 94 4 1即 b2=a2+a c co s Z.ABC +-c2,9 9 9又因为=a c 9 KX 9 a c =4a2+4a c-co sZ A B C +c2.由余弦定理得=/+0 2 一为cco s ZJBC，所以+/一 co s 48。联立，得 6。2-1 1 欧+3 c2=0.3 1所以或4 =c.下同解法1.|方法六:建系求解以D为坐标原点，/C所在直线为x轴，过点D垂直于/C的直线为y轴,DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则。(0,0),力(-2,0),C (1,0).由(1)知，BD =b=A C =3,所以点B在 以D为圆心，3为半径的圆上运动.设8(x,y)(-3 x3),贝!/+/=9.由万=砒 知,|网.忸q=|/c,即 J(X+2)2+V,J(x_l)2+y 2 =9.7 7 Q5联立解得X=-或x=(舍 去)，y2=f|,4 2 1 6代入式得a=|BC=乎,c=BA=/6,b=3,由余弦定理得cos-b=2_,2ac 1 2【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.